江苏省高邮中学2015年高二数学竞赛系列讲座 第八讲 圆 课件+教案 （2份打包）

第八讲 圆 1、 教学目标： 掌握圆的几种方程形式并在解题中灵活运用； 掌握求圆的方程的几种常见方法 2、 教学重难点： 求圆的方程的几种常见方法 1基本知识与基本方法： 1.1基本知识介绍 ①圆的定义： 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径. ②圆的方程 圆的标准方程： ； 圆的一般方程：； 圆的参数方程：圆心在 ，半径为 的圆的参数方程是：为参数）； 圆的直径式方程：设 ，以 为直径的圆的方程为 . ③圆方程之间的互化 即圆心 ，半径 EMBED Equation.3 利用 得为参数） ④点与圆的位置关系 设圆 ，点 到圆心的距离为 ，则有： 其一， EMBED Equation.3 点 在圆外；其二， 点 在圆上；其三， 点 在圆内． ⑤直线与圆的位置关系 设圆 ，直线 的方程为 （ 不全为 ），圆心 ，判别式为 ，则有： 　 几何方法：由圆心到直线的距离 与半径 的大小来判断 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离. 　 代数方法：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 EMBED Equation.3 有两组不同的实数解 直线与圆相交； EMBED Equation.3 有两组相同的实数解 直线与圆相切； EMBED Equation.3 无实数解 直线与圆相离. ⑥圆与圆的位置关系 设圆 ， 且两圆圆心距为 . 几何方法（数形结合）：由圆心距与半径 、 的大小来判断 EMBED Equation.3 两圆外切； 两圆内切且两圆的连心线过切点； EMBED Equation.3 两圆外离； EMBED Equation.3 两圆内含； EMBED Equation.3 两圆相交． 代数方法：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 EMBED Equation.3 有两组不同的实数解 两圆相交； EMBED Equation.3 有两组相同的实数解 两圆相切； EMBED Equation.3 无实数解 两圆相离. ⑦圆系方程 情形一，设两相交圆 则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 表示过两圆交点的圆(不包括 )； 当 时， 表示两圆的公共弦所在的直线方程. 情形二， 表示过圆 与直线 交点的圆. 情形三， EMBED Equation.3 为变数）表示以 为圆心的同心圆系。 1．2基本方法介绍 ①待定系数法 已知圆 经过点 ，且圆心在直线 上，如何求出圆 的方程？ 我们可以先设出圆 的一般式方程 ，根据条件，有 ，解之得： 故所求圆 的方程为 . 像这样，在求曲线方程时，如果知道这个曲线方程的一般形式,可以先将之设出，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定曲线方程的方法叫做待定系数法． ②几何分析法 已知直线 的方程为 ，圆 ，则该直线与圆的位置关系如何？ 我们可以先算出圆心 到直线 的距离 ；再将之与圆的半径比较 ，所以直线与圆相离． 像上面利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来确定直线与圆的位置关系的方法称为几何分析法． ③代数分析法 仍然借助上例，将直线 与圆 联立方程组 ，消去 ， 化简整理得： 因为 ，故直线与圆相离 一般的，将直线与圆的方程联立方程组，消元，转化为一元二次方程，通过方程来研究直线与圆的位置关系称为代数分析法． 2基本知识应用 2.1选择合适的圆的方程解题 【例1】已知圆过点 ，且在轴上截得的弦长为 ，求圆的方程. 解法一:设圆的方程为 , 今 得 ,因圆在轴上截得的弦长为 , 所以 ……① 又圆过点 , ∴ ……②, ……③ 由①②③解得: 故所求圆的方程为: 或 解法二:设所求圆的方程为 由已知得: ,解得 ， 故所求圆的方程为 或 . 圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出 的方程组，求出 的值，也可根据圆的特点直接求出圆心 ，半径 .当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出 的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单． 2.2直线与圆的位置关系的应用 【例3】 已知直线 ，圆 ： .试证明：不论 为何实数，直线 和圆 总有两个交点. 解：（1）方法一：由 因为 ， 所以不论 为何实数，直线 和圆