专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习资料聚焦“弦图模型、勾股树模型”专题，覆盖中考高频考点，系统梳理内弦图、外弦图、半弦图等模型的条件与结论，以及勾股树的图形规律与面积关系。通过“真题现模型—提炼模型—模型运用”流程，结合考点梳理、方法指导和分层训练，帮助学生突破全等证明、面积计算等难点。 亮点在于“模型化”教学策略与核心素养培养，如通过2024四川眉山中考题解析内弦图面积关系，培养几何直观和空间观念；结合半弦图“EA+GB=AB”的证明过程，发展推理能力。设置基础到挑战的三级练习，配合5分钟真题微测，确保高效复习，教师可据此精准把控节奏，提升学生模型应用与应考能力。

专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 15 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24，， 小正方形的面积是4，，， 图2中最大的正方形的面积；故选：D． （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形，故答案为：31． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（2025·海南海口·二模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】解：∵，小正方形的面积为14， ∴大正方形的面积，∴大正方形的边长为，故选：B． 例2（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，；故选A． 例3（24-25广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    【答案】①②③ 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，．∴．∴．故①正确； ∵，∴． ∴．∴．故②正确； ∵，，∴．即．∴．∴．故③正确； ∵点A是线段的中点，∴．即．∴． ∴．∴．故④不正确；故答案是①②③． 例4（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴整理得，∴ 设，∴解得或（舍去）∴故答案为：． 例5（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点、、分别是、、的中点，，， ∵和是等边三角形，∴，，∴， 又∵， ∴，∴， ∴，，， ，∴，故答案为：． 例6（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．    (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：于点，于点， ，， ，，，， 在和中，，； （2）解：，，， ，，． 模型2.勾股树模型 例1（2025·湖北孝感·模拟预测）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”，……，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”2023次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为 ．    【答案】2024 【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，    由勾股定理得，正方形B的面积与正方形C的面积和为1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024．故答案为：2024． 例2（2025·重庆·校考一模）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（） A．15 B．23 C．27 D．31 【答案】D 【详解】解：第一代勾股树中正方形有(个)， 第二代勾股树中正方形有(个)， 第三代勾股树中正方形有(个)， 第四代勾股树中正方形有(个)，故选：D． 例3（2025·吉林长春·一模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图2，分别以的三边为边向外作三个正方形、、，过作的垂线，垂足为，分别交、于点和点，记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，下列结论：①当时，；②当时，为钝角；③；④当时，．其中正确的是 ． 图1   图2 【答案】①③④ 【详解】解：∵四边形、、是正方形， ∴， ∴， ①当时，则根据勾股定理可得：， ∵，∴；故①正确； ②假设是钝角三角形，过点A作于点J，如图示：    设，则有：在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，∴， ∴，与②题干矛盾，故不正确； ③分别过点E、A作，垂足分别为R、P，如图所示： ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故③正确； ④当时，则有，∵过作的垂线，垂足为， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，故④正确；综上所述：正确的结论有①③④；故答案为①③④． 例4（2025·山东·校考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．       (1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） ①；②与的关系为，与的关系为______． 【答案】(1)3(2)，详见解析(3)①，②，． 【详解】（1）在图2中，直角三角形的边长分别为、、，则由勾股定理，得，∴； 在图3中，三个扇形的直径分别为、、，则 ，，，∴， ∵，∴，∴； 在图4中，等边三角形的边长分别为、、，则 ，，， ∵，，∴， ∴；∴满足的有3个，故答案为：3； （2）结论：．证明如下：∵， ∴，∴∴； （3）①如图：设中间两个正方形为E、F，边长分别为e、f ∵∠1、∠2、∠3所在的三角形为直角三角形 ∴∴； ②∵；∴ ∴；∴； ∵；∴ ∵；∴；∴，．      1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴，故选：． 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵，∴②， ①②得，∴大正方形的面积，故选：B． 3．（24-25湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴，∴， ∵，∴，∵小正方形的边长为：， ∴．故选C 4．（2025·浙江金华·二模）如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 【答案】A 【详解】解：设依题意，， ∴∴∴；直角的面积为，故选：A． 5．（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形和矩形全等，四边形是正方形，∴，，， 又∵，∴，，∴，， ∴正方形的面积为，∴正方形边长为，故选：A． 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连接AD，FH，过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，交FH于K，连结KG，若S△ABC=则的值为（） A．7.5 B．10 C．3 D．9 【答案】A 【详解】解∶过点G作交其延长线于点，过点C作， 设 在中，，，， ，， ，，，，（负值舍去）， ，（负值舍去）， ，解得，， ，，， ，，， ，，， ，， ，，， ，为的中点，， ，即，， ，， ，，，即 故选：A 7．（2025·江苏南京·二模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，设图2：设， ∴∴，∵，∴，∴， 在中，，∴ ， ∴ ，∴，∴∴．故选：B． 8．（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为， ∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为，∴， ∵小正方形的面积为，∴，∴， ∵将这四个直角三角形拼成图，∴图2中最大的正方形的面积为：．故选：A． 9．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】（1）过点作, 交于点,过点作, 交于点. ∵,∴,又∵,∴,∴四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形，∴, ∴在中, 直角边.故（1）正确，符合题意； （2）∵,∴, 在中， ,,故（2）正确，不符合题意； ，， 又，，， ，，，， ， ，，故（3）正确，符合题意；故选: . 10．（2025·成都·校考二模）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ． 【答案】4． 【详解】解：第①个正方形的面积为16，由分析可知：第②个正方形的面积为8， 第③个正方形的面积为4，故答案为：4． 11．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ． 【答案】127 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....． ∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127． 12．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    【答案】5 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形，∴，， ∴， 在中，，故答案为：5 ． 13．（2025·福建厦门·模拟预测）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则与的面积之和等于 ． 【答案】 【详解】解：四边形、、均为正方形， ∴，，， ∵，∴， ∵∴ ∵，， 则，则， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴解得，∴， ∴．故答案为： 14（24-25·九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图， 为等腰直角三角形， ，， ， ，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， 正方形的边长为2， ， 面积标记为的正方形的边长为， ， 面积标记为的正方形边长为， ， 面积标记为的正方形的边长为， ， 根据同样的规律，依次类推， ， ．故答案为：． 15.（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【详解】解：正方形的边长为10，“赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．故答案为：． 16.（2024·福建·中考真题）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    【答案】2 【详解】解：正方形的面积为4，，， 点，，，分别为边，，，的中点， ，，同理可得， 四边形的面积为．故答案为：2． 17．（24-25·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．    【答案】 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、且， 由题意可知：，，， ∴，， ∵正方形的边长为4，∴，∴故答案为：． 18．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026，故答案为：2026． 19．（2024·山东临沂·校考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1（如图1），则正方形的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 5 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴其边长为1， ∵把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，∴正方形A1B1C1D1的边长为：， ∴正方形A1B1C1D1的面积：； ∵正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2， ∴正方形A2B2C2D2的边长为：，∴正方形A2B2C2D2的面积为：； 同理可得：正方形A3B3C3D3的边长为：，∴正方形A3B3C3D3的面积为：； 正方形A4B4C4D4的边长为：，∴正方形A4B4C4D4的面积为：； 依次可推出：正方形AnBnCnDn的面积为：．故答案为：5； 20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．    【答案】 【详解】解：设，，则， ∵，，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∴，整理得：，解得：，（舍去）， 即，∴，， ∴，， ∴，∴∴， ∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，故答案为：． 21．（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)13 【详解】（1）证明：，，，． ，． 在和中，，； （2）解：，，， ，，，． 22．（2025·贵州贵阳·中考模拟预测）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 【答案】（1）见详解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由见详解 【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．∴c2＝ab×4＋（b−a）2，化简得：a2＋b2＝c2； （2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形， 设EF=a，FD=b，∴a+b=12， ∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成， ∴，，， 当EF>DF时，∵，∴a-b=5， ∴，解得：a=，∴EF=； 同理，当EF<DF时，EF=故EF=或 （3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f， ∵，∴图中①与②与③，三个直角三角形相似， ∴，即：， ∵图形③是直角三角形，∴，∴，即：c+b=n， 23．数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】（1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则___________． 【深入实践】（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点在正方形网格的格点上，是纸片边上的中点．沿着将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】（3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片剪拼成一个大正方形纸片．为剪痕与原正方形边的交点，已知． ①___________，___________； ②求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①4；3；② 【详解】解：（1）长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点， ∴，，∴， ∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片，∴，故答案为：； （2）下图展示了两种不同的拼法， （3）将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，，∴； ①如图所示，根据朱出与朱入可得，， 则，，∴，； ②由①可知，，在中，， 在中，，又在中，， ∴，设，∴，解得：， ∴，∴正方形的边长是． 24．【概念建构】在中，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】（1）如图3，在中，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，求的长． 小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．如图5，在中，，D是边上一点，，交于点N，延长，交于点F，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【学以数用】（3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和． 【拓展延伸】（4）如图7，在中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，直接写出的面积．                    【答案】（1）；（2）；（3）3；（4） 【详解】解：（1）过D作于点N，于点M，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （2）如图5，连接，过作交的延长线于，∴， ∵，，由“双外弦三角形”的含义同理可得：，∴，， ∵，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，而，∴； （3）如图6，过作交的延长线于，过作于，过作于，过作于，则 ∵，∴由平行线间的距离处处相等可得：， ∵，∴， ∵和是等腰直角三角形，， 由（1）同理可得：，，∴，， ∴和的面积和为：． （4）解：如图7，过作于， ，， ， 于，，，， 于，，，， 又，，， ，．， 又，，，． ，，， ，． 25．（2025·广东·校考三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理． 问题发现：如图①，若直角三角形的直角边，斜边，则中间小正方形的边长______，连接，的面积为______． 知识迁移：如图②，是正方形内一点，连接，，，当，时，的面积为______． 拓展延伸：如图③，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线，分别于，两点．（1）已知为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点；在上取一点，使；过点作交于点，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若为射线上一个动点，为射线上一点；当，时，直接写出线段的长．    【答案】问题发现：1，； 知识迁移：5； 拓展延伸：（1），理由见解析；（2）或 【详解】解：问题发现：如图，连接，    ，，，， 图中的四个直角三角形全等，，； ，，故答案为：，． 知识迁移：如图，四边形是正方形，    ，， 将绕点沿逆时针方向旋转，得到， ，，，， ，，故答案为：． 拓展延伸：（1），理由如下：如图，作于点， 于点，于点，， 四边形是矩形， ，，，，， ，，，． 当点在线段上，如图③，设， ，，，且， ，解得，不符合题意，舍去， ，，，， ，，． 当点在线段的延长线上，如图④，设，   点在线段的延长线上，且，，， 解得，，，， ，，． 综上所述，线段的长为或．故答案为：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.弦图模型 6 模型2.勾股树模型 10 15 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 （2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 （2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 （5）勾股树模型 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 模型1.弦图模型 例1（2025·海南·二模）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（　　） A． B．6 C．5 D．4 例2（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是    例4（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 例5（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点D、E、F分别是、、的中点，若的面积为，则的面积是 ． 例6（2024·浙江·二模）如图，于点B，于点D，P是BD上一点，且，．   (1)求证：；(2)若，，求的长． 模型2.勾股树模型 例1（2025·湖北孝感·模拟预测）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”，……，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”2023次后形成的图形中所有的正方形的面积之和为 ．    例2（2025·重庆·校考一模）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（） A．15 B．23 C．27 D．31 例3（2025·吉林长春·一模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图2，分别以的三边为边向外作三个正方形、、，过作的垂线，垂足为，分别交、于点和点，记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，下列结论：①当时，；②当时，为钝角；③；④当时，．其中正确的是 ． 图1   图2 例4（2025·山东·校考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么． (1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） ①；②与的关系为，与的关系为______．       1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（24-25湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·浙江金华·二模）如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．8 5．（2025·浙江温州·二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形和矩形，与一个小正方形剪拼成大正方形，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形边长为（   ） A．5 B．6 C． D． 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连接AD，FH，过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，交FH于K，连结KG，若S△ABC=则的值为（） A．7.5 B．10 C．3 D．9 7．（2025·江苏南京·二模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 8．（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点A，B，C在同一直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，连接，设，，，下列结论正确的数量为（  ） （1） （2） （3） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2025·成都·校考二模）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ． 11．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ． 12．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形和四边形都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，则的长为 ．    13．（2025·福建厦门·模拟预测）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形、、均为正方形．若，，则与的面积之和等于 ． 14（24-25·九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，．．．．按照此规律继续下去，则的值为 ． 15.（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    16.（2024·福建·中考真题）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为 ．    17．（24-25·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为4，则 ．    18．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 19．（2024·山东临沂·校考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1（如图1），则正方形的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为 （用含n的式子表示，n为正整数）． 20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．    21．（2024·四川南充·三模）如图，中，，，于，于． (1)求证：；(2)若，，求的长． 22．（2025·贵州贵阳·中考模拟预测）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 23．数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】（1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，是的中点，沿着剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则___________． 【深入实践】（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点在正方形网格的格点上，是纸片边上的中点．沿着将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】（3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片剪拼成一个大正方形纸片．为剪痕与原正方形边的交点，已知． ①___________，___________；②求正方形的边长． 24．【概念建构】在中，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”的基本事实，我们得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】（1）如图3，在中，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，求的长． 小亮同学在阅读与理解【概念建构】的基础上，作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）请你应用“双内弦三角形”和“双外弦三角形”都是全等三角形的结论或者按照自己的解题思路解答下列问题．如图5，在中，，D是边上一点，，交于点N，延长，交于点F，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【学以数用】（3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，直接写出和的面积和． 【拓展延伸】（4）如图7，在中，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，直接写出的面积．                    25．（2025·广东·校考三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理． 问题发现：如图①，若直角三角形的直角边，斜边，则中间小正方形的边长______，连接，的面积为______． 知识迁移：如图②，是正方形内一点，连接，，，当，时，的面积为______． 拓展延伸：如图③，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线，分别于，两点．（1）已知为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点；在上取一点，使；过点作交于点，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若为射线上一个动点，为射线上一点；当，时，直接写出线段的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $