精品解析：湖南省益阳市安化县思源实验学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

安化县思源实验学校2024年上学期八年级 数学第一次质量检测 注意事项：1．本学科试卷分检测卷和答题卷两部分； 2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卷上； 3．请在答题卷上作答，答在检测卷上无效； 4．本学科为闭卷检测，时量为120分钟，卷面满分为150分； 5．检测结束后，请将检测卷和答题卷一并交回．  一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，则BC＝（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A 2，3，4 B. ，， C. 4，6，9 D. 3，4，5 3. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≅△DCB，则证明全等的依据是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，以点为圆心，小于长为半径作圆强，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点．，，，那么点到边的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 5. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两个直角三角形的面积相等 6. 如图，在中，，若沿图中虚线截去，则等于（ ）． A 300° B. 250° C. 180° D. 110° 7. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝23°，则∠CAB等于（　　） A 22° B. 23° C. 32° D. 45° 8. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 9. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（ ）． A. 86 B. 61 C. 54 D. 48 10. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是________． 12. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是_______边形． 13. 在中，，，上的中线的长，那么________. 14. 如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为_______． 15. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 16. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，折痕为，则的周长等于______． 17. 如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为__，的长为__． 18. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于________． 三、解答题（本题共8小题，共78分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 在中，． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 20. 已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2． （1）求∠C的度数； （2）求DC的长度． 21. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 22. 已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 23. 如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑4米到C，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 24. 如图，已知，平分，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 25. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 26. 如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF． （1）求证：△FBD≌△ACD； （2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF； （3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安化县思源实验学校2024年上学期八年级 数学第一次质量检测 注意事项：1．本学科试卷分检测卷和答题卷两部分； 2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卷上； 3．请在答题卷上作答，答在检测卷上无效； 4．本学科为闭卷检测，时量为120分钟，卷面满分为150分； 5．检测结束后，请将检测卷和答题卷一并交回．  一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝6，则BC＝（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质解决即可． 【详解】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A=30°， ∵AB＝6， ∴BC=3， 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半． 2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 4，6，9 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、因为，不能作为直角三角形三边长，故本选项不符合题意； B、因为，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、因为，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、因为，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 3. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC≅△DCB，则证明全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB， ∴△ACB与△DBC均为直角三角形， 在Rt△ACB与Rt△DBC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等全角三角形的判定．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键． 4. 如图，在中，以点为圆心，小于长为半径作圆强，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点．，，，那么点到边的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于 由角平分线的性质定理可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于 由作图可得：是的角平分线，而 ，， 所以点到边的距离是cm. 故选A 【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质定理的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键. 5. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两个直角三角形的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个三角形全等的判定方法及HL方法逐项判断即可． 【详解】A、两条直角边对应相等，且这两条直角边的夹角为直角，由边角边判定定理可知，这两个三角形全等； B、斜边和一锐角对应相等，还有两个直角对应相等，则由角角边判定定理知，这两个直角三角形全等； C、根据HL判定定理可知，这两个直角三角形全等； D、两个三角形的面积相等不能判定两个直角三角形全等． 故选：D 【点睛】本题考查了两个直角三角形全等的判定，它除了用一般三角形全等的判定方法外，还有它特有的判定方法，即HL判定定理． 6. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则等于（ ）． A. 300° B. 250° C. 180° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和求得∠A+∠C，然后再运用四边形的内角和即可解答． 【详解】解：∵三角形的内角和为180°， ∴∠A+∠C=180°-70°=110° ∵四角形的内角和为360°． ∴=360°-（∠A+∠C）=360°-110°=250°． 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和和四边形内角和，掌握整体思想成为解答本题的关键． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝23°，则∠CAB等于（　　） A. 22° B. 23° C. 32° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，对边相互平行以及平行线的性质进行解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ，则． 又， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用性质：平行四边形的对角相等、对边相互平行． 8. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 9. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，，；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（ ）． A. 86 B. 61 C. 54 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设，，对应的边长为，，，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得，从而计算得到；设，，对应的边长为，，，通过圆形面积和勾股定理性质，得，从而计算得到，即可得到答案． 【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为，， 则，，对应的边长设为，， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ ∴ 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，， 则，，对应的边长设为，， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解． 10. 如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确． 【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°， ∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确； ∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， 而∠CAB＝∠E＝45°， ∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确； 在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示， 在△ACE和△FCD中， ∴△ACE△FCD(SAS)， ∴AC=FC， 当，△ACF是等边三角形， 则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD， 但无法求证， 故③不正确； 由①得，△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，CEA=CDB=45°， ∴ADB=CDB+EDC=90°， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是________． 【答案】18°##18度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】解：设直角三角形的两个锐角度数分别为x°，4x°， 由题意得：x＋4x＝90， 解得：x＝18， ∴较小的锐角是18°． 故答案为：18°． 【点睛】本题考查了直角三角形中，两锐角的关系，根据题意列出是一元一次方程是解决本题的关键． 12. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形是_______边形． 【答案】12##十二 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和， 根据多边形的外角和定理，多边形的外角和恒为，结合每个外角的度数计算边数． 【详解】∵多边形的外角和为，每个外角为， ∴边数为． 故答案为：12． 13. 在中，，，上的中线的长，那么________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理等，熟练掌握和应用相关性质和定理是解题的关键；由直角三角形的性质知（斜边上的中线等于斜边的一半）；然后利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半求得，再根据勾股定理即可求得的长. 【详解】解：如图，∵在中，，是边上的中线，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案：. 14. 如图，在中，，，的平分线交于D， 且，点E是边上的一动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质定理，勾股定理，垂线段最短． 根据勾股定理求出，过D作于E，根据角平分线性质定理求出，代入求出即可． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：， 过D作于E，则此时的值最小， ∵平分，， ∴． 故答案为：． 15. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 16. 如图，中，，，，将折叠，使点与重合，折痕为，则的周长等于______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 17. 如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为__，的长为__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再求出的面积即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用两种方法来表示三角形的面积，属于基础题． 18. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解∶∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 三、解答题（本题共8小题，共78分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 在中，． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理,二次根式的性质化简； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理，二次根式的性质化简即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴． 20. 已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2． （1）求∠C的度数； （2）求DC的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得从而可得答案； （2）利用含的直角三角形的性质可得从而可得答案. 【小问1详解】 解： ∠BAC＝120°，AB＝AC， 【小问2详解】 解： AD⊥AC，AD＝2， 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“等边对等角，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键. 21. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，，，，垂足分别为B、E且，连接、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，常用的判定方法有，，，等，解题的关键是准确寻找全等三角形的条件． 首先由得到，然后证明． 【详解】证明：， ，即． ，， ． 在与中， ． 22. 已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线性质得，根据（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）证明，，求出，即可得出证明． 【详解】证明： 平分 ， ， ， 在 和 中 （ ） ， 在 和 中 （） 【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑4米到C，那么梯子底端将向左滑动多少米？ 【答案】（1）此时梯子顶端离地面24米； （2）梯子底端将向左滑动了8米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键． （1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离； （2）构建直角三角形，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，∵米，米， 梯子距离地面的高度米． 答：此时梯子顶端离地面24米； 【小问2详解】 解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度米， ∴， ∴（米），即下端滑行了8米． 答：梯子底端将向左滑动了8米． 24. 如图，已知，平分，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 25. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED△BEF，则CD=BF，故AB=BF． 【详解】证明：∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED和△BEF中，， ∴△CED△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 【点睛】本题考查了以下内容：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理． 26. 如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF． （1）求证：△FBD≌△ACD； （2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF； （3）在（2）的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD； （2）先由（1）△FBD≌△ACD得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通过ASA证得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=AC，从而得出结论； （3）连接CG，由H是BC边的中点和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角三角形CEG得出，从而得出CE，GE，BG的关系． 【详解】（1）证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°， ∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°． 在△FBD和△ACD中， ∴△FBD≌△ACD(SAS)； （2）证明：∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝∠BEC＝90°. ∵BF平分∠DBC， ∴∠ABE＝∠CBE， 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE(ASA)， ∴AE＝CE. ∴CE＝AC． 由（1）知△FBD≌△ACD， ∴BF＝CA， ∴CE＝BF； （3）解：．证明如下： 如图，连接CG， ∵H是BC边的中点，BD＝CD， ∴HD垂直平分BC， ∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)． ∵BE⊥AC， ∴在Rt△CEG中，， ∴． 【点睛】考查的知识点是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，运用好SAS、ASA判定三角形全等及勾股定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $