第17讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦几何图形核心知识点，系统梳理几何图形的定义与分类，区分立体图形（如长方体、圆柱）和平面图形（如三角形、圆），深入解析点、线、面、体的构成关系，结合七巧板拼图实现从抽象概念到实践应用的学习支架搭建。 资料特色在于以几何直观和空间观念为核心，通过“平面图形旋转成圆柱”等实例培养数学眼光，设计多面体顶点棱面关系探究题发展推理意识，七巧板面积计算等题型提升应用意识。课中助力分层教学，课后强化训练覆盖选择、填空、解答题，有效帮助学生查漏补缺。

第17讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.图形间的联系 3.七巧板拼图 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、平面图形旋转后所得的立体图形 六、点、线、面、体四者之间的关系 七、平面图形形状的识别 八、用七巧板拼图形 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形 1.定义：点、线、面、体称为几何图形。 注意： 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其他属性，如质量，颜色等。 2.分类：   定义 举例 立体图形 图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形。 长方体，圆柱，圆锥，球等。 平面图形 图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。 如线段、角、三角形、圆等。 常见的立体图形的分类方法 （1） （2） 知识点2.图形间的联系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的。 2.元素之间的关系 注意： 点无大小，线无粗细，面无厚薄。 知识点3.七巧板拼图 七巧板：七巧板又称“七巧图”“智慧板”，是中国古老的智力玩具。如图，七巧板由七块板组成，完整图案为一个正方形，由七块板可以变换出各种不同的图案。 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形，属于基础题，注意对这一概念的熟练掌握及运用． 【详解】解：根据立体图形的概念可知：只有A是立体图形． 故选：A． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了认识平面图形和立体图形，熟练掌握平面图形和立体图形的特征进行求解是解决本题的关键． 应用平面图形和立体图形的特征进行判定即可得出答案． 【详解】解：①角是平面图形，②圆是平面图形，③圆锥是立体图形，④三角形是平面图形． 所有属于平面图形的是①②④． 故答案为：①②④． 3．如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来． 【答案】见解析 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了认识立体图形，实物抽象成立体图形，熟悉常见几何体的形状与实物的关系是解题的关键．根据常见实物与几何体的关系，连线即可． 【详解】解：如图所示： 题型二、组合几何体的构成 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合几何体的构成 【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可． 【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意； B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意； C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意； D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键． 5．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【知识点】组合几何体的构成 【分析】此题主要考查了几何体的表面积与体积求法，在一个大正方体的上面的一个角上挖出一个棱长的小正方体，那么它的表面积没有发生变化；用原大正方体的体积减去小正方体的体积就得到余下部分的体积．据此解答即可． 【详解】解：余下部分的体积： ； 表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 6．如图，图1的几何体为三棱柱，由2个等边三角形底面和3个长方形侧面组成，其中每个等边三角形面积均为，长方形面积均为．若将4个图1中的三棱柱紧密堆叠成如图2的几何体，求图2中几何体的表面积． 【答案】 【知识点】组合几何体的构成、列代数式 【分析】此题主要考查了列代数式、几何体的表面积；直接利用三棱柱的构成进而得出其表面即可． 【详解】解：∵等边三角形面积为，矩形面积为， ∴图2中三棱柱的表面积为：． 题型三、立体图形的分类 7．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球体，注意球和圆的区别，球是立体图形，圆是平面图形．利用锥体的意义，直接选择答案即可． 【详解】解：①是圆锥，属于锥体，符合题意， ②是三棱锥，属于锥体，符合题意， ③是四棱柱，属于柱体，不符合题意， ④是球体，不符合题意， ⑤是圆柱，属于柱体，不符合题意， ∴属于锥体的有①②，共个． 故选：B． 8．在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中属于柱体有 个． 【答案】4 【知识点】立体图形的分类 【分析】根据柱体、锥体、球体的概念进行判断即可． 【详解】解：属于柱体的有：正方体、长方体、圆柱，六棱柱，共4个，圆锥、六棱锥属于锥体，球属于球体， 故答案为：4． 【点睛】本题考查认识立体图形，掌握锥体、柱体、球体的特征是正确判断的关键． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【知识点】立体图形的分类 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型四、几何体中的点、棱、面 10．用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（    ） A．1cm B．2cm C．10cm D．20cm 【答案】B 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度． 【详解】解：∵， ∴倒出水的体积=， 则长方体容器中水下降的高度． 故答案选：B． 【点睛】本题是利用长方体的体积公式解决实际问题，分析出长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积是本题的关键． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果一个棱柱有条棱，那么这个棱柱的面数为 个． 【答案】/ 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了棱柱的结构特征，正确记忆棱柱由上下两个底面及侧面组成是解题的关键． 根据棱柱的概念和定义，可知有条棱的棱柱是棱柱，据此解答即可． 【详解】解：如果一个棱柱有条棱，那么这是一个棱柱，它有个面， 故答案为：． 12．如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ 【答案】这个棱柱共有个面，有 个顶点，有条棱；侧面积为 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查了棱柱，熟练掌握棱柱的相关知识点是解题的关键． 根据六棱柱特征直接解答即可． 【详解】解：这个棱柱共有个面， 有 个顶点， 有条棱； 它的侧面积为． 答：这个棱柱共有个面，有个顶点，有条棱，它的侧面积是 题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 【答案】B 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查平面图形旋转形成的立体图形，解题的关键是理解旋转的特征以及常见立体图形的形成方式． 根据长方形绕一边所在直线旋转一周的特点，判断形成的几何体形状． 【详解】解：将一个长方形绕它的一条边旋转一周，所得的几何体是圆柱． 故选：B． 14．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·浙江）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 【答案】 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查立体图形的体积，熟练掌握体积计算公式是解题的关键．分别求出两个图形形成的立体图形的体积即可得到答案． 【详解】解：第一个图形形成的立体图形的体积： ； 第二个图形形成的立体图形的体积： ． 两个立体图形体积的比是． 题型六、点、线、面、体四者之间的关系 16．（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，灵活运用点、线、面、体知识点进行解题是本题的重点．可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面， 故选：B． 17．如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ． ①相交        ②不相交    ③平行        ④在同一平面内        ⑤不在同一平面内 【答案】⑤不在同一平面内 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】根据立体图形中直线的位置关系可知，这两条直线不在同一平面内． 【详解】解：由图可知：这两条直线的位置关系是不在同一平面内， 故答案为：⑤不在同一平面内． 【点睛】本题考查立体图形中直线的位置关系，熟练掌握两直线在同一平面内直线位置关系有平行和相交，不在同一平面内是解题的关键． 18．下面几张图片表示的运动，给我们以点动成线、线动成面或面动成体的形象的各是哪一个？ 【答案】第一幅：点动成线，第二幅：线动成面，第三幅：面动成体． 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系，根据点线面体之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 根据点动成线、线动成面或面动成体的特征判断即可． 【详解】解：第一幅图烟花可以看成一个点，由移动形成线， 符合点动成线的原理． 第二幅图刷漆可以看成一条线，由移动形成一个面， 符合线动成面的原理． 第三幅图门旋转可以看成一个面，由旋转形成一个柱体， 符合面动成体的原理． 题型七、平面图形形状的识别 19．（2022七年级上·浙江·专题练习）下面的图形中，是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． 【详解】解：A为圆柱，不符合题意； B为圆锥，不符合题意； C为球，不符合题意； D为圆，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平面图形和立体图形，解题关键在于熟练掌握该部分的相关知识． 20．如图中长方形有 个． 【答案】15 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】根据单个长方形，两个长方形组合形成的长方形，三个长方形组合形成的长方形，四个长方形组合形成的长方形，五个长方形组合形成的长方形的个数，相加即可解答． 【详解】解：观察图形，可得单个长方形有5个，两个长方形组合形成的长方形4个，三个长方形组合形成的长方形3个，四个长方形组合形成的长方形2个，五个长方形组合形成的长方形有1个，，故有15个长方形． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了长方形的概念，了解多个长方形组合成一个长方形是解题的关键． 21．画图：用三种方法把正方形面积五等分． 【答案】见解析 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】方法1：把正方形竖着的两边五等分，即可；方法2：把正方形横着的两边五等分，方法3：先把正方形的各边五等分，构造出网格，再进行五等分，即可． 【详解】解：根据题意得：把正方形面积五等分如下图： 【点睛】本题主要考查了正方形的等分问题，熟练掌握正方形的特性是解题的关键． 题型八、用七巧板拼图形 22．（22-23七年级上·浙江丽水·期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】根据“七巧板”的分割方法，得出各个部分各占正方形面积的几分之几即可． 【详解】解：根据“七巧板”的分割方法可知， ，， ∴这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是， 故选：B 【点睛】本题考查了七巧板，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的边长计算其周长即可． 【详解】解：如图： ∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于45°， ∵方格图中的小正方形边长为1， ∴， ∴， ； 如图，当七巧板拼成“衣服型”时， 则“衣服型”的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面图形，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键． 24．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】本题考查了三角形与正方形的画法，熟悉七巧板的结构是解题关键． 解此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，其中两个全等较大的，一个中等的，两个全等较小的；一个正方形；一个平行四边形． （1）用其中三块板拼成一个三角形，需使用一个小正方形与两个较小的等腰直角三角形； （2）用其中的四块板拼成一个三角形，需有一个正方形，一个较大的等腰直角三角形和两个较小的等腰直角三角形； （3）用全部七块板拼成一个英文字母“E”． 【详解】（1）3块板拼成一个三角形如图所示： （2）4块板拼成一个三角形如图所示： （3）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，由七块板组成，可以拼出许多有趣的图案，如动物、人物、建筑、交通、字母、数字等．以下示例的是用全部七块板拼成一个字母“E”． 强化训练 一、单选题 1．转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成线 【答案】B 【分析】本题考查生活中的数学现象，涉及几何基础尝试：点动成线、线动成面、面动成体，将生活中的现象与数学知识结合是解决问题的关键． 【详解】解：转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为线动成面， 故选：B． 2．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是认识平面图形，解题关键是掌握长方形的特征以及周长、面积的定义． 根据面积、周长的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，图甲的面积与图乙的面积和是长方形的面积，但图甲、图乙的面积不一定相等，图甲、图乙的周长都等于长方形的长、宽与曲线对角线的和，即它们的周长相等． 故选：． 3．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 4．将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 5．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 【答案】D 【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为； 乙图圆柱的侧面积为：，体积为； ， ， 故甲乙的侧面积相同，体积不同； 故选：D． 6．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】考查了截一个几何体和几何体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：A、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； B、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； C、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，不符合题意； D、折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，符合题意． 故选：D． 7．物理中的打印技术通过读取截面相关的信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层打印出来，再将各层面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体．莲花中学数学兴趣小组利用打印机，读取到截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么打印机可能打出来的是哪一种立体图形（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱锥 D．正方体 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的截面，截面截圆柱，截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是无法截出六边形；截面截圆锥，截面图形可以是三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形；截面截正四棱锥，截面图形可以是三角形、四边形、五边形，但是无法截出六边形；截面截正方体，截面图形可以是三角形、四边形、五边形、六边形．根据此作答即可． 【详解】解：． 圆柱的截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ． 圆锥的截面可能为三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形，该选项错误，不符合题意； ．四棱锥的截面可能为三角形和四边形、五边形，但是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．正方体的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，该选项正确，符合题意； 故选：D． 8．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义问题，解题的关键是理解曲率的定义，结合正八面体的性质进行计算． 根据曲率的定义，先求出正八面体一个顶点的曲率，再结合正八面体顶点的数量，求出总曲率． 【详解】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点处的四个角均为，故一个顶点的曲率等于， 故正八面体的总曲率等于． 故选：B． 二、填空题 10．笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说成点动成线，钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这可以说成 . 【答案】线动成面 【分析】此题考查了点、线、面、体，根据点线面体的关系求解． 【详解】解：钟表上的时针实际上是一条线，通过转动一周形成一个圆面，所以应是线动成面． 故答案为：线动成面． 11．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤⑥/⑥⑤ ④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． 根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有球属于单独的一类，球有④． 故答案为：①②③；①②③；④． 12．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的体积，即可得出结果． 【详解】解：如图甲，圆柱的体积为， 如图乙，圆柱的体积为， 则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为． 故答案为： 13．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体，其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体216个，那么n的值为 ． 【答案】8 【分析】求出没有涂色的部分的棱长，进而求出原正方体的棱长，确定n的值即可． 【详解】解：∵6×6×6=216， ∴没有涂色的小正方体所组成的大正方体的棱长为6， ∴n=6+1+1=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解没有涂色的小正方体的棱长与原正方体的棱长之间的关系是正确解答的关键． 14．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    【答案】 【分析】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积． 【详解】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，    ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键． 15．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）． 小圆柱的侧面积（平方厘米）． 待求几何体的表面积（平方厘米）． 故答案为：． 16．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 三、解答题 17．在横线上写出每个几何体的名称： 、 、 、 、 【答案】 球/球体 圆锥 三棱锥 圆柱/圆柱体 六棱柱 【分析】此题主要考查了认识几何体，熟记常见立体图形的特征是解题的关键． 本题根据所给图形的特征进行判断，然后即可求解； 【详解】解：根据几何体的特征可知，依次为：球/球体、圆锥、三棱锥、圆柱、六棱柱， 故答案为：球/球体、圆锥、三棱锥、圆柱、六棱柱． 18．个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长4cm．观察这个模型，回答下列问题：    （1）这个六棱柱的几个面分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？ （2）这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】（1）这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面，，两个底面是六边形，侧面是长方形；上下底面的形状、大小完全相同，所有侧面的形状、大小完全相同；（2） 【分析】（1）分侧面与底面两个部分解答； （2）根据侧面都是长方形列式计算即可求出侧面积． 【详解】解：（1）这个六棱柱有6个侧面，2个底面，共8个面，两个底面是六边形，侧面是长方形；上下底面的形状、大小完全相同，所有侧面的形状、大小完全相同；； （2）它的侧面积是：6×（4×5）＝6×20＝ ． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟记长方体的特征． 19．观察表中的几何体，解答下列问题： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 18 面数c 5 6 7 (1)补全表中数据； (2)观察表中的数据，推测n棱柱的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】(1)8，15，8，见解析 (2)2n，3n，n+2 【分析】（1）根据四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点可以知道四棱柱的顶点数；五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条可以知道五棱柱的棱数；根据六棱柱有6个侧面和2个底面知道六棱柱的面数； （2）根据表格推测即可． 【详解】（1）解：∵四棱柱上面4个顶点，下面四个顶点， ∴四棱柱的顶点数是8； ∵五棱柱上底面5条棱，下底面5条棱，侧棱5条， ∴五棱柱的棱数是15； ∵六棱柱有6个侧面和2个底面， ∴六棱柱的面数是8； 故答案为：8；15；8； 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 （2）解：n棱柱的顶点数为2n， 棱数为3n， 面数为n+2， 故答案为：2n；3n；n+2． 【点睛】本题主要考查几何体的初步认识，熟练掌握棱柱的概念是解题的关键． 20．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】此题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键， （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2） （平方分米）． 21．请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 _______ 长方体 8 6 12 正八面体 _______ 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______________． (2)一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是_______面体． 【答案】(1)6，6， (2)七 【分析】本题主要考查立体图形的特点，一元一次方程的运用，理解表格信息是解题的关键． （1）根据题意图形的特点分析即可求解； （2）根据（1）中的结论，设多面体的面数为，则顶点数为，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：根据图示得到，四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6， ∵，，，， ∴ 故答案为：6,，6，； （2）解：设多面体的面数为，则顶点数为， ∴， 解得，， ∴这个多面体是七面体， 故答案为：七． 22．【问题情境】《制作一个容积尽可能最大的无盖长方形收纳盒》是鲁教版六上的综合与实践活动，某活动小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的有______；（填序号） （2）活动小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．求长方体纸盒的底面周长； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．求该长方体纸盒的体积； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求该长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体的表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据折叠得出这个长方体底面的形状和边长即可； ②由裁剪与折叠得出长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； （3）画出的展开图进行计算即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的特征可知，①③④可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：①③④； （2）①由折叠可知，底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 答：长方体纸盒的底面周长； ②由题意得，所折叠成的长方体的长为，宽为，高为， 当，时，长为，宽为，高为， 所以体积为； （3）要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以周长为， 答：该长方体表面展开图的最大外围周长为． 23．n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义平面图形的规律，解题关键是理解题意，准确画出图形； （1）根据题目给出的方法画出图形即可； （2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可； （3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可． 【详解】（1）解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； （2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； （3）解：选①，因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； …… 所以10阶长方形的宽长比共有种可能的值； 选②，因为1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，两种不同补法，正好可以补成一个大的正方形，宽长比为1，故“”“ ”…是必然的； 选③，因为，，，，，，， ， 一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 几何图形（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.几何图形 2.图形间的联系 3.七巧板拼图 题型巩固 一、常见的几何体 二、组合几何体的构成 三、立体图形的分类 四、几何体中的点、棱、面 五、平面图形旋转后所得的立体图形 六、点、线、面、体四者之间的关系 七、平面图形形状的识别 八、用七巧板拼图形 强化训练 单选题（9） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.几何图形 1.定义：点、线、面、体称为几何图形。 注意： 几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其他属性，如质量，颜色等。 2.分类：   定义 举例 立体图形 图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形。 长方体，圆柱，圆锥，球等。 平面图形 图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形。 如线段、角、三角形、圆等。 常见的立体图形的分类方法 （1） （2） 知识点2.图形间的联系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的。 2.元素之间的关系 注意： 点无大小，线无粗细，面无厚薄。 知识点3.七巧板拼图 七巧板：七巧板又称“七巧图”“智慧板”，是中国古老的智力玩具。如图，七巧板由七块板组成，完整图案为一个正方形，由七块板可以变换出各种不同的图案。 题型巩固 题型一、常见的几何体 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下面这些图形中，表示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中，属于平面图形的是 ．（填序号） 3．如图，实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来． 题型二、组合几何体的构成 4．下列几何体由5个平面围成的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 6．如图，图1的几何体为三棱柱，由2个等边三角形底面和3个长方形侧面组成，其中每个等边三角形面积均为，长方形面积均为．若将4个图1中的三棱柱紧密堆叠成如图2的几何体，求图2中几何体的表面积． 题型三、立体图形的分类 7．下列几何体中，属于锥体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、六棱柱、六棱锥中属于柱体有 个． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 题型四、几何体中的点、棱、面 10．用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（    ） A．1cm B．2cm C．10cm D．20cm 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果一个棱柱有条棱，那么这个棱柱的面数为 个． 12．如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ 题型五、平面图形旋转后所得的立体图形 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将长方形沿直线旋转一周形成的几何体是（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 14．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 15．（24-25七年级上·浙江）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 题型六、点、线、面、体四者之间的关系 16．（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 17．如图，这是顺义区第一座互通式立交桥——燕京桥，如果将顺平路和通顺路看做是两条直线，那么这两条直线的位置关系是 ． ①相交        ②不相交    ③平行        ④在同一平面内        ⑤不在同一平面内 18．下面几张图片表示的运动，给我们以点动成线、线动成面或面动成体的形象的各是哪一个？ 题型七、平面图形形状的识别 19．（2022七年级上·浙江·专题练习）下面的图形中，是平面图形的是（　　） A． B． C． D． 20．如图中长方形有 个． 21．画图：用三种方法把正方形面积五等分． 题型八、用七巧板拼图形 22．（22-23七年级上·浙江丽水·期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是(　　) A． B． C． D． 23．（2022七年级上·浙江·专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 （取1.4）． 24．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”． (1)请你用3块板拼一个三角形． (2)请你用4块板拼一个三角形． (3)请你任意拼出图形，并配上恰当的解说词．（请在图中标注使用板块的序号） 强化训练 一、单选题 1．转动自行车的轮子，轮子上的辐条会形成一个圆面，用数学知识可以解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成线 2．图中长方形被分成了甲、乙两部分，这两部分（   ） A．面积相等，周长也相等 B．面积不一定相等，周长也不一定相等 C．面积不一定相等，周长相等 D．面积相等，周长不一定相等 3．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 6．如图，点A，B，C是正方体三条相邻的棱的中点，沿着A，B，C三点所在的平面将该正方体的一个角切掉，然后将其展开，其展开图可能是（ ）    A．   B．   C．   D．   7．物理中的打印技术通过读取截面相关的信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层打印出来，再将各层面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体．莲花中学数学兴趣小组利用打印机，读取到截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么打印机可能打出来的是哪一种立体图形（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．四棱锥 D．正方体 8．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 10．笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说成点动成线，钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这可以说成 . 11．将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 12．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 13．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体，其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体216个，那么n的值为 ． 14．七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    15．图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米． 16．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 三、解答题 17．在横线上写出每个几何体的名称： 、 、 、 、 18．个六棱柱模型如图所示，它的底面边长都是5cm，侧棱长4cm．观察这个模型，回答下列问题：    （1）这个六棱柱的几个面分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？ （2）这个六棱柱的所有侧面的面积之和是多少？ 19．观察表中的几何体，解答下列问题： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 18 面数c 5 6 7 (1)补全表中数据； (2)观察表中的数据，推测n棱柱的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ．（用含n的式子表示） 20．图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 21．请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 _______ 长方体 8 6 12 正八面体 _______ 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______________． (2)一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是_______面体． 22．【问题情境】《制作一个容积尽可能最大的无盖长方形收纳盒》是鲁教版六上的综合与实践活动，某活动小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的有______；（填序号） （2）活动小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．求长方体纸盒的底面周长； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．求该长方体纸盒的体积； 【问题进阶】 （3） 若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求该长方体表面展开图的最大外围周长． 23．n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 学科网（北京）股份有限公司 $