江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第三讲 三角形五个心 课件+教案 （2份打包）

数学••学科竞赛校本课程 第三讲 关于三角形的心 江苏省高邮中学 王新平 1基础知识与基本方法 1.1基础知识介绍 ①外心 三角形的三边中垂线交于一点,这个交点即为三角形的外心,它是三角形外接圆的圆心，简称外心. 的外心常用 表示.钝角三角形的外心在形外,直角三角形的外心在斜边的中点,锐角三角形的外心在形内. ②重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.重心将每条中线都分成定比2:1，在 中重心通常用 表示，重心的位置总在三角形的内部． ③垂心 三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.在 中,垂心通常用 表示． ④内心 三角形的三条内角平分线相交于一点,这个交点即为三角形的内心,即三角形内切圆的圆心，简称为内心. 中,内心常用 表示，其位置在 的内部． ⑤旁心 三角形的任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点,这个交点即为三角形的旁心，在 中,旁心常用 , 表示，其位置在 的外部． 对于等腰三角形来说,内心,外心,重心,垂心在顶角的平分线上,而对于正三角形而言,则上述四心重合为一点,该点又称为正三角形的中心. 1.2基本方法介绍 三角形的心是三角形的重要几何点，在奥林匹克数学中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题．对该问题的考查主要集中在以下两个方面 ①利用三角形的”心”自身的几何性质； 例如:已知在 中， 为垂心， 为重心， 为外心，求证： 三点共线，且 证明：设 为 边上的中点，则 在 上，且 ，连 ． 在 的垂直平分线上，延长 至 ，使 ，连 ．由于 ， ，从而有 ，即 ；同理可得 ，即 为垂心． 有关三角形的心的自身几何性质非常多，解决这类问题要善于利用各种位似变换将多心集中在同一图形上，重心的二比一关系以及外心的圆心角与圆周角关系是使用最为广泛的两个结论；我们也常常利用三角形的心作为工具证明多线共点，或将问题转化（详见例4、6）. ②利用向量作为工具参与三角形”心”的问题； 近年来，将三角形的心与向量结合的题目也越来越多，解决这类问题的最基本方法就是利用向量的合成与分解，旋转与伸缩将多向量之间的关系转化为易于几何分析的两向量之间的关系，从而明确与三角形的何种心相关联，再复杂的问题也就不难处理了．以下结论经常使用，需要熟练掌握及记忆． ⅰ）在 中，若点 满足 ，则点 是 的重心，该结论反之亦真. 证明 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 三点共线，且 分 为2：1 EMBED Equation.3 是 的重心 ⅱ）在 中，若点 满足 ，则点 为 的垂心，该结论反之亦真. 证明 EMBED Equation.3 同理 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 为 的垂心 ⅲ）设 分别为 中 所对边的长，若点 满足 ，则点 为 的内心，该结论反之亦真. 证明 分别为 方向上的单位向量， EMBED Equation.3 平分 , EMBED Equation.3 )，令 ； EMBED Equation.DSMT4 （ ) 化简得 ； EMBED Equation.3 ⅳ）在 中，若点 满足 ，则点 为 的外心，该结论反之亦真． 2基础知识应用 2.1外心的应用 【例1】 在 的边 上分别取点 .证明:以 的外心为顶点的三角形与 相似. 证明：如图，设 是 的外心，作出六边形 后再由外心性质可知 .从而又知 将 绕着 点旋转到 ，易判断 ，同时可得 　 同理有 .故 . 本例首先利用圆心角为圆周角的两倍，将 的内角转移到六边形 中，再利用旋转变换及全等三角形的知识进一步将角转移到三角形 中，这种不断逼近，不断调整的方法是平面几何证题经常采用的手段． 2.2重心的应用 【例2】 是 的三条中线， 是任意一点. 证明：在△ 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克) 证明：如图，设 为 重心，直线 与 相交.从 分别该直线的垂线，垂足为 易证 ， 有 ， 两边各扩大3倍，有 ． 已知三角形的重心，伴随其两个重要的性质：重心与三角形顶点连线是三角形中线，重心分中线所成比为2:1，本题的突破口是将点 与重心 相连，作出对应三角形的高，再利用这两个性质产生比例关系，将三个三角形的高建立等量关系，最后得出三角形的面积关系． 3基础方法的应用 3.1三角形心的几何性质应用 【例3】 是 边 上的任意一点. 分别是 内切圆的半径， 分别是上述三角形在 内部的旁切圆半径.证明： 证明：对任意 ，由正弦定理可知