专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦角平分线核心模型，系统整合“平分平行（射影）构等腰”与“角平分线第二定理”两大考点，通过模型原理溯源、证明推导、例题解析构建知识体系，设计考点梳理、方法指导、真题训练三步教学流程，针对性突破辅助线作法难点。 亮点在于模型化提炼与历史背景结合，如通过斯坦纳-雷米欧司定理引入“角平分线+平行线→等腰”模型，培养几何直观与推理能力。设置从基础证明到拓展应用的分层例题，配合2024-2025年各地模拟题训练，确保高效突破，助力学生提升解题能力，为教师提供精准复习节奏指导。

专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵和的平分线交于点，，∴，， ∵，∴，，∴，， ∴，，∴，∴线段的长为．故答案为：． （2025·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，，平分，于点，交于点，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：过点E作于点G，如图：∵于D，∴，∴，    ∵在中，，∴，又∵平分，，∴． 在中，，，，∴． 在和中，，∴， ，∴，∴．   设，则，在中，由勾股定理得：，解得， ∴的长是3．故答案为：3． （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 【答案】(1)(2)见解析(3)；(4) 【详解】（1）解：∵是的角平分线，且，，∴，故答案为：； （2）证明：过点D作于N，于M．过点A作于点P． ∵是的角平分线，∴． ∴，，∴； （3）解：∵中，，是的平分线，且交于D，∴， ∵，， ∴，设，则， 由勾股定理得，即，解得（负值舍去），∴； （4）解：∵，，，∴， ∵将先沿的平分线折叠，∴，，，， ∴，由（1）可得， ∴，，∴， 同理可求：，∴，∴．故答案为：． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H。 ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= =； （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= ； 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得为的角平分线，， ， ，，则， ∴，，故选：C． 例2（2025·宁夏银川·三模）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴，，∴，， ∴的周长，故答案为：． 例3（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵、分别是、的平分线，∴，． ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，，∴，， ∴，，， 平行四边形的周长．，，故选：C． 例4（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，则为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴， ∴，∴．故选：A 例5已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长； ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）． 【答案】①证明见解析；②；③ 【详解】①证明：∵，∴，， ∵、的平分线相交于点，∴，， ∴，，∴，， ∴，即； ②解：∵、的平分线相交于点，∴，， ∵，，，∴，， ∴，，∴，， ∴的周长：，即的周长为； ③解：．理由如下：∵，∴，， ∵，分别是与的角平分线，∴，， ∴，，∴，， ∴，即． 例6（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，平分，． (1)求证：．(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴，，∴， ∵平分，∴，又∵，∴． （2）解：∵，，，∴， ∵，∴， ∵平分，∴到的距离等于，∴， ∴，∴，∵，∴，， ∴在中，，又∵，∴，∴． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【详解】解：∵O为的内心，∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等，∴、面积的比． ∵的面积为25，∴的面积为15．故选：C． 例2如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，于，于， 是三角形三条角平分线的交点，， ∵的长分别为，∴．故选：A． 例3（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边(2)见解析(3) 【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边； 故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边； （2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F， ∴，∵平分，∴，∴，∴． （3）解：∵中，是角平分线，∴ ∵，∴，∴． 例4（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 三角形外角平分线定理，如图1，在中，平分交的延长线于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交于点． 任务：(1)请按照上面所作的辅助线，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知中，，，，平分交的延长线于点，则的周长是___________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：过C作．交BA于点F， ∵，，∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴，∴； （2）∵；∴， ∵平分；∴，设， ∴，∴x=2，∴， ∵，∴， ∴的周长，故答案为：． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，和的平分线交于点D，过点D作的平行线，交于点E，交于点F，则图中的等腰三角形的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：，，是等腰三角形， 和的平分线交于点D，，， ，是等腰三角形， ，，，，， ，，，、、是等腰三角形， 共有个等腰三角形，故选：A． 2.（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分，∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵，∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边，∴，该选项成立． 选项D： 在中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证），∴，即，也就是，该选项成立．故选：B． 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接，平分，测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴． ∵平分，∴， ∴．故选：C． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】D 【详解】解： 由作图可得：平分 故A不符合题意； 故B不符合题意； 在的垂直平分线上，故C不符合题意； 过作于 平分 故D符合题意；故选：D． 5．（2022·海南海口·二模）如图，在中，平分交于点，平分交于点F．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【详解】解：四边形为平行四边形，，， ，，， 平分交于点，，， ，， 平分交于点F．同理可得，，故选：A． 6．如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 【答案】B 【详解】解：∵的角平分线、、交于点， ∴点到三角形三边的距离相等，设点到三角形三边的距离为x ； 故选：B 7.如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F，点O是内心，． 故选：D． 8．如图，在中，与的平分线交于点，，，，分别交于，．若，则的周长是 ．    【答案】 【详解】解：∵，，∴，， ∵和分别是与的平分线，∴，， ∴，，∴，， ∴的周长．故答案为：． 9.如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 【答案】4cm； 【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证； 由角度分析易知，即，则有； 又可证，则，则，． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则= ． 【答案】6 【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵平分，平分∴∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD， ∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF， ∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6． 11．（2025·北京顺义·校考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，分别是，的平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴；故答案为：． 12.如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）证明：∵，∴，∴在中，， ∵，∴，∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，由（1）知是的高，即， ∵，∴，∵平分，∴， ∴． 13．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点．，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是角平分线， ∴ ， ∵，，， ∴， 解得cm．经检验符合题意． （3）解：∵是角平分线， ∴，∴，∴， ∵是中点，∴，∵，∴，∴． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ． 可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路． 【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题： （2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ； （3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度． 【问题解决】（4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或；（4） 【详解】解：（1）如图所示，过点B作交延长线于点E， ∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴，∴； （2）∵中，是角平分线，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （3）由折叠的性质可得， ∴，，∴；设 当时，由勾股定理得，∴，解得（负值舍去）， ∴； 当时，同理可得，解得（负值舍去），∴ 综上所述，的长为或； （4）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； 由反比例函数的对称性可得，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴， ∴，即，∴可设， ∵点A在反比例函数的图象上，∴， ∴（负值舍去），∴，∴． 15．（24-25九年级上·江西上饶·校考模拟）某兴趣小组对角平分线进行了学习，得出了以下结论： 结论①角平分线上的点到角两边的距离相等； 结论②三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例； 结论③三角形三个内角的角平分线会交于一点． [实践证明]（1）试通过所学知识证明结论② [拓展提升]（2）在中，的角平线交于点D，，角平分线交于点H，，交于点O，延长交于点M，求； [不怕挑战]（3）在平面直角坐标系内，，，，的角平分线交于点D，则D点坐标为 ． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【详解】（1）证明：如图， 过点E作，过点C作，∵平分，∴， ∵，∴，∴； （2）解：如图，同理（1）可知：， 设，则，∴，∴，∴； （3）如图，∵，，，∴， ∴，即，∴是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，则有： ，∴，∴直线的解析式为， 设，则根据两点距离公式可得：， 由（2）中结论可知：，∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），∴；故答案为． 16．（2025·江西·模拟预测）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的角平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一起来研究：特例感知 （1）情景一：如图1，在等腰中，，是的角平分线，可知，发现． 情景二：如图2，在中，，是的角平分线，如果，，则______，______，_______，发现_______（填“>”“<”或“=”）． 猜想验证（2）两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两条线段与该角的两边对应成比例．于是给出命题：如图3，在中，若是的角平分线，则有． 合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明，于是便过点A作的平行线，交的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程． 知识应用（3）如图4，在中，，，，平分且． ①求中边上的高；②求的长． 【答案】（1），，，=；（2）见解析；（3）①12；②7 【详解】解：（1）在中，，，， ∴，过点D作于点，如图， ∵是的角平分线，，∴ 又，∴， ∴，∴,∴，∴， 又发现，∴,故答案为：；；；=； （2）证明：如图所示．∵，∴． 又∵平分，∴．∴．∴． ∵，∴．∴．∴． （3）①作的高，如图．设，则．解得．∴． ②由①可知，则．设与的交点为G． 由（2）可知，设．∴，解得．∴， ∵，∴．∴．∴．∴． 17．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分，，． ，． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分，，…… 任务：(1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)补全证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图所示：由三角形内角平分线性质定理可得，， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， 设，，则，解得， ，故答案为：； （2）解：过点作，过点作，垂足分别为，如图4， 平分，，． ，； （3）解：如图所示：在中，由三角形内角平分线性质定理可得，； 在中，由三角形外角平分线性质定理可得，； ，，，，设， 则由可得，，解得，，， 若是的平分线，是的外角的平分线，， 是线段的中点，． 18．（2025·山东济南·二模）“联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】（1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】（2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】（3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】（4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）详见解析（2）（3）6（4） 【详解】解：（1）证明：选择思路1：如图，过点交的延长线于点D， ∵，∴，又∵，∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴； 选择思路2：如图，过点分别作交于点，作交于点，作于点F， ∵是的角平分线，∴， ∴，，，， ∴，，∴，∴，∴； （2）在中，，，∴， ∵平分交于，∴，∴，解得，； （3）∵为的角平分线，∴，， ∵中，，∴，∴， ∵的垂直平分线交延长线于F，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴AF=6，故答案为：6． （4）如图，在的延长线上截取，作的外角平分线，交的延长线于F， ∵，，∴，∵是的外角平分线，∴， 又∵，∴，∴，， ∴， ∵，，∴，∵是的角平分线，∴， ∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴点A在以半径为的上，如图，当A运动到点，时， 的面积最大，最大值为． 19．（2025·上海·模拟预测）小海所在的数学小组对三角形的角平分线展开了研究． 【课本内容】角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 【研究发现】三角形角平分线分对边比例与另两边比例相等． 【定理证明】 如图1，在中，点D在边上，且平分，求证：． （1）小海所在的数学小组发现了一种证明方法：如图2，分别作出边上的高，以及边上的高．尝试用图中的线段表示、的面积，并完成证明； （2）在图3中尝试过的顶点作对边的平行线，也可以完成证明． 那么我们一定不可以过顶点 作其对边的平行线． 请选取一条边并在图3中作出示意图完成证明； 【定理运用】完成下列题目．（3）如图4，已知是等腰三角形，且，线段是的角平分线，设的角度是α，那么的值是 ；（用含α的三角比代数式表示） （4）如图5，在中，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）A，证明见解析；（3）；（4）． 【详解】解：（1）∵如图2，边上的高，边上的高，∴，， ∵平分，∴，∴，∴， ∵、边的高为，∴， ∴，∴； （2）∵过A作平行线，不能构建与角平分线与对边比例相关的等量关系，∴不能过A点； 如图：过C作交延长线于E，∴， ∵平分，∴∴，∴， ∵，，∴，∴，即； （3）∵，，∴，∴， 如图：过B作，∴在中，， ∴，∴；同理：； 由（1）所得结论可得：； （4）如图：作的角平分线交于D，则，， 设，则，，∵，∴， ∴，即，解得：或（舍弃），∴． 20．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比． (1)【思路说明】已知：如图1， 中， 平分 交于D．试说明：．理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______，由，平分可得 ______，代入上式得． (2)【直接应用】如图2，中，，平分交于D，若，在不添加辅助线的情况下直接写出______． (3)如图3，若四边形为矩形，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．①求的长；②直接写出______； (4)【拓展延伸】如图4，若四边形是边长为6的菱形，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长______． 【答案】(1)；(2)(3)；(4)或 【详解】（1）解：∵，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴； （2）解：∵平分，由（1）知：， 设，∵，， ∴，即：，解得：，∴； （3）解：①∵四边形是矩形，∴， ∵翻折，∴，∴， ∵，设，则：， 在中： ，∴，解得：，∴； ②在和中，，， ，即平分，； （4）解：当时，∵四边形为边长为6的菱形，，点E为边的三等分点， ∴，∴， ∵翻折，∴，∴， ∴平分，∴，即，∴，∴， 过点作，∵，， ，，， 即：，解得：或， 当时，，不符合题意． 当时，， ∵，即： 当时：如图5，过点作交的延长线于点， 同理可证：，即： ， ， ，即：，解得：或 ， 当时，   不符合题意， 当 时， ，即：综上所述，CP的长为或． 21．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：；(2)若，，①求的长度；②直接写出的面积． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：∵为边上的高， ∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：①在中，，，∴， ∵，∴，∴，∴， 设，则， ∵，∴，∴，解得，即； ②过点作于点， ∵是的平分线，，∴， ∴，由（1）知，， ∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·湖南长沙·二模）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ． （2025·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，，平分，于点，交于点，则的长为 ． （2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： (1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：． 小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，，∴ ． ∵，，∴； (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：； (3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出； (4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H。 ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= =； （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= ； 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，过点作射线交于点，过点作，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·宁夏银川·三模）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是 ． 例3（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，是边上一点，若分别是的平分线，若的周长为，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例4（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，若，则为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 例5已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长； ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）． 例6（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，平分，． (1)求证：．(2)若，，求的长． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 例2如图，的三边，，的长分别为12，27，30，其三条角平分线将分成三个三角形，则（    ）． A． B． C． D． 例3（2025·山西临汾·二模）阅读与思考 在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程： 角平分线分线段成比例定理 内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程． 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1）， 又平分，（依据2），． 任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______． 例4（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 三角形外角平分线定理，如图1，在中，平分交的延长线于点，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过作．交于点． 任务：(1)请按照上面所作的辅助线，写出该证明的剩余部分； (2)填空：如图3，已知中，，，，平分交的延长线于点，则的周长是___________． 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，和的平分线交于点D，过点D作的平行线，交于点E，交于点F，则图中的等腰三角形的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2.（2025·江苏苏州·二模）如图，，平分．以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接，平分，测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 5．（2022·海南海口·二模）如图，在中，平分交于点，平分交于点F．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 7.如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 8．如图，在中，与的平分线交于点，，，，分别交于，．若，则的周长是 ．    9.如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则= ． 11．（2025·北京顺义·校考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 12.如图，在中，，点D在边上，连接，的平分线分别交，于点E，F．(1)尺规作图：求作的高线；（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若，求证：． 13．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．    证明：如图②，过点作，交的延长线于点．，…… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，．求的长． (3)如图③，中，是中点，是的平分线，交于，若，直接写出线段的长． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ． 可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路． 【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题： （2）已知，中，是角平分线，， 则的长为 ； （3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度． 【问题解决】（4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·江西上饶·校考模拟）某兴趣小组对角平分线进行了学习，得出了以下结论： 结论①角平分线上的点到角两边的距离相等； 结论②三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例； 结论③三角形三个内角的角平分线会交于一点． [实践证明]（1）试通过所学知识证明结论② [拓展提升]（2）在中，的角平线交于点D，，角平分线交于点H，，交于点O，延长交于点M，求； [不怕挑战]（3）在平面直角坐标系内，，，，的角平分线交于点D，则D点坐标为 ． 16．（2025·江西·模拟预测）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的角平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一起来研究：特例感知 （1）情景一：如图1，在等腰中，，是的角平分线，可知，发现． 情景二：如图2，在中，，是的角平分线，如果，，则______，______，_______，发现_______（填“>”“<”或“=”）． 猜想验证（2）两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两条线段与该角的两边对应成比例．于是给出命题：如图3，在中，若是的角平分线，则有． 合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明，于是便过点A作的平行线，交的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程． 知识应用（3）如图4，在中，，，，平分且． ①求中边上的高；②求的长． 17．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形内角平分线性质定理：三角形一个内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．即：知图1，在中，若是的平分线，则． 三角形外角平分线的性质定理：三角形一个外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边成比例．即：如图2，在中，若是的外角的平分线，则． 上述定理的证明方法有多种，我们均采用“面积法”来进行证明． 三角形内角平分线性质定理的证明 证明：如图3，过点作，垂足分别为． 平分，，． ，． 三角形外角平分线性质定理的证明 证明：如图4，过点作，垂足分别为． 平分，，…… 任务：(1)如图5，在中，是的平分线．若，则_______． (2)请将“三角形外角平分线的性质定理”的证明过程补充完整． (3)如图6，在中，若是的平分线，是的外角的平分线，是线段的中点，且，请直接写出线段的长． 18．（2025·山东济南·二模）“联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】（1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】（2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】（3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】（4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 19．（2025·上海·模拟预测）小海所在的数学小组对三角形的角平分线展开了研究． 【课本内容】角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． 【研究发现】三角形角平分线分对边比例与另两边比例相等． 【定理证明】 如图1，在中，点D在边上，且平分，求证：． （1）小海所在的数学小组发现了一种证明方法：如图2，分别作出边上的高，以及边上的高．尝试用图中的线段表示、的面积，并完成证明； （2）在图3中尝试过的顶点作对边的平行线，也可以完成证明． 那么我们一定不可以过顶点 作其对边的平行线． 请选取一条边并在图3中作出示意图完成证明； 【定理运用】完成下列题目．（3）如图4，已知是等腰三角形，且，线段是的角平分线，设的角度是α，那么的值是 ；（用含α的三角比代数式表示） （4）如图5，在中，，，，求的长． 20．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比． (1)【思路说明】已知：如图1， 中， 平分 交于D．试说明：．理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______，由，平分可得 ______，代入上式得． (2)【直接应用】如图2，中，，平分交于D，若，在不添加辅助线的情况下直接写出______． (3)如图3，若四边形为矩形，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．①求的长；②直接写出______； (4)【拓展延伸】如图4，若四边形是边长为6的菱形，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长______． 21．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点F，E． (1)求证：；(2)若，，①求的长度；②直接写出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $