第一章特殊平行四边形单元练习2025--2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元练习 一、单选题 1．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则它的边长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．3 B．2 C．12 D．6 3．如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，以为边作正方形，点D的坐标为，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 7．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 8．如图，，连接，，取的中点，连接，．若，．则的面积为（    ） A．60 B．65 C．120 D．130 9．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形，现测得，，则该菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知直角三角形的两直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为 ． 12．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 13．如图，已知正方形的边长为4，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为 ． 14．如图，在矩形中，为边上的动线段，且，连接，．若，，则的最小值为 15．如图，四边形沿直线对折后重合，连接，交于点，若，则下列结论：；；；．其中正确的是 ．（只填序号） 三、解答题 16．如图，在中，，点为边的中点．点在线段上，于点，连接，．已知，． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 17．如图，中，． (1)请在图1中利用无刻度的直尺和圆规作斜边上的中线（不写作法，保留作图痕迹） (2)点E在上，且，请在图2中找出所有符合条件的点E（工具不限），并直接写出的度数． 18．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长及点A到的距离． 19．如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； (3)如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 特殊平行四边形 单元练习2025--2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A D C C A B A 1．A 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质：对角线互相垂直平分得出，，，再利用勾股定理求解边长即可，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点， 由题意可得：，， 由菱形的性质可得，，， ∴，即菱形的边长为5， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 4．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，坐标，正确作出辅助线构造全等是解题关键．过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，证明，得出，结合点D的坐标即可解答． 【详解】解：过点D作轴于点E，过点C作轴于点F，如图， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标为， ， ， 点C的坐标为． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 8．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，过点M作于点N，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而即可求出答案． 【详解】解：过点M作于点N， ，点是的中点，， ， 是等腰三角形， 又， ， ， ， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，然后根据菱形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴该菱形的周长为， 故选：B． 10．A 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确； 连接，由四边形是矩形，得，再证，得，则，即可判定②正确； 证明，，从而得，即可判定③正确； 根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴    ，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值， 故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 11．5 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质： 先根据勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求解． 【详解】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8， 由勾股定理得斜边长， 由斜边上的中线长等于斜边的一半得． 故答案为：5． 12．60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 13． 【分析】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短路径是本题的关键．连接，过点作交延长线于点，先证明，即可得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，当点，，三点共线时，最小，根据勾股定理求出的最小值为，即可求出此时的周长为． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转到， ，， ， ， 又， ， ，， ， 即， ， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 作点关于的对称点， ∵平分， 点在的延长线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点，，三点共线时，最小，即最小， 在中，，， ， 的最小值为， 此时的周长为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称求最短线段，勾股定理等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、，根据矩形的性质，证明四边形是平行四边形，进而得出，，由轴对称的性质可知，，，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，作点关于的对称点，连接、， 在矩形中，，，， ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 由轴对称的性质可知，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．根据轴对称的性质和已知条件可证，则，，即④正确；再证四边形为平行四边形可判定①②；最后证明四边形为菱形可判定③． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， ． ， ，． 在和中 ． ，．即④正确； ， 四边形为平行四边形． ，，即正确； 直线是四边形的对称轴， ． 四边形为菱形． 不一定成立，故③错误； 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，最后利用等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，从而可得，再根据垂直定义可得，然后在△中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， 点为边的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查垂直平分线的作法，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）作的垂直平分线，与的交点为点D，连接即为所求； （2）分两种情况：点E为的中点时，，；当时，，根据三角形外角的性质及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，点E和点为所作； 当点E为的中点时， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 综上所述，的度数为或． 18．(1)见解析 (2)，点A到的距离为 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理，菱形的性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形对角线互相垂直得到，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得；由菱形的性质可得，，，由勾股定理得，解得，则，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 设点A到的距离为h，则， ∴， ∴点A到的距离为． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质、平行四边形的性质得出，进而得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，即可得出结论； （3）作于点I，则，证明，得出，，再证明，得出，设，，则，，，列出方程，证得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：由旋转得 ∵四边形是平行四边形 平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ， 是由旋转而得到的 ，， ∵B，E，F三点在同一条直线上 由（1）可知： 即H是的中点； （3）解：，理由如下： 作于点I， 则 是矩形 ∴四边形是矩形 ， 由（1）可知 又 ， 又， ∵四边形是矩形 平分 设，，则，， 在中，由勾股定理得： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $