精品解析：江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高一上学期12月质量调研数学试题

2025年秋学期高一十二月质量调研 数学试卷 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】即不等式得到集合，由集合的交集定义得到结果. 【详解】∵， ∴或， ∴. 故选：A. 2. “游乐园的摩天轮按逆时针方向旋转了一周半”，则旋转的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由任意角的定义和弧度制的定义得到结果. 【详解】. 故选：D. 3. 下列命题是存在量词命题的是（ ） A. 对任意正实数 B. 不存在实数 C. 矩形对角线相等 D. 有一个数不能作除数 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的概念逐一判断即可. 【详解】对于A：任意是全称量词，所以该命题是全称命题，故A错误； 对于B：对于B：命题“不存在实数”是“存在实数”的否定， 其等价命题为“对任意实数，都有”，这是一个全称量词命题，故B错误； 对于C：矩形是指所有矩形，所以该命题是全称命题，故C错误； 对于D：有一个是存在量词，所以该命题是存在量词命题，故D正确. 故选：D 4. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数性质一一判断即可. 【详解】对A，设，则，则，则其不是增函数，故A错误； 对B，因为，则为减函数，故B错误； 对C，，则其在上为增函数，故C正确， 对D，，显然其为减函数，故D错误. 故选：C. 5. 下列所给的各组中，是的充分条件的是（ ） A. B. C. ：：关于的方程有两个实数解 D. 中，中， 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 6. 已知则角终边所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的符号可以确定角的终边所在的象限，从而作出判断. 【详解】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限， 故选：D. 7. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出，根据与的关系得出，最后根据弦化切即可得出答案. 【详解】因为，所以，又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，. 则. 故选：C 8. 已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，探求函数的性质，再分段求解不等式. 【详解】由，得， 当时，，， 又在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递增， 不等式化为或， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】写出与角终边相同的角的表达式，进而判断得解. 【详解】与角终边相同的角，连同角在内的所有角为， 当时，；当时，，BD是； 不存在整数，使得取得和，AC不是. 故选：BD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数与的图象关于轴对称 C. D. 对于定义域内任意的，总有. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数的运算可判断A；根据图像的对称变换可判断B；根据函数单调性可判断C；根据基本不等式可判断D. 【详解】，故A正确. 函数与的图象关于轴对称，故B错误； 因为，所以，又因为在上单调递增，所以，故C正确； ，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：AC 11. 已知为正实数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为-4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合基本不等式“1”的妙用逐项求解. 【详解】对于A，由，，得， 当且仅当时取等号，因此的最小值为1，A正确； 对于B，由，，得，则 ，当且仅当， 即时取等号，与矛盾，即上述等号不成立，B错误； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，，得 ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在实数范围内，的四次方根为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用4次方根的意义列式计算. 【详解】在实数范围内，的四次方根为. 故答案为： 13. 已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或； 当时，， 此时函数是奇函数，在单调递减，定义域为， 此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，故不符合题意； 当时，， 此时函数是偶函数，在单调递增，定义域为， 此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故符合题意； 综上所述，的取值集合为， 故答案为： 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，，分别绘制，的图像，结合图像可得到有最小值， ，.由有最小值得到；由点在的图象上得到.结合求交集得到的范围. 【详解】设，，分别绘制，的草图如下： 其中有最小值，且；无最小值，且，.因为函数有最小值，所以；点在的图象上，所以.综上. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则、对数运算性质计算即得. （2）利用特殊角的三角函数值代入计算即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 16. 已知函数 （1）若为第二象限角，试化简表达式； （2）若，计算值. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）由（1）的信息，利用正余弦齐次式法分类计算即得. 【小问1详解】 由为第二象限角，得， 所以函数 【小问2详解】 由（1）知，而，则，， 当，即是第二象限角时，， ； 当，即是第一象限角时，， . 17. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ．即． 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）1 （2）函数在上单调递减，证明见详解. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义分析求解，可得，并代入检验即可. （2）由复合函数各自的单调性得到函数在上单调性，然后由作差法证明函数在的单调性. （3）由奇函数化简不等式，然后由（2）得到奇函数在上单调性，由自变量的范围结合单调性建立不等式，解得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是奇函数， 则， 可得，即， 结合x的任意性可得，解得， 若，则，不合题意； 若，则， 令，等价于，解得， 可知函数的定义域为，符合题意； 综上所述： 【小问2详解】 由（1）可知函数， 令，当时，函数单调递减， ∵，∴对数函数在定义域上单调递增， ∴函数在上单调递减. 任取， 则， ∵， ∵，∴，∴， ∴， 即，所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 因为奇函数在上单调递减，可知在上单调递减. ∵， ∴， 恒成立，恒成立， ∴，即，即. 所以不等式的解集为. 19. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数满足：对于任意的，当时，都有，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将原关系中替换为，通过两式消元得到函数的解析式； （2）由（1）得到函数，然后令，并求得的取值范围，代入不等式后整理化简，然后通过函数单调性求得不等式一边的最值，即可求得实数的取值范围； （3）列出函数解析式，由函数的定义域可得，再构造函数，利用函数单调性定义确定单调性，进而利用分段函数单调性列式求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 ， 令，∵，∴， ∴，∴， ∴， 令，则，且函数在区间上单调递减， ∴， ∴. 【小问3详解】 函数为分段函数，令函数， 由函数定义域知，当时，函数在处无定义，则， 对于任意的，当时，都有， 因此函数R上单调递减，显然，则，解得， 所以存在实数满足条件，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高一十二月质量调研 数学试卷 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “游乐园的摩天轮按逆时针方向旋转了一周半”，则旋转的角是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是存在量词命题的是（ ） A. 对任意正实数 B. 不存在实数 C. 矩形对角线相等 D. 有一个数不能作除数 4. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列所给的各组中，是的充分条件的是（ ） A. B. C. ：：关于的方程有两个实数解 D. 中，中， 6. 已知则角终边所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各角中，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数与的图象关于轴对称 C. D. 对于定义域内任意的，总有. 11. 已知为正实数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为-4 C. 最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在实数范围内，的四次方根为__________. 13. 已知实数m为常数，对于幂函数，甲说：f(x)是奇函数；乙说：f(x)在上单调递增；丙说：f(x)的定义域是，甲、乙、丙三人关于幂函数f(x)的论述只有一人是错误的，则m的取值集合为________. 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则实数的取值范围为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知函数 （1）若为第二象限角，试化简表达式； （2）若，计算的值. 17. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 18. 已知函数奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解关于不等式. 19. 已知函数满足，函数. （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）试判断是否存在实数，使得函数满足：对于任意的，当时，都有，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $