5.2.2 百分数的应用（变化率） 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

本初中数学讲义聚焦百分数的应用（变化率问题），通过“回顾占比问题旧知—初探变化率新知—课堂例题深化（含纠错、百分点问题）—小结易错点（基数识别）—分层练习巩固”的学习支架，帮助学生理解变化率本质（增减幅度占原来量的百分之几），掌握核心公式“变化率=变化量÷原来的量×100%”。 资料亮点突出，例1纠正企业“成本降低100%”的错误宣传，培养学生用数学眼光观察现实的批判性思维，结合商场销售额、人口变化等生活情境例题，渗透模型意识与应用意识，通过强调基数识别提升数学推理能力，预习衔接旧知、例题典型、练习分层，助力教师授课与学生查漏补缺。

5.2百分数 第3课时——百分数的应用 （变化率问题）（沪教版2024） 一、学习目标 1.理解 “变化率” 的本质是 “表示数量增减变化的幅度占原来数量的百分之几”，区分 “增长率”（数量增加）和 “降低率”（数量减少）； 2.掌握变化率的核心数量关系：变化率 = 变化量 ÷ 原来的量（单位 “1”）×100%，能准确识别 “变化量”“原来的量”； 3.能结合生活情境感受百分数变化率在经济、统计、生活中的广泛应用（如物价调控、业绩增长、人口变化等），体会数学与现实生活的紧密联系，增强用数学解决实际问题的信心和兴趣。 二、课前预习 回顾旧知，衔接新知 1. 占比问题核心公式：占比 = （ ）÷（ ）×100%； 2. 列式计算：六（1）班有 40 人,女生2 5 人，女生占比是________%;男生占女生人数的______% 初探变化率问题阅读教材 P19-20 1. 六（1）班原有 40 人，转来学生 5 人，人数增加______%； 2. 某工厂上月生产零件 2000 个，本月生产 2500 个，本月产量比上月增长了______%？ 3. 一件衣服原价 200 元，现在售价 160 元，价格降低了________%？ 三、课堂学习 知识点讲解： =×100% 常见类型： 例题讲解： 例1某企业主要产品的生产成本是10万元/吨，经过技术创新后成本降为5万元/吨.该企业宣传时，宣称经过技术革新，产品的成本降低了100%.该企业的宣传正确吗?如果不正确，为其纠正错误. 分析 该企业创新前的生产成本（基数）：10万元/吨，变化量=5-10=-5万元/吨, 成本的变化率=×100%=-50%. 所以成本降低了50%,而不是100%. 例2某商场去年春节期间的销售额为2100万元，今年春节期间的销售额为2520万元.问：今年春节期间销售额的增长率是多少? 分析：增长值是_______万元，比较的基数是_____________________ 解:今年春节期间销售额的增长率 =×100% =×100% =20%. 答：今年春节期间销售额的增长率是20%. 例3某市今年第二季度的工业总产值为100亿元，比第一季度增长了6.2%,预计第三季度的增长率在第二季度的增长率基础上将提高1个百分点.第一季度的工业总产值是多少亿元(结果保留两位小数)?第三季度的工业总产值预计是多少亿元? 分析 (1)第二季度工业总产值比第一季度增长了6.2%,比较的对象（基数）_______________, 所以6.2%= （2）第三季度的增长率是________,比较的对象（基数）_______________, 所以7.2%= 解 设第一季度和第三季度的工业总产值分别为x亿元及y亿元，则题意列方程求解. 下面步骤请独立完成： 挑战自己： 类型 1：求增长率 1.某果园去年产梨 120 吨，今年产梨 150 吨，今年产量比去年增长了百分之几？ 2.一辆自行车原价 800 元，现在涨价 10%，现在的售价是多少元？ 类型 2：求降低率 3.某超市上月客流量 8000 人，本月客流量 6800 人，本月客流量比上月降低了百分之几？ 4.某手机降价 5%后售价 3040 元，原价是多少元？ 5.某公司今年利润 121 万元，比去年增长 10%，去年利润是多少万元？ 课堂小结 变化率的问题 核心公式： 变化率 = 常见类型： 易错点：容易找错“基数” 四、课堂练习 1.填空题： （1）变化率的核心是求_________占___________的百分之几，公式是_____________； （2）某商品原价 500 元，现价 600 元，增长率是_______%； （3）某工厂上月用水 100 吨，本月用水 80 吨，降低率是________%； （4）已知原来的量是 200，增长率是 20%，现在的量是______；已知现在的量是 180，降低率是 10%，原来的量是_______。 2.判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）： （1）求变化率时，变化量可以是负数，不影响结果的百分比。（ ） （2）某商品原价 100 元，先涨价 10%，再降价 10%，最终价格不变，变化率为 0。（ ） （3）今年产量比去年增长 20%，表示今年产量是去年的 120%。（ ） （4）今年产量比去年增长 20%，则去年产量比今年低20%。（ ） 3.解答题 （1）某地原计划造林0.12 km²,实际造林0.15 km².问：实际造林比原计划增加了百分之几? （2）小海暑假前体重为40 kg,暑假结束时，体重比放暑假前增加了7.5%.问：暑假结束时小海的体重是多少? （3）某商场前年春节期间的销售额为2100万元，去年春节期间的销售额增加了20%,今年春节期间的销售额又减少了20%,那么今年春节期间的销售额是2100万元吗?为什么? （4）某小学原有学生 800 人，今年扩招后有学生 920 人，今年学生的增长率是多少？ （5）一台冰箱原价 4500 元，现在促销价 3600 元，价格降低了百分之几？ （6）某书店上月销售额 15 万元，本月销售额比上月增长 15%，本月销售额是多少万元？ （7）一辆汽车现在售价 18 万元，比原价降低了 10%，这辆汽车的原价是多少万元？ （8）某果园前年产苹果 100 吨，去年产苹果 120 吨，今年产苹果 150 吨，去年比前年的增长率是多少？今年比去年的增长率是多少？ （9）下图是某商场季度销售额统计图：一季度 200 万元，二季度 240 万元，三季度 216 万元。 二季度比一季度的增长率是多少？ 三季度比二季度的降低率是多少？ （10）某城市人口变化：2022 年人口 500 万人，2023 年人口 525 万人，2024 年人口 514.5 万人。2023 年的增长率和 2024 年的降低率分别是多少？ （11）某商品先涨价 10%，再降价 15%，最终价格比原价降低了百分之几？（提示：设原价为 a元，分步计算现价，再求降低率） （12）甲、乙两店去年销售额均为 100 万元，今年甲店销售额比去年增长 20%，乙店销售额比去年降低 10%，今年甲店销售额比乙店多百分之几？ 5、 课后练习 1.填空： （1）|50-40|÷40×100% = （ ）%；180÷(1+20%) =_____； （2）某商品原价 300 元，现价 345 元，增长率是（ ）%；某玩具原价 80 元，现价 64 元，降低率是（ ）%； 2.解答题： （1）某农场去年养猪 500 头，今年养猪 625 头，今年的增长率是多少？ （2） 一件外套原价 600 元，现在打八折出售（即现价是原价的 80%），价格降低了百分之几？ （3） 某超市上月利润 20 万元，本月利润比上月增长 25%，本月利润是多少万元？ （4） 某楼盘现在房价每平方米 10800 元，比开盘时降低了 10%，开盘时房价每平方米多少元？ （5） 某工厂生产效率变化：第一个月生产 500 件 / 天，第二个月效率增长 20%，第三个月效率比第二个月降低 10%，第三个月每天生产多少件 ？ （6） 某商品原价 200 元，先涨价10%，再降价10%，最终售价多少元？ （7） 甲、乙两地相距 100 千米，一辆汽车从甲地到乙地用了 2.5 小时，从乙地返回甲地用了 2 小时，返回时的速度比去时的速度增长了百分之几？（提示：先求速度，再算增长率） （8）若某数量先增长 a%，再降低 a%，最终变化率是多少？（用含 a 的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2百分数第3课时——百分数的应用 （变化率）（沪教版2024） 一、学习目标 1.理解 “变化率” 的本质是 “表示数量增减变化的幅度占原来数量的百分之几”，理解 “增长率”（数量增加）和 “降低率”（数量减少）的意义； 2.掌握变化率的核心数量关系：变化率 = 变化量 ÷ 原来的量（单位 “1”）×100%，能准确识别 “变化量”“原来的量”； 3.能结合生活情境感受百分数变化率在经济、统计、生活中的广泛应用（如物价调控、业绩增长、人口变化等），体会数学与现实生活的紧密联系，增强用数学解决实际问题的信心和兴趣。 二、课前预习 回顾旧知，衔接新知 1.占比问题核心公式：占比 = （ ）÷（ ）×100%； 解析：占比本质是“部分占整体的百分比”，核心是区分“部分”和“整体”，即“谁占谁的百分之几”，前者是部分量，后者是整体量。 2.列式计算：六（1）班有 40 人,女生2 5 人，女生占比是________%;男生占女生人数的______% 解析：先明确“整体量”是班级总人数40人，“部分量”是女生25人，代入公式：25÷40×100% = 62.5% . 初探变化率问题阅读教材 P19-20 1. 六（1）班原有 40 人，转来学生 5 人，人数增加______%； 解析：原来的量（基数）：40人，变化量：5人（转来即增加） 列式：5÷40×100% = 12.5%答案：12.5 2. 某工厂上月生产零件 2000 个，本月生产 2500 个，本月产量比上月增长了______%？ 解析：原来的量（基数）：上月产量2000个，变化量：2500 - 2000 = 500个 列式：500÷2000×100% = 25%答案：25. 3. 一件衣服原价 200 元，现在售价 160 元，价格降低了________%？ 解析：原来的量（基数）：原价200元，变化量：160 - 200 = -40元（负数表示减少） 降低率取绝对值计算：| -40 |÷200×100% = 20%答案：20 三、课堂学习 知识点讲解： =×100% 常见类型： 例题讲解： 例1某企业主要产品的生产成本是10万元/吨，经过技术创新后成本降为5万元/吨.该企业宣传时，宣称经过技术革新，产品的成本降低了100%.该企业的宣传正确吗?如果不正确，为其纠正错误. 解析： 确定基数：技术创新前的成本10万元/吨（变化之前的量） 计算变化量：现在的成本 - 原来的成本 = 5 - 10 = -5万元/吨（负号表示成本减少） 代入公式：变化率 = （-5）÷10×100% = -50%，负号表示“降低”，因此实际降低率是50% 企业错误原因：误将“现在的成本”当作“变化量”，认为5万元是10万元的100%，忽略了“变化率是相对于原来的量”的核心逻辑。 答案：该企业宣传不正确，实际成本降低了50%。 例2某商场去年春节期间的销售额为2100万元，今年春节期间的销售额为2520万元.问：今年春节期间销售额的增长率是多少? 解析： 增长值 = 今年销售额 - 去年销售额 = 2520 - 2100 = 420万元 基数：去年销售额2100万元（变化之前的量） 代入增长率公式：420÷2100×100% = 20% 填空答案：增长值是420万元，基数是去年春节期间的销售额（2100万元） 最终答案：今年春节期间销售额的增长率是20%. 例3某市今年第二季度的工业总产值为100亿元，比第一季度增长了6.2%,预计第三季度的增长率在第二季度的增长率基础上将提高1个百分点.第一季度的工业总产值是多少亿元(结果保留两位小数)?第三季度的工业总产值预计是多少亿元? 解析： （1）第二季度比第一季度增长6.2%，基数是第一季度工业总产值（变化之前的量） 公式对应：6.2% = （第二季度总产值 - 第一季度总产值）÷第一季度总产值×100% 设第一季度为x亿元，列方程：（100 - x）÷x×100% = 6.2% 解方程：100 - x = 0.062x → 1.062x = 100 → x ≈ 94.17亿元（保留两位小数） （2）第三季度增长率：第二季度增长率6.2% + 1个百分点 = 7.2%（“提高1个百分点”即直接加1%，区别于“增长1%”） 基数：第二季度工业总产值100亿元（变化之前的量） 公式对应：7.2% = （第三季度总产值 - 第二季度总产值）÷第二季度总产值×100% 设第三季度为y亿元，列方程：（y - 100）÷100×100% = 7.2% 解方程：y - 100 = 7.2 → y = 107.2亿元 挑战自己： 类型 1：求增长率 1.某果园去年产梨 120 吨，今年产梨 150 吨，今年产量比去年增长了百分之几？ 解析：基数=去年产量120吨，增长的量=150 - 120 = 30吨，增长率=30÷120×100% = 25% 答案：25% 2.一辆自行车原价 800 元，现在涨价 10%，现在的售价是多少元？ 解析：“涨价10%”即增长率10%，基数=原价800元，现在的量=800×（1 + 10%）= 800×1.1 = 880元 答案：880元 类型 2：求降低率 3.某超市上月客流量 8000 人，本月客流量 6800 人，本月客流量比上月降低了百分之几？ 解析：基数=上月客流量8000人，降低的量=8000 - 6800 = 1200人，降低率=1200÷8000×100% = 15% 4. 某手机降价 5%后售价 3040 元，原价是多少元？ 解析：“降价5%”即降低率5%，现价是原价的（1 - 5%）= 95%，设原价为x元，95%x = 3040 → x = 3040÷0.95 = 3200元 答案：3200元 5. 某公司今年利润 121 万元，比去年增长 10%，去年利润是多少万元？ 解析：“增长10%”即增长率10%，今年利润是去年的（1 + 10%）= 110%，设去年利润为x万元，110%x = 121 → x = 121÷1.1 = 110万元 答案：110万元 课堂小结 变化率的问题 核心公式： 变化率 = 常见类型： 易错点：容易找错“基数” 四、课堂练习 1.填空题： （1）变化率的核心是求_________占___________的百分之几，公式是_____________； 解析：变化率核心是“变化的量占原来的量（基数）的百分之几”，公式是变化率 = 变化量÷原来的量×100% 答案：变化的量；原来的量（基数）；变化率 = 变化量÷原来的量×100% （2）某商品原价 500 元，现价 600 元，增长率是_______%； 解析：基数=500元，变化量=600 - 500 = 100元，增长率=100÷500×100% = 20% 答案：20 （3）某工厂上月用水 100 吨，本月用水 80 吨，降低率是________%； 解析：基数=100吨，变化量=80 - 100 = -20吨，降低率=20÷100×100% = 20% 答案：20 （4）已知原来的量是 200，增长率是 20%，现在的量是______；已知现在的量是 180，降低率是 10%，原来的量是_______。 解析：现在的量=200×（1 + 20%）= 240；原来的量=180÷（1 - 10%）= 200 答案：240；200 2.判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）： （1）求变化率时，变化量可以是负数，不影响结果的百分比。（ ） （2）某商品原价 100 元，先涨价 10%，再降价 10%，最终价格不变，变化率为 0。（ ） （3）今年产量比去年增长 20%，表示今年产量是去年的 120%。（ ） （4）今年产量比去年增长 20%，则去年产量比今年低20%。（ ） （1）解析：变化量为负数时，百分比的绝对值表示变化幅度，符号表示增减方向，不影响百分比大小（如降低率取绝对值），因此正确。 答案：√ （2）解析：原价100元，涨价10%后为100×1.1=110元，再降价10%是110×0.9=99元，最终价格低于原价，变化率=（99-100）÷100×100%=-1%≠0，错误。 答案：× （3）解析：增长20%即今年产量=去年×（1+20%）=去年×120%，正确。 答案：√ （4）解析：设去年产量为100，今年为120，去年比今年低（120-100）÷120×100%≈16.7%≠20%，基数从“去年”变为“今年”，错误。 答案：× 3.解答题 （1）某地原计划造林0.12 km²,实际造林0.15 km².问：实际造林比原计划增加了百分之几? 解析：基数=原计划0.12km²，增长的量=0.15-0.12=0.03km²，增长率=0.03÷0.12×100%=25% 答案：25% （2） 小海暑假前体重为40 kg,暑假结束时，体重比放暑假前增加了7.5%.问：暑假结束时小海的体重是多少? 解析：基数=40kg，增长的量=40×7.5%=3kg，现在体重=40+3=43kg（或40×1.075=43kg） 答案：43kg （3） 某商场前年春节期间的销售额为2100万元，去年春节期间的销售额增加了20%,今年春节期间的销售额又减少了20%,那么今年春节期间的销售额是2100万元吗?为什么? 解析：去年销售额=2100×（1+20%）=2520万元，今年销售额=2520×（1-20%）=2016万元≠2100万元，因为两次变化的基数不同（第一次基数2100，第二次基数2520） 答案：不是，今年销售额2016万元，原因是两次增减的基数不同。 （4） 某小学原有学生 800 人，今年扩招后有学生 920 人，今年学生的增长率是多少？ 解析：基数=800人，增长的量=920-800=120人，增长率=120÷800×100%=15% 答案：15% （5） 一台冰箱原价 4500 元，现在促销价 3600 元，价格降低了百分之几？ 解析：基数=4500元，降低的量=4500-3600=900元，降低率=900÷4500×100%=20% 答案：20% （6） 某书店上月销售额 15 万元，本月销售额比上月增长 15%，本月销售额是多少万元？ 解析：现在的量=15×（1+15%）=15×1.15=17.25万元 答案：17.25万元 （7） 一辆汽车现在售价 18 万元，比原价降低了 10%，这辆汽车的原价是多少万元？ 解析：现价是原价的（1-10%）=90%，原价=18÷0.9=20万元 答案：20万元 （8） 某果园前年产苹果 100 吨，去年产苹果 120 吨，今年产苹果 150 吨，去年比前年的增长率是多少？今年比去年的增长率是多少？ 解析：去年比前年增长率=（120-100）÷100×100%=20%；今年比去年增长率=（150-120）÷120×100%=25% 答案：20%；25% （9）下图是某商场季度销售额统计图：一季度 200 万元，二季度 240 万元，三季度 216 万元。 二季度比一季度的增长率是多少？ 三季度比二季度的降低率是多少？ 解析：二季度比一季度增长率=（240-200）÷200×100%=20%；三季度比二季度降低率=（240-216）÷240×100%=10% 答案：20%；10% （9） 某城市人口变化：2022 年人口 500 万人，2023 年人口 525 万人，2024 年人口 514.5 万人。2023 年的增长率和 2024 年的降低率分别是多少？ 解析：2023年增长率=（525-500）÷500×100%=5%；2024年降低率=（525-514.5）÷525×100%=2% 答案：5%；2% （10） 某商品先涨价 10%，再降价 15%，最终价格比原价降低了百分之几？（提示：设原价为 a元，分步计算现价，再求降低率） 解析：设原价为a元，涨价10%后为1.1a，再降价15%后为1.1a×0.85=0.935a，降低率=（a-0.935a）÷a×100%=6.5% 答案：6.5% （12）甲、乙两店去年销售额均为 100 万元，今年甲店销售额比去年增长 20%，乙店销售额比去年降低 10%，今年甲店销售额比乙店多百分之几？ 解析：今年甲店销售额=100×1.2=120万元，乙店=100×0.9=90万元，甲比乙多（120-90）÷90×100%≈33.3%（基数是乙店今年销售额） 答案：约33.3% 5、 课后练习 1.填空： （1）|50-40|÷40×100% = （ ）%；180÷(1+20%) =_____； 解析：|50-40|=10，10÷40×100%=25%；180÷1.2=150 答案：25；150 （2）某商品原价 300 元，现价 345 元，增长率是（ ）%；某玩具原价 80 元，现价 64 元，降低率是（ ）%； 解析：增长率=（345-300）÷300×100%=15%；降低率=（80-64）÷80×100%=20% 答案：15；20 2.解答题： （1）某农场去年养猪 500 头，今年养猪 625 头，今年的增长率是多少？ 解析：增长率=（625-500）÷500×100%=25% 答案：25% （2） 一件外套原价 600 元，现在打八折出售（即现价是原价的 80%），价格降低了百分之几？ 解析：打八折后现价=600×80%=480元，降低率=（600-480）÷600×100%=20%（或直接用1-80%=20%） 答案：20% （3） 某超市上月利润 20 万元，本月利润比上月增长 25%，本月利润是多少万元？ 解析：本月利润=20×（1+25%）=25万元 答案：25万元 （4） 某楼盘现在房价每平方米 10800 元，比开盘时降低了 10%，开盘时房价每平方米多少元？ 解析：现价是开盘价的90%，开盘价=10800÷0.9=12000元 答案：12000元 （5） 某工厂生产效率变化：第一个月生产 500 件 / 天，第二个月效率增长 20%，第三个月效率比第二个月降低 10%，第三个月每天生产多少件 ？ 解析：第二个月效率=500×1.2=600件/天，第三个月=600×0.9=540件/天 答案：540件 （6） 某商品原价 200 元，先涨价10%，再降价10%，最终售价多少元？ 解析：涨价后=200×1.1=220元，降价后=220×0.9=198元 答案：198元 （7） 甲、乙两地相距 100 千米，一辆汽车从甲地到乙地用了 2.5 小时，从乙地返回甲地用了 2 小时，返回时的速度比去时的速度增长了百分之几？（提示：先求速度，再算增长率） 解析：去时速度=100÷2.5=40千米/小时，返回速度=100÷2=50千米/小时，增长率=（50-40）÷40×100%=25% 答案：25% （8） 若某数量先增长 a%，再降低 a%，最终变化率是多少？（用含 a 的式子表示） 解析：设原数量为1，增长a%后为1×（1+a%），再降低a%后为（1+a%）（1-a%）=1-（a%）²，变化率={[1-（a%）²]-1}×100%=--% 答案：最终变化率为 -%（负号表示降低） 学科网（北京）股份有限公司 $