第一章《特殊平行四边形》期末单元复习卷 -2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第一章 特殊平行四边形 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.下列说法中，正确的是（    ） A.一组邻边相等的平行四边形是正方形； B.对角线互相垂直的菱形是正方形； C.有一个角是直角的四边形是菱形； D.对角线相等的平行四边形是矩形； 【答案】D 【解析】根据特殊的平行四边形判定方法即可判断． 【解答】解：、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，不合题意； 、对角线相等的菱形是正方形，故错误，不合题意； 、有一个角是直角的四边形不是菱形，故错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，符合题意； 故选：． 2.如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形的周长为．若，则是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质． 根据菱形的四边相等得到，则是等边三角形，那么，再由菱形的对角线平分每一组对角即可求解． 【解答】解：菱形周长为， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形中，， 故选：． 3.小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用． 根据已知可得到为正三角形，从而可求得正六边形的边长是边长的，根据种花部分图形共有 条边和其周长，即可求解． 【解答】解：为菱形， ， 为正三角形， 以的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的， 则种花部分图形共有 条边， 所以菱形花坛的边长为， 故选：． 4.如图，在中，，，垂足为，点是的中点，，则的长为（      ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， 在中，，点是的中点， ， 故选择：． 5.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点到点的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．连接，由矩形对角线相等的性质，可得，再根据勾股定理求得长，即得答案． 【解答】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， 点的坐标是， ， ， 即点到点的距离为． 故选： 6.有一块三角形铁片，，，，现要按图中方式把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得． 【解答】如图，过点作，垂足为，交于． 在中， ， ， ． ， ， ， ． 设，则有， 解得， 故选：． 7.如图，正方形的边长为，点，是边上的点，将正方形沿着折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点作于点，证明，得出，然后利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：过点作于点， ， 四边形是正方形， ， 由翻折的性质得， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 由勾股定理得， 假设，则， 由勾股定理得， 即 解得， 故选：． 8.如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由矩形的性质可证明，即可求解． 【解答】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：． 9.如图，在中，，分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】解：四边形是平行四边形，，，，分别是的中点，，， 四边形是平行四边形. 、当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意； 、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； 、当时，无法得到四边形是菱形，故本选项不符合题意； 、当时，，此时四边形是菱形，故本选项符合题意. 故此题答案为 10.如图，在矩形中，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（    ） A.①②④ B.①②③ C.①③ D.②③④ 【答案】A 【解析】通过全等三角形的判定和性质，证明，，判断结论①；通过证明，然后利用全等三角形和相似三角形的性质判断结论②；假设结论成立，找出与题意的矛盾之处，判断结论③，结合等腰三角形的判定和性质求得，可得结论④ 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，即， ， 四边形是平行四边形，故①正确， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确， 若是等边三角形，则， 即，不符合题意，故③错误， 四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形；故④正确． 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知菱形的一条对角线长为，另一条对角线长为，菱形的边长为，则边上的高为___________． 【答案】 【解析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积为对角线积的一半或边与其对应高的积是解题的关键． 设菱形的边上的高为，根据菱形的两种面积计算公式列方程求解即可． 【解答】解：设菱形的边上的高为， 由题意可得：， 解得：， 所以菱形的边上的高为． 故答案为：．  12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为__：___________． 【答案】 【解析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转．先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是矩形， ， 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ，， 轴， 点的坐标为， 故答案为：． 13.在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为_________________． 【答案】 【解析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【解答】解：由题意可知，垂直平分， ，四边形是菱形      四边形的面积为． 故答案为：． 14.如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是_______1__________． 【答案】 【解析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点作于点，于点，则可证明，得出，根据得出答案即可． 【解答】解：如图，过点作于点，于点， 则， 点是正方形的中心， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1 15.如图所示，四边形为正方形，边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上的一个动点，试求和的最小值是________________． 【答案】 【解析】连接，当，，三点共线时，的最小值就是的长．利用勾股定理进行计算即可求解． 【解答】解：连接，， 四边形为正方形，是对角线， 点与点关于对称， ， ， 当，，三点共线时，的最小值就是的长． 点的坐标为，四边形为正方形，， ，， ， 则和的最小值是． 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）如图，在菱形中，过点作，,垂足分别为、．求证：． 【答案】见解答 【解析】根据直接可证明结论． 【解答】解：，， ， 四边形是菱形， ， ． 17.（7分）如图，在中，点在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解答 【解析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到，即可求证． 【解答】 证明：四边形是平行四边形， ，， ，，． ，， ，． ，． 四边形是平行四边形． 和分别是和的角平分线， ，． ． ． 四边形是矩形． 18.（8分）如图，在四边形中，，对角线平分 ，是上一点，过点作，，垂 足分别为、． 若，求证：四边形是正方形． 【答案】证明见解答 【解析】先通过证得到 是的角平分线,得到,又易知四边形是矩形,从而得证四边形是正方形． 【解答】证明：平分 在和中 是的角平分线 ， ， 四边形是矩形 四边形是正方形 19.(8分) 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】见解答 【解析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）由菱形的性质和三角形面积关系得，即可求解． 【解答】（1）解：证明：，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，点是的中点， ＝ 20.(9分) 如图，菱形的对角线与相交于点于点，点分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】见解答 【解析】（1）根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可证明结论； （2）根据菱形的对角线互相平分可得的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到、的长，据此可得答案． 【解答】（1）解：证明：菱形的对角线与相交于点， ， ， ， ； （2）解：菱形的对角线与相交于点， ， ， ， 点分别为、的中点， ， ． 21.(9分) 如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是____点_______，旋转角度最小为___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】点， 等腰直角三角形，见解析 【解析】（1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． 【解答】（1）解： 经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形． 22.(10分) 如图，在四边形中，，相交于点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】见解答 或（答案不唯一） 【解析】（1）利用证得，进而可得，进而可求证结论； （2）根据菱形的判定定理，增加一个条件即可； 熟练掌握平行四边形的判定定理和菱形的判定定理是解题的关键． 【解答】（1）解：证明： ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：添加的条件为：， 由得：四边形是平行四边形， 是菱形． 添加的条件为：， 由得：四边形是平行四边形， 是菱形． 23.(10分) 已知中，平分，交于，交于． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】四边形是菱形，理由见解析； 时，四边形是正方形． 【解析】（1）先通过题目条件证明是平行四边形，再通过平行线的性质和角平分线的定义得到，从而得到平行四边形一组邻边相等即可判断； （2）根据“有一个角是直角的菱形是正方形”即可解答． 【解答】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）时，四边形是正方形． ，四边形是菱形， 四边形是正方形． 24.(11分) 如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：①当的值为____①___时，四边形是矩形；②当的值为___2____时，四边形是菱形． 【答案】见解答①；② 【解析】 （1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形的对边平行且相等即可； （2）①有可知四边形是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即，所以时即可； ②当平行四边形的邻边时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形是等边三角形即可． 【解答】（1）解：证明：四边形是菱形， ， ，， 又点是边的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①当的值为时，四边形是矩形．理由如下： ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； ②当的值为时，四边形是菱形．理由如下： ， ， ， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形． 25.(12分) 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点 操作发现 （1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 实践探究 （2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出. 【答案】，理由见解析 ①当时，；②当时，且点与点重合；③当时， 【解析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形得出，再由四边形内角和得出，进而得出，； （2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出 （3）根据题意，分三种情况讨论即可：①当时，②当时，③当时. 【解答】（1）解： 理由如下：如图，连接 是正方形的对角线， ，， 在和中， ， 四边形是正方形， 在四边形中， ， （2）如图，过点作于点，作于点 点是正方形的对角线上的点， ， 四边形是正方形. 在和中， 正方形与正方形重叠的面积是， 解得 正方形的边长为， 此时的长为 （3）分三种情况： ①当时，； ②当时，且点与点重合； ③当时， 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第一章 特殊平行四边形 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.下列说法中，正确的是（    ） A.一组邻边相等的平行四边形是正方形； B.对角线互相垂直的菱形是正方形； C.有一个角是直角的四边形是菱形； D.对角线相等的平行四边形是矩形； 2.如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形的周长为．若，则是（    ） A. B. C. D. 3.小明准备利用周末时间去种花，如图，在菱形花坛中，，在其中两个正六边形部分种花，若种花部分图形的周长（不含图中虚线）为，则菱形花坛的边长为（    ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，垂足为，点是的中点，，则的长为（      ）    A. B. C. D. 5.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点到点的距离为（    ） A. B. C. D. 6.有一块三角形铁片，，，，现要按图中方式把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（    ） A. B. C. D. 7.如图，正方形的边长为，点，是边上的点，将正方形沿着折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（    ） A. B. C. D. 8.如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（      ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，分别是的中点，连接．如果只添加一个条件即可证明四边形是菱形，那么这个条件可以是（      ） A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接．有下列结论：①四边形为平行四边形；②；③为等边三角形；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的序号是（    ） A.①②④ B.①②③ C.①③ D.②③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知菱形的一条对角线长为，另一条对角线长为，菱形的边长为，则边上的高为__________． 12.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为____________． 13.在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为____________． 14.如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是_____________． 15.如图所示，四边形为正方形，边长为，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上的一个动点，试求和的最小值是______________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.（6分）如图，在菱形中，过点作，,垂足分别为、．求证：． 17.（7分）如图，在中，点在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 18.（8分）如图，在四边形中，，对角线平分 ，是上一点，过点作，，垂 足分别为、． 若，求证：四边形是正方形． 19.(8分) 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20.(9分) 如图，菱形的对角线与相交于点于点，点分别为、的中点，连接、． （1）求证：； （2）求的值． 21.(9分) 如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． （1）旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； （2）判断的形状，并说明理由． 22.(10分) 如图，在四边形中，，相交于点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由） 23.(10分) 已知中，平分，交于，交于． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 24.(11分) 如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：①当的值为____时，四边形是矩形；②当的值为_____时，四边形是菱形． 25.(12分) 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点 操作发现 （1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； 实践探究 （2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出. 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $