第7章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第7章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式，由题中条件，即可求解. 【解析】记圆心角为，因为扇形的半径为2，面积为4， 所以，则； 故选：C 2.若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【解析】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C 3.设为正数，若函数的最小正周期为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【解析】由，且为正数，可得，解得. 故选：C. 4.已知角α满足，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的商数关系“弦化切”，即可求值. 【解析】由题意，， 故选：C. 5.函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 6.已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】将写成分段函数以及利用正切函数图像与性质即可求解. 【解析】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 7.如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中相应系数，即可得解. 【解析】根据题意可设，则．旋转一周， ． 最大值与最小值分别为14，2， ，解得． ． 故选：D． 8.对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 【解析】由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列三角函数值的符号为负的有（  ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】根据角所在的象限，确定三角函数值的正负. 【解析】A.的角的终边在第四象限，所以，故A正确； B.的角的终边在第二象限，所以，故B错误； C.弧度的角的终边在第二象限，所以，故C正确； D.的角的终边在第三象限，所以，故D错误. 故选：AC 10.已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【解析】依题意，，， 两边平方得， ，所以，A选项正确，B选项正确. 则，所以 ，所以D选项正确. 由，两式相减并化简得，所以C选项错误. 故选：ABD 11.已知函数的图象关于点中心对称，则（  ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上至多一个零点零点 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ABC 【分析】结合题意得到函数关于点对称，可得，整体代入求出单调递减区间判断A即可；利用单调性判断在区间上零点个数判断B即可；求出并结合奇偶性的定义确定奇偶性判断C即可；求出时，的值域判断D即可. 【解析】对于A，由题意得函数的图象关于点中心对称， 则，即， 因为，所以取，则，则. 令，则， 又，所以取，则，故A正确， 对于B，因为在单调递减， 所以在区间上至多一个零点，故B正确， 对于C，因为 ， 所以由正弦函数性质得为奇函数．故C正确， 对于D，当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，得到，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为__________- 【答案】 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得. 故答案为： 13.设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【解析】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【分析】由三角函数的图像与性质即可求解。 【解析】当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数的值域为. 作出函数的图象如图： 因为关于的方程恰有三个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可知，，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 16.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【解析】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又 ，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故. 17.（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）或． 【分析】（1）根据五点法作图，先列表，再描点，连线即可； （2）求出，再对分讨论即可. 【解析】（1）列表如下： 作图如下： （2）. 当时，不符合题意， 当时，， ，符合题意； 当时，， ．符合题意． 综上，或． 18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)，;(2)40 【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式； （2）根据正弦方程，求解的关系，通过分类讨论得到的最小值. 【解析】（1）如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM. 因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则. 又因为，，所以， 则. ，， 即，. （2）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为. 综上，的最小值为40. 19.已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单增区间为，取得最大值时的集合 （3） 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【解析】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故， 则， 令则且， 故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知扇形的半径为2，面积为4，则圆心角为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2.若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.设为正数，若函数的最小正周期为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知角α满足，则=（  ） A． B． C． D． 5.函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． 6.已知函数，则下列结论中正确的有（  ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 7.如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 8.对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列三角函数值的符号为负的有（  ） A. B. C. D. 10.已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 11.已知函数的图象关于点中心对称，则（  ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上至多一个零点零点 C．是奇函数 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为__________- 13.设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为______. 14. 已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 16.已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 17.（1）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图； （2）若函数在区间上的最大值为1，最小值为，求，的值. 18.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 19.已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； （3）若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $