精品解析：辽宁省铁岭市 铁岭县莲花第一初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度（上）数学第三次月考卷 八年级数学试卷 ※考试范围：13章至17章因式分解；考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题）（共30分） 一、单选题（本题共10道题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组线段中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 在中，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（ ） A. 8海里 B. 海里 C. 7海里 D. 海里 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（ ） A. 原命题、逆命题都是真命题 B. 原命题为假命题，逆命题为真命题 C. 原命题为真命题，逆命题为假命题 D. 原命题、逆命题都是假命题 7. 若，，则的值为（ ） A. 12 B. 17 C. 72 D. 18 8. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题）（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 _____． 12. 已知，，则的值为______． 13. 已知的乘积展开式中不含和项，则的值为______． 14. 如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是_____． 15. 如图，的角平分线，相交于点，，若的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为________． 三、解答题：（共8道题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式）． 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为（ ）； （3）在轴上找出点，使取最小值． 20. 如图，与相交于点O，，． （1）求证：； （2）若平分，求证：垂直平分． 21. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 22. 阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 （1）计算：________： （2）小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． （3）同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 23. 【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）数学第三次月考卷 八年级数学试卷 ※考试范围：13章至17章因式分解；考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题）（共30分） 一、单选题（本题共10道题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组线段中能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，通常只需验证较短两边之和是否大于最长边即可． 【详解】解：A、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意； C、，所以能组成三角形，故该选项符合题意； D、，所以不能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 在中，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和及三角形形状的判断；根据三角形内角和定理求出的度数，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形； 故选A． 4. 如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（ ） A. 8海里 B. 海里 C. 7海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先得出，得到，然后求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， 根据题意得，， ∴ ∴ ∴（海里） ∵ ∴ ∴海里 ∴（海里）． 故选：B． 5. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边是和的形式，不符合题意； C、等式右边是和的形式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选D． 6. 下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（ ） A. 原命题、逆命题都是真命题 B. 原命题为假命题，逆命题为真命题 C. 原命题为真命题，逆命题为假命题 D. 原命题、逆命题都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线性质是解题关键． 写出原命题和逆命题，然后根据平行线性质、对顶角进行判断即可． 【详解】解：原命题：同位角相等是假命题，只有两直线平行，才成立； 逆命题：相等的角是同位角，是假命题，有可能是对顶角， ∴ 原命题和逆命题都是假命题， 故选：D． 7. 若，，则的值为（ ） A. 12 B. 17 C. 72 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的逆运算，把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 8. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形三边关系定理和三角形全等的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，∴ A错误； B：，，，只有角度无边长，三角形大小不确定，∴ B错误； C：，，，为已知两边及其中一边的对角（），不能判定画出的三角形全等，故画出的三角形不唯一，∴ C错误； D：，，，为已知直角三角形斜边和一条直角边，满足HL定理，能判定画出的三角形全等，∴ D正确． 故选：D． 9. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等边和等边，连接，．若，，则、满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质证得，结合全等的性质求解即可． 【详解】解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题）（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若b为常数，要使成为完全平方式，那么b的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值． 【详解】解：， ， 解得：． 12. 已知，，则的值为______． 【答案】 45 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据 进行计算求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 13. 已知的乘积展开式中不含和项，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，以及不含某项时系数为零的性质． 先展开多项式，根据不含和项的条件，令相应系数为零，解出和的值，再计算． 【详解】解：： 由于展开式中不含和项，则 ， 解得， 因此， 故答案为： 12． 14. 如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的角平分线，相交于点，，若的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据三角形内角和求出，再利用角平分线性质得到，最后结合三角形内角和求，再利用角平分线的性质，证明与、与面积相等，进而通过面积关系计算的面积． 【详解】解：， ， 、是角平分线， ，， ， ， 在上取一点，使，连接， 平分， ， 又，， ， ，， ， ， ，． ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握“利用角平分线构造全等三角形转化面积关系”是解题的关键． 三、解答题：（共8道题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方的运算法则可知，再利用同底数幂的除法法则即可解答； （2）利用多项式除以单项式的运算法则即可解答； （3）根据题意可得，再利用平方差公式即可解答； （4）根据平方差公式可得即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解决本题的关键． （1）运用提公因式进行分解因式即可； （2）运用平方差公式进行分解因式即可； （3）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式即可； （4）先运用平方差公式进行分解，再合并括号内的同类项，最后提公因式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算--化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时 原式 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的； （2）点的坐标为（ ）； （3）在轴上找出点，使取最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3）如图； 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到点，即可； （2）由（1）中作图，解答即可； （3）连接交y轴于点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：连接交y轴于点M，则点M即为所求． 20. 如图，与相交于点O，，． （1）求证：； （2）若平分，求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 小南同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理、重力作用、动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．小南同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当小南同学推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）求两次摆动中的点和点的高度差的长． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）根据得出，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点到的距离为，点到的距离为， ， ， ， 两次摆动中点和的高度差的长为． 22. 阅读材料 数学活动—探究日历中的数字规律如图1是2025年2月份的日历，小宇在其中画两个的方框，每个框均框住的位留为四个数，计算“”的值，探索其运结果的规律． a c b d 2025年2月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 图1 2025年4月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 图2 （1）计算：________： （2）小宇通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：理由如下： 设，则，________，________． 所以________． （3）同学们利用小宇的方法，借助2025年4月份的日历，继续进行如下探究．在日历中用“十字框”框住的位置为五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． b a o d c 【答案】（1）7 （2） 理由如下： 设，则，，． 所以； （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律探究问题，有理数的运算： （1）直接根据有理数的乘法和减法法则进行计算即可； （2）根据位置列出代数式，多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （3）设，根据位置，列出代数式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 设，则：， ∴． 23. 【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分； 【运用】如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $