专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理相似三角形中的十字架模型，按矩形、等边三角形、直角三角形分类呈现模型条件、结论及证明过程，清晰展现不同图形中垂直线段构造相似的内在联系，突出中考重难点。 讲义亮点在于真题驱动的模型应用，如矩形中EF⊥AC证线段比例的例题，培养几何直观与推理意识。分层设计基础证明与拓展延伸题，帮助学生掌握“知二得五”等结论迁移方法，支持教师实施精准化复习教学。

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证：(2)当点E为中点时，如图2，连接．（i）求证：（ii）求的值． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 例3（24-25八年级下·江苏苏州·期末）（1）问题发现：如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究：如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸：如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 例4（2025·江苏·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2025·广东·校考一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求证：AF＝BE；(2)若AE＝2，试求AP·AF的值； 例2（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·成都·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 例4（2025·江苏盐城·二模）【教材呈现】（1）苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么_____．（填“＝”或“≠”） 【直接应用】（2）如图2，在正方形中，为中点，请只用无刻度的直尺在上找一点，使． 【类比探究】（3）如图3，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，连接，，且，垂足为．试写出线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）如图4，如图，在中，，，，点在边上运动，连结．过点作，交边于点，交线段于点．①当点为的三等分点时，求的值；②运动过程中，当点、的距离最小时，的面积______． 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（  ） ①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽宣城·培优）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（24-25九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论序号是 ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为3的等边中，、分别为边、上的点，，与相交于点，若，则 ． 6．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为 ． 7．（24-25·重庆·九年级期中）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．  (1)求证：；(2)若，求的长． 8．（2025·阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，中，，点分别在边上，连接，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点． (1)设，用含的代数式表示为______；(2)求证：；(3)求的值． 10．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F．(1)证明：；(2)若 ；并说明理由． 11．（2025·广东江门·一模）【知识技能】（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 12．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形．(1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H．①当时，求证：；②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 13．（2025·浙江·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点(1)求证：；(2)若，求的值；(3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 14．（2025·山西长治·三模）问题背景：如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究(1)如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）【基本图形】（1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且，则的值为____（直接写出结果）．    16．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）【模型建立】(1)如图1，四边形是正方形，是上任意一点，连接，过点作于点．求证：． 【模型应用】(2)如图2，已知边长为6的正方形纸，点，分别在边，上，正方形沿折叠，折痕为，点，的对应点分别为，，当为的三等分点时，请直接写出的长为 ． (3)如图3，在中，，是的中点，连接，过点作交于点、垂足为．若，求的长． 【拓展应用】(4)如图4、是一个旧广场示意图，其中于点米，25米，现计划对旧广场进行扩建改造成一个平行四边形的休闲广场供市民使用．请用尺规作图画出扩建后所有可能的平行四边形，要求以为边，点 在平行四边形的边上，且或所在的直线与平行四边形的边的交点正好是该边的中点．（保留作图痕迹，不写画法及证明，在图中标明字母即可） (5)在（4）中扩建后的休闲广场的面积是否存在最大值？如果存在，请直接写出该平行四边形的最大面积；如果不存在，请说明理由．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2025·安徽合肥·三模）如图1，点E为矩形边上一点，连接交对角线于点F，且 (1)求证：(2)当点E为中点时，如图2，连接．（i）求证：（ii）求的值． 【答案】(1)见解析(2)（i）见解析；（ii） 【详解】（1）证明：四边形为矩形，， ，， ，，； （2）证明：（i）如图，连接， ，四点共圆，如图，， E为中点，,， ，， ，， 解：（ii）如图，设，则，由（1），得， 在中，，，， ，，，． 例2（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到，，， ∵四边形是正方形，，，， ，． （2）解：如图，连接． ，，由折叠可知，， 四边形是正方形，，， ，，， ，∴，∴，， ，，， 或（舍去），； （3）解：如图，连接，由题意，设，设． ①当点在点的左侧时，∵，∴， 由折叠可知，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 解得：或（舍弃），∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理，∵，∴， ∴，即， ∴或（舍弃），∴．综上所述，或． 例3（24-25八年级下·江苏苏州·期末）（1）问题发现：如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （2）类比探究：如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：； （3）拓展延伸：如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】证明：（1）∵正方形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． （2）∵矩形，∴， ∵，∴，∵，∴ ， ∵，∴，∴； （3）∵，∴，∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴ 以点为圆心，以为半径画弧交于E，则， ∴，∴∴，∴ 例4（2025·江苏·校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________；(2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】(3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】(4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 【答案】(1)(2)(3)见解析．(4) 【详解】（1）解：四边形为正方形，，．． ，．． 在和中，．．．故答案为：． （2）解：四边形为长方形，． ，．． 又，．．故答案为：． （3）解：如图，过点作的垂线，交于点．    由题意知四边形为矩形，   ，．． ，．． 又，．又，． ．．． （4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点为，连接，连接．由轴对称图形的性质可知，. ，，． 又，． 又，．．． ．． ．． 根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，且． ,即，当时，取得最小值． ．故答案为：． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（2025·广东·校考一模）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．(1)求证：AF＝BE；(2)若AE＝2，试求AP·AF的值； 【答案】(1)见解析(2)12(3) 【详解】（1）证明：为等边三角形，，又， 在和中，， ，； （2）解：∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF， ，，即，； （3）当AE＝CF时，由（1）知，， ，，， 根据圆周角定理可知：点P的路径是一段弧，如图1所示： 当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°， ∠AOB＝120°，又AB＝6，，OA＝．点P的路径是． 例2（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则＝ °；则的周长为 ．    【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 在和中，，， ，， 在上取一点使，则， ，是等边三角形，，即，， ，设，则，作延长线于，    ，，，， ，在中，， 即，解得或（舍去），，， 的周长为，故答案为：，． 例3（2025·安徽·校考一模）如图1，等边中，点D、E分别在上，且，连接交于点(1)求证：；(2)如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；(3)如图3，在的条件下，点G在上，的延长线交于H，当时，请直接写出线段FH的长．    【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3) 【详解】（1）为等边三角形，，， 在和中，，≌，， ，； （2），理由如下：如图，延长BE至M，使，连接，取的中点N，连接，    由得：，是等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ≌，， ，，∴ ∽，，，，， ，即，，即，， 点N是的中点，，， 又，是等边三角形，，， ，，， ，； （3）如图，延长至M，使，连接，取的中点K，连接，    由知：，≌，，，∽， ，，，， ，，，， ，，点G是的中点，， 点K是的中点，是的中位线，，， ，， ，∽，，， ，， ， 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（2025·广东江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，点D是BC的中点，连接DE．则= ； 【答案】 【详解】 CG⊥AD ∠ACB=90° 又 ， 为等腰直角三角形 ， 点D是BC的中点 故答案为： ． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（24-25九年级上·成都·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，即，∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∵，∴， ∴，∴． 例4（2025·江苏盐城·二模）【教材呈现】（1）苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么_____．（填“＝”或“≠”） 【直接应用】（2）如图2，在正方形中，为中点，请只用无刻度的直尺在上找一点，使． 【类比探究】（3）如图3，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，连接，，且，垂足为．试写出线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（4）如图4，如图，在中，，，，点在边上运动，连结．过点作，交边于点，交线段于点．①当点为的三等分点时，求的值；②运动过程中，当点、的距离最小时，的面积______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析；（4）①或；② 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）如图，连接交于点，连接交于点，则， 证明：设交于点， ∵是上的点，是正方形的对角线，∴， 又∵，∴，又∵为中点，∴， 在中，，∴， ∴，∴，∴即； （3）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵四边形是矩形，则四边形是矩形， ∴，，， ∵，∴，∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，即； （4）①如图，过点作交的延长线于点， ∵，∴，∴，∴， 当是靠近点的三等分点时，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； 当是靠近点的三等分点时，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，综上所述，或； ②如图，取的中点，以为直径，为圆心作圆，连接， ∵，∴，∴在半圆上运动， ∴当在上时，取得最小值，过点作于点， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，解得：，∴，故答案为：． 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论正确的个数是（  ） ①若是边上的中线，则；②若平分，则；③若，则；④的最小值为．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是边上的中线，，，， ，，， ，，， ，，故正确，符合题意； 如图，过点作交的延长线于点，    ，，是等腰直角三角形，，， ，，平分，，，， ，，，故正确，符合题意； 当时，设，则，， 过点作交的延长线于点，  ，， 垂直，，， 又，，，， ，，， ，，故正确，符合题意； ，点在以为直径的圆上，当最短时，点为的中点，， ，的最小值为，故错误，不符合题意；故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽宣城·培优）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，下列四个结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过D作交于N， ∵四边形是矩形，∴， ，，， ∵，∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，， ，，，垂直平分，， 设，则，同理可得， ∴，∴，即，∴； 综上所述：只有B选项错误．故选：B． 3．（2025·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，， ，，，，过作交于， ∽，∽，，， ，，；故①正确； 过作于，则， ，，，，故正确； 在等边中，，， 在与中，，≌，，， ，∽，，，   故正确；故选：D． 4．（24-25九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴， 又AB=BC，∴．故结论①正确；如图， ∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4． 在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG=BD， 又∵BD=AD，∴AG=AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB；∴AG=AD=AB=BC； ∵△AFG∽△BFC，∴，∴FC=2AF，∴AF=AC=AB．故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得∠CFD=∠ABC=90° ∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵BG⊥CD，∴，∴DF=DB，故③正确； ∵，AG=BD，，∴，∴S△BDF=S△ABF，， ∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC；∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF．故结论④错误． ∴正确的结论有①②③；故答案为：①②③. 5．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为3的等边中，、分别为边、上的点，，与相交于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 在和中，，，， ，， 在上取一点使，则， ，是等边三角形，，即， ，，设，则， 作延长线于，，， ，，， 在中，，即， 解得或（舍去），，故答案为：． 6．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示， ∵D为BC边的中点，BC＝6，∴BD＝3， 在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD＝＝5， ∵BE⊥AD于点E，交AC于F，∴BE＝， ∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，∴AE＝， 设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG， ∴，即，解得，x＝， ∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，故答案为：． 7．（24-25·重庆·九年级期中）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．  (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：点、关于线段对称，由翻折的性质可知：， 是正方形，，，（等量代换）． （2）解：设，则，设，则． 在中，，，．即． ，， 又，，，． ，，整理得：，．． 8．（2025·阜阳·一模）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接。(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，中，，点分别在边上，连接，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点． (1)设，用含的代数式表示为______；(2)求证：；(3)求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，即，∴， 中，∵，∴， ∴；故答案为： （2）证明：∵，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）解：如图，过点C作，过点B作交于点M，延长交于点P，连接，过点P作于点N，则， ∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∵， ∴，∴，∴，∴． 10．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F．(1)证明：；(2)若 ；并说明理由． 【答案】(1)(2)2，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵，，∴， ，∴，∴； （2）解：如图：过点C作，交的延长线于点G． ∵，∴，∴．∴， ∵，∴，，设，则， ∵，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：2． 11．（2025·广东江门·一模）【知识技能】（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （2）证明：∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵点H在的延长线上，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形，∴，，∴， ∴，∴，， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，即的长为3． 12．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形．(1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H．①当时，求证：；②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；②(2) 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形．∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； ②解：在矩形中，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∵，，∴， 解得或（舍去），∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接，则D为的中点， ∵，为的垂直平分线，∴，∵为定值，∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值， 则的周长有最小值，此时，，∴． ∵，∴，∴，同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值，∴，∴． 13．（2025·浙江·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点(1)求证：；(2)若，求的值；(3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)2 【详解】（1）解：证明：是等边三角形，，， ，，在与中，，； （2）过点作交于，， ，设，， ，，， ，，的值； （3）连接，由（1）知：，， ，， ，、、、四点共圆， 点恰好落在以为直径的圆上，，点也落在以为直径的圆上， ，，连接，则，， ，，． 14．（2025·山西长治·三模）问题背景：如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究(1)如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：设与交于点，如图： 正方形，，，， ，，， ，，． （2）解：作于点，作于点，设与交于点，如图： 矩形，，，，， 四边形、都是矩形，，， ，，，， ，，，，的值为． （3）解：在中，，， 设，则，点是的中点，， ，即，，， ，，， ，，， 在中，， ，． 15．（2025·湖北武汉·模拟预测）【基本图形】（1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； 【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且，则的值为____（直接写出结果）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∵.，∴，∴，∵∴． （2）如图2，过点C作交延长线于点H,    ∵，∴，∴四边形为矩形， ∴，，，∴， ∵，∴,∴，   在中，， ∴,∴∴． （3）如图3，过点C作点G，连接交点H，与交于点O ∵在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上, ∴,∵，∴ ∵∴，∴,即 设，则,设，则， ∵，∴∴∴ ∵∴∴，解得： ∵∴，即，解得：（不合题意舍去）或∴． 16．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）【模型建立】(1)如图1，四边形是正方形，是上任意一点，连接，过点作于点．求证：． 【模型应用】(2)如图2，已知边长为6的正方形纸，点，分别在边，上，正方形沿折叠，折痕为，点，的对应点分别为，，当为的三等分点时，请直接写出的长为 ． (3)如图3，在中，，是的中点，连接，过点作交于点、垂足为．若，求的长． 【拓展应用】(4)如图4、是一个旧广场示意图，其中于点米，25米，现计划对旧广场进行扩建改造成一个平行四边形的休闲广场供市民使用．请用尺规作图画出扩建后所有可能的平行四边形，要求以为边，点 在平行四边形的边上，且或所在的直线与平行四边形的边的交点正好是该边的中点．（保留作图痕迹，不写画法及证明，在图中标明字母即可） (5)在（4）中扩建后的休闲广场的面积是否存在最大值？如果存在，请直接写出该平行四边形的最大面积；如果不存在，请说明理由．    【答案】(1)证明见解析；(2)或；(3)；(4)见解析；(5)存在，504米 【详解】（1）解：在正方形中，，； ∵∴ ，即 ∴ ∴ （2）∵为的三等分点，∴①当时，连接，过E作； 由折叠可知，由（1）可证 ∴， ∵正方形边长为6，；则； ∴在，；∴. ②当，连接，过E作； 由折叠可知，由（1）可证 ∴， ∵正方形边长为6，；则； ∴在，；∴. （3）解：在中，，；由勾股定理可得：； ∵是的中点∴ ∴ ∵过点作交于点、垂足为，∴∴ ∵，可证： ∴∴ （4）如图： （5）存在，504米 ∵在平行四边形中，如图，，，，根据勾股定理得， ∴ ， ∴∴ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $