江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第六讲 立体几何中的截面、折叠与展开 课件+教案 （2份打包）

数学••学科竞赛校本课程 第六讲　立体几何中的截面、折叠与展开 江苏省高邮中学　解才先 1 基本知识与基本方法 1.1 基本内容介绍 截面、折叠和展开是立体几何中的几个典型问题，许多从平面到空间的关系都涉及上述三类问题. ①截面问题 截面问题经常涉及到立体几何中的作图和计算两个方面.需要指出的是：空间作图都必须在平面中才能实现，正确地作出符合要求的截面是求解截面问题的关键. ②折叠问题 平面图形经过折叠后变成立体图形，这时原图形中的一部分仍在同一半平面内，组成这部分图形的元素（点、线）保持着原来的数量和位置关系．折叠问题解决的关键是弄清在折叠前和折叠后的变与不变的几何特征和数量关系．其中不变量是解题的基础．应注意以下几点： 第一，折叠后，若线与线在同一平面内，则它们的位置关系不发生任何变化． 第二，若折叠后，线与线由同在一个平面转为不在同一平面内，则其位置关系应注意变化的结果是什么． 第三，点的变化：要注意点与点的重合问题，以及点的位置的改变． 第四，长度、角度的变化． 第五，注意利用平面图形解决空间里的线的长度以及其他的量． ③展开问题 立体图形的展开是把一个立体图形（或它的一部分）展开在一个平面上，然后将立体问题转化为平面问题解决，这也是解决立体几何问题时的常用策略：将三维空间上的问题转化到平面上来处理． 1.2 基本方法介绍 ①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究； ③向量法：向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它既是几何对象也是代数对象，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在立体几何中有着广泛的应用. ④等体积与等面积法：在立体几何中涉及一些求高度、面积等，常常采用换角度看图形设法构造一个面积等式或体积等式将问题用复杂化趋于简单化. 2 基本知识应用 2.1 截面问题 【例1】正四棱锥 的底面正方形边长是3， 是 在底面上的射影， 是 上的一点，过 且与 都平行的截面为五边形 ，求该截面面积的最大值. 解：如图，连接 ，设截面与正四棱锥 的底面相交于 , 与 相交于 点，由 截面 得 , 截面 ，得 ，那么， 必定分别与 相交于 ，否则，截面将是三角形，则 ， ，在正四棱锥 中， ，由 是异面直线 与 所成角，则 ，所以， 和 是两个全等的直角梯形. 设： 由 得 ，故 ，而 ，由 得 ，于是 ，从而： 所以，当 时，截面 的面积取得最大值9. 2.2 折叠问题 【例2】如图，已知四边形 由两个 和 拼接而成，其中 EMBED Equation.DSMT4 ，将 沿着 折起，问当二面角 多大时，可使得四面体 的表面积最大，并求出此面积的最大值. 解：由已知可得 ， ， 设 则由余弦定理得： 则 设 ，即 . 于是 ，即 . 故当 时， ，此时 即当 时，四面体 的表面积取得最大值 2.3 展开问题 【例3】如图所示，一个圆台的上底半径为5，下底半径为10，母线 .一只蚂蚁从 的中点 绕圆台侧面转到下底面圆周上的点 ，求 ⑴蚂蚁爬行的最短距离； ⑵蚂蚁在爬行过程中（沿最短距离爬行），蚂蚁与上底面圆周上的点的最短距离. 解：我们将圆台的侧面沿母线 剪开，并展开为一个扇形.设 与 的延长线交于点 ，利用 ，可知 . 于是 ，故 . 所以， EMBED Equation.DSMT4 . （1）连接 ，如果 与扇形 没有交点，则线段 的长度即为蚂蚁爬行的最短距离.利用 为直角，可知 故 ，这时，我们过 作 ， 为垂足，则 ，这表明 与扇形 没有交点.所以，蚂蚁爬行的最小距离为50. （2）设 交弧 于点 ，我们证明 即为蚂蚁在沿最短距离爬行时，与上底圆周上的点的最小距离.事实上，设 为所求的最小距离，则 所以 .这表明，所求的最小距离等于 . 【说明】（2）中，第一个不等号是利用三角形两边之和大于第3边，第二个不等号是利用点到直线的距离以垂线段为最短. 3基本方法应用 3.1 公理法作截面 【例4】能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？ 解：如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体 ，使得截面为一个凸五边形.点 是 延长线上一点，使得 ， 为 的中点， 为 上的点，使得 .则截面 为过直线 与 （这里