7.3.1平行线的证明(平行线判定)同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

7.3 平行线的证明(平行线判定) 考点1: 平行线的判定的基本事实 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述：同位角相等，两直线平行). [同位角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线的同旁、第三条直线的同一侧的两个角叫同位角] · 如图所示.符号语言： ∵∠1＝∠2(已知)， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 考点2: 平行线的判定定理 1. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行(简述：内错角相等，两直线平行). [内错角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线之间，并分别位于第三条直线的两侧的两个角叫内错角] · 如图所示.符号语言： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行). 2. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(简述：同旁内角互补，两直线平行). [同旁内角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线之间，并且位于第三条直线同一侧的两个角叫同旁内角] · 如图所示.符号语言： ∵∠2＋∠4＝180°(已知)， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). · 由两角的数量关系判定平行线的方法： 要判定两直线平行，一定要先找准是哪两条直线被第三条直线所截，再确定已知的两角是不是这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角.易出现的错误是“三线八角’中的关系与所判定的直线不对应. 练习1. 1. 如图，点D在AC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CE的是( ). A.∠DCE＝∠BCE　　B.∠B＝∠BCE C.∠A＝∠DCE　　D.∠A＋∠ACE＝180° 2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是( ). A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠3 C. ∠1＋∠2＝180° D. ∠2＋∠4＝180° 3. 如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( ). A.连接AB，则AB∥PQ B.连接BC，则BC∥PQ C.连接BD，则BD⊥PQ D.连接AD，则AD⊥PQ 4. 如图，过点A作已知直线m的平行线n的作法依据是 . 5. 如图，直线l1，l2分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，∠2＝105°.当∠1的度数是 时，l1∥l2. 6. 如图所示，∠BAF＝38°,DC⊥CE，∠ACE＝128°.试判断直线AB与DC的位置关系，并说明理由. 巩固练习： 1. 如图，在下列条件中，能判断直线a∥b的是( ). A. ∠2＋∠5＝180° B. ∠2＝∠4 C. ∠4＋∠5＝180° D. ∠1＝∠3 2. 如图，直线a，b被直线c，d所截.下列条件能判定a∥b的是( ). A. ∠1＝∠3　　 B. ∠2＋∠4＝180° C. ∠4＝∠5　　 D. ∠1＝∠2 3. 在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是( ). A.仅皓皓同学 B.诗诗和皓皓 C.麦麦和皓皓 D.诗诗和麦麦 4. 在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( ). A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 5. 如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是( ). A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．在图4中，展开后测得∠1＋∠2＝180° 6. 如图，下列条件中能判定AB∥CD的是( ). ①∠DAC＝∠BCA；②∠BAC＝∠ACD；③∠B＝∠D；④∠EAB＝∠DCF. A.② B.②③④ C.②④ D.①③ 7. 如图，木条a、b与木条c钉在一起，∠1＝65°，转动木条a，当∠2＝ 时，木条a与b平行. 8. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°.求证：DE∥BC. 9. 如图所示，已知∠OEB＝130°，OF平分∠EOD，∠FOD＝25°.求证：AB∥CD. 10. 如图，直线AB和CD被直线MN所截. (1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足 时，AB∥CD. (2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足 时，AB∥CD. (3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD?为什么? 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 平行线的证明(平行线判定) 考点1: 平行线的判定的基本事实 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述：同位角相等，两直线平行). [同位角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线的同旁、第三条直线的同一侧的两个角叫同位角] · 如图所示.符号语言： ∵∠1＝∠2(已知)， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 考点2: 平行线的判定定理 1. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行(简述：内错角相等，两直线平行). [内错角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线之间，并分别位于第三条直线的两侧的两个角叫内错角] · 如图所示.符号语言： ∵∠2＝∠3(已知)， ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行). 2. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行(简述：同旁内角互补，两直线平行). [同旁内角：同一平面内两条直线被第三条直线所截，其中处在两条被截直线之间，并且位于第三条直线同一侧的两个角叫同旁内角] · 如图所示.符号语言： ∵∠2＋∠4＝180°(已知)， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). · 由两角的数量关系判定平行线的方法： 要判定两直线平行，一定要先找准是哪两条直线被第三条直线所截，再确定已知的两角是不是这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角.易出现的错误是“三线八角’中的关系与所判定的直线不对应. 练习1. 1. 如图，点D在AC的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CE的是( A ). A.∠DCE＝∠BCE　　B.∠B＝∠BCE C.∠A＝∠DCE　　D.∠A＋∠ACE＝180° 2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是( C ). A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠3 C. ∠1＋∠2＝180° D. ∠2＋∠4＝180° 3. 如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是( B ). A.连接AB，则AB∥PQ B.连接BC，则BC∥PQ C.连接BD，则BD⊥PQ D.连接AD，则AD⊥PQ 4. 如图，过点A作已知直线m的平行线n的作法依据是 内错角相等，两直线平行 . 5. 如图，直线l1，l2分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，∠2＝105°.当∠1的度数是　　45°　时，l1∥l2. 6. 如图所示，∠BAF＝38°,DC⊥CE，∠ACE＝128°.试判断直线AB与DC的位置关系，并说明理由. 解：AB∥CD.理由如下： ∵∠BAF＝38°，∠BAF＋∠CAB＝180°， ∴∠CAB＝142°. ∵DC⊥CE，∴∠DCE＝90°. 又∵∠DCE＋∠ACE＋∠DCA＝360°，∠ACE＝128°， ∴∠DCA＝142°. ∴∠DCA＝∠CAB， ∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行). 巩固练习： 1. 如图，在下列条件中，能判断直线a∥b的是( D ). A. ∠2＋∠5＝180° B. ∠2＝∠4 C. ∠4＋∠5＝180° D. ∠1＝∠3 2. 如图，直线a，b被直线c，d所截.下列条件能判定a∥b的是( D ). A. ∠1＝∠3　　 B. ∠2＋∠4＝180° C. ∠4＝∠5　　 D. ∠1＝∠2 3. 在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线AB、CD，诗诗、麦麦、皓皓三位同学的做法如图所示： 上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是( D ). A.仅皓皓同学 B.诗诗和皓皓 C.麦麦和皓皓 D.诗诗和麦麦 4. 在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( A ). A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 5. 如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是( C ). A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．在图4中，展开后测得∠1＋∠2＝180° 6. 如图，下列条件中能判定AB∥CD的是( C ). ①∠DAC＝∠BCA；②∠BAC＝∠ACD；③∠B＝∠D；④∠EAB＝∠DCF. A.② B.②③④ C.②④ D.①③ 7. 如图，木条a、b与木条c钉在一起，∠1＝65°，转动木条a，当∠2＝___65°__时，木条a与b平行. 8. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°.求证：DE∥BC. 解：如图.∵CD⊥AB(已知)， ∴∠1＋∠3＝90°(垂直的定义). ∵∠1＋∠2＝90°(已知)， ∴∠3＝∠2(同角的余角相等)， ∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行). 9. 如图所示，已知∠OEB＝130°，OF平分∠EOD，∠FOD＝25°.求证：AB∥CD. 解：∵OF平分∠EOD，∠FOD＝25°(已知)， ∴∠EOD＝50°(角平分线的定义). ∵∠OEB＝130°(已知)， ∴∠EOD＋∠OEB＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行). 10. 如图，直线AB和CD被直线MN所截. (1)如图1，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对同旁内角)，则∠1与∠2满足　∠1＋∠2＝90°　时，AB∥CD. (2)如图2，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对同位角)，则∠1与∠2满足　∠1＝∠2 时，AB∥CD. (3)如图3，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD?为什么? 答案：(3)当∠1＝∠2时，AB∥CD. 理由：∵EG平分∠AEF，FH平分∠DFE， ∴∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠AEF＝∠DFE， ∴AB∥CD. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $