第一章特殊平行四边形单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元检测题 一、单选题 1．在四边形中，对角线与交于点，且，．在下列条件中，能够判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，是对角线的中点，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点C的坐标是，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线的长度是a的正方形的面积是 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 5．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的周长为20，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 6．如图，在正方形中，E为边上的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（   ） A． B． C． D． 7．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（    ） A．32 B． C．64 D． 9．如图，是矩形的对角线上一点，于点于点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 10．如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在菱形ABCD的DC边上有一点E，连接AE，沿AE翻折得到，连接，点恰好在对角线AC上．若，，，则线段的长为 ． 12．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，若P为矩形边上任意一点，则当为直角三角形时，斜边长为 ． 13．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为 15．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 17．如图，在方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点都在格点上，点是的中点． (1)仅用无刻度直尺作图：连接，并过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是矩形． 18．如图，在中，，，平分，交边于点D，点E是边的中点，，点P是边上的一个动点． (1)______，当四边形为轴对称图形时，则的长为______； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数； (3)若点M在线段上，连接，请直接写出的值最小时的长度． 19．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 20．综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 单元检测题2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C A B B B D A 1．C 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 添加当时， 能判定四边形是菱形；故A不符合题意； 添加， 则四边形是菱形，故选项B不符合题意， 添加，则， ∴四边形是矩形；故选项C符合题意； 添加， ∴四边形为菱形，故D不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．利用矩形的性质和直角三角形斜边中线定理来求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，两点之间距离公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形可得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴顶点B的坐标是， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查特殊四边形的判定和正方形的面积计算，根据矩形、菱形的判定和正方形的性质，逐一判断选项的正误即可得出答案． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线的长度是a的正方形的面积是，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为20， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6．B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 在正方形中，，且， ∴， ∴， ∵E为边上的中点， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 8．B 【分析】本题考查了菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可得到，即可解答． 【详解】解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 则菱形的面积为， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解决直角三角形，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 10．A 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确； 连接，由四边形是矩形，得，再证，得，则，即可判定②正确； 证明，，从而得，即可判定③正确； 根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴    ，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值， 故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 11． 【分析】根据折叠的性质和菱形的性质得到对应角和对应边的关系，则可得知线段间的倍数关系列方程即可求得的长度. 【详解】解：沿AE翻折，得到,， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键. 12．，或4 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 分析题意，求出图中相关线段长和角度，根据直角三角形的直角顶点不确定，可知需分三种情况讨论，分情况作出图形，并进行求解． 【详解】解：在矩形中，，，， ，， ， 当点F为直角顶点时，过点F作交直线于点P，过点P作于点G，如图①， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当点P为直角顶点时，易知此时点P与点B重合，如图②， 斜边， 当点E为直角顶点时，过点E作交于点P，如图③， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，斜边为，或4， 故答案为：，或4． 13． 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 14．142 【分析】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由，点是的中点，，则在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，解题的关键是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 【详解】如图，连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时， 最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即四边形面积的最小值是， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ． ，分别为、的中点， 是的中位线， ． 当时，，最小，即得到最小值，如图： ， ， ， ． ， 即的最小值为， 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）连接交于，根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵交于点E，作交于点F， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接交于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 17．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）连，利用矩形的对角线互相平分的性质找到的中点，连，由勾股定理得到，再由等腰三角形的三线合一，即可得到； （2）利用四边形是平行四边形和点是的中点得到四边形是平行四边形，再由，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴.，， 由作图知，为的中点， ∴， ∵ 点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， . ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 是边上的中点，由勾股定理得到， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，无刻度直尺作图等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 18．(1)5，5 (2)的度数为或； (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、等腰三角形的分类讨论及最短路径问题． （1）先求得，再利用直角三角形的性质求得，再利用轴对称图形的性质求解即可； （2）分、两种等腰情况，分别计算的度数； （3）通过作对称点将转化为线段距离，利用最短路径原理确定P的位置，进而求． 【详解】（1）解：∵点E是边的中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴． ∴当四边形为轴对称图形时，对称轴为（唯一可能情况），则， 故答案为：5，5； （2）解：由（1）知． 分两种情况： ①若，则． ∵， ∴； ②若，则， ∴． 答：的度数为或； （3）解：作点E关于的对称点，连接交于M， 则最小（两点之间线段最短）． 当时，P为所求点（如下图）． 连接， ∵E是中点，是直角三角形，， ∴． ∵点关于对称， ∴，且 由（1）知，又， ∴，即，对称角， ∴，结合得， ∴（推得） ∵，则， 在中，． 即的值最小时的长度为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20．（1）结论：，，证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交于，由题意易得，，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：（1）结论：，， 理由：如图1中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （3）①如图3中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； ②如图，作于，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； 综上可得：的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $