专题09 投影与视图（期末复习知识清单，7知识&9题型&2易错&2方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学专题知识清单系统整合了投影与视图核心内容，涵盖平行投影、中心投影、正投影及三视图四大知识范畴，构建了从基础概念辨析到实际问题解决再到方法规律总结的递进式学习支架。 清单通过“知识清单+题型分类+方法指引”三维架构呈现体系，如将投影分为平行与中心两类，标注“太阳光用比例法，灯光用相似三角形”的应用提示，培养学生几何直观与空间观念。设置典例与变式题组，如正投影判断中“正方形投影不可能是点”的易错点分析，助力学生精准突破，教师可直接用于专题复习或分层教学。

专题09 投影与视图（7知识&9题型&2易错&2方法清单） 【清单01】平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　 【清单02】中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【清单03】正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【清单04】三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 【清单05】三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2） 大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【清单06】 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 【清单07】由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【题型一】平行投影 【典例1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 【变式2】下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B．C．D． 【变式3】如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【题型二】平行投影与相似三角形应用 【典例2】如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【变式1】古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）    【变式2】星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 【变式3】周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据） (1)求点D到水平地面的距离； (2)求树的高度（结果精确到0.1米）． 【题型三】中心投影 【典例3】下列各种现象：皮影戏中的影子；物体在太阳光形成下的影子；探照灯下的投影；路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1】在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（    ） A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间． 【变式2】在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【题型四】中心投影与相似三角形应用 【典例4】如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【变式1】小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ． 【变式2】2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．      （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为 m． 【变式3】如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【题型五】正投影 【典例5】一个正方形的正投影不可能是（     ） A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点 【变式1】由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（    ） A．B． C． D． 【变式2】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（    ） A． B． C． D． 【变式3】把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，则投射线由正前方射到后方时所形成的影子是(　　) A． B． C． D． 【题型六】判断简单几何体/组合体的三视图 【典例6】如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示直观图的俯视图是（    ） A．B．C． D． 【变式2】如图所示几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【题型七】由三视图还原几何体 【典例7】如图，是一个立体图形的三视图，这个立体图形是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 【变式1】一个立体图形从上面看是，从左面看是，从前面看是．这个立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱柱 【变式3】如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【题型八】画简单几何体的三视图 【典例8】画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【变式1】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【变式2】画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图．    【变式3】如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 【题型九】已知三视图求侧面积或表面积 【典例9】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【变式1】一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为，则a的值为（    ）    A． B． C． D．2 【变式2】如图为一个实心几何体的正视图和左视图，根据图示信息求出该几何体的体积和表面积．（结果保留π） 【变式3】某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的图形如图所示，长方体的长为5，宽为6，高为8，圆柱体的高为4， 底面直径为2．    (1)求该几何体的体积；（结果保留） (2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留） 【题型01 ：平行投影与中心投影】 1.如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 2.下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【题型02：几何体的三视图】 1.如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2.在一个长方体上放着一个小正方体，这个组合体的俯视图如图所示，那么它的左视图是(　 　)． A．B． C． D． 3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A．B．C．D． 【题型一】投影类型 1.先判类型，再选方法 （1）看到“太阳光、平行光线”一平行投影，用「比例法」计算(物高/影长=定值); （2）看到“灯光、点光源”一中心投影，用「相似三角形」求解(连接光源与物体顶点，找影子对应边)。 2.关键信息抓 2 点 平行投影:注意“方向”(如上午/下午影子朝向)，同一时刻物体与影长成正比; 中心投影:找准“光源位置”(影子端点与物体端点连线交点)，避免用平行投影比例计算。 【题型二】视图类 1.三视图还原/判断:抓“三等关系’ （1）长对正(主视图与俯视图水平长度相等)、高平齐(主视图与左视图竖直高度相等)、宽相等(俯视图与。左视图水平宽度相等); （2）遇到正方体组合体:先看俯视图定底层布局，再按主视图、左视图补上层正方体个数。 2.视图画法:"看得见画实线，看不见画虚线。 （1）简单几何体(圆柱、圆锥、棱柱):主视图看“正面轮廓"，俯视图看“顶面形状”，左视图对应右侧轮廓。 （2）避免漏画虚线(如正方体组合体中被遮挡的棱) 3.视图相关计算(表面积/体积) （1）先根据三视图还原几何体(优先画草图)，再套用公式， （2）注意:组合体表面积需减去重叠部分的面积(避免重复计算) 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 投影与视图（7知识&9题型&2易错&2方法清单） 【清单01】平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　 【清单02】中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【清单03】正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【清单04】三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 【清单05】三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2） 大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 【清单06】 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 【清单07】由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 【题型一】平行投影 【典例1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的性质，掌握“用某方向的平行射线将图形投射到平面上形成的图像“是解决本题的关键． 根据平行投影的性质判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，不符合题意； B、影子方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，符合题意； C、影子方向相同，但较高的树的影子长度小于较低的树的影子，不符合题意； D、影子的方向不相同，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 【答案】B 【分析】本题考查中心投影与平行投影的区分．中心投影的光源为点光源，光线呈发散状；平行投影的光源视为无限远处，光线平行．据此判断即可． 【详解】解：中心投影由点光源（如台灯、蜡烛、路灯）发出的发散光线形成，各选项中的台灯（A）、蜡烛（C）、路灯（D）均为点光源，属于中心投影．而太阳距离地球极远，其光线可视为平行光线，形成的投影为平行投影，而非中心投影． 故选：B． 【变式2】下列投影中，属于平行投影的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影的知识，定义：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．特征：平行投影的投影线是平行的．根据平行投影的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．如图， 属于中心投影，故不符合题意； B．如图， 属于中心投影，故不符合题意； C．如图， 属于中心投影，故不符合题意； D．如图， 属于平行投影，故符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行，即可得出结果． 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行， ∵题中没说明阳光是从哪个角度射入， ∴影子为平行四边形； 故选A． 【题型二】平行投影与相似三角形应用 【典例2】如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【答案】2.5米 【分析】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，过点D作交于H，过点作，交于点，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米， 可得：， ， ， 米， （米， 故立柱的高为2.5米． 【变式1】古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似计算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．（说明：金字塔的影长为露在外面的影长与金字塔底边的一半的长度的和．）    【答案】金字塔的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴（米）． 答：金字塔的高度为米． 【变式2】星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：是因为我们的影子在同一直线上（如图所示），请你根据他们的对话，完成下列问题． (1)画出此时妹妹在阳光下的影子； (2)若哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为，求妹妹的身高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用； （1）利用阳光是平行投影进而得出妹妹在阳光下的影子进而得出答案； （2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可 【详解】（1）解：如图，线段为此时妹妹在阳光下的影子； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵哥哥身高为，哥哥和妹妹之间的距离为，而妹妹的影子长为， 即，，， ∴， ∴， ∴妹妹的身高是． 【变式3】周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据） (1)求点D到水平地面的距离； (2)求树的高度（结果精确到0.1米）． 【答案】(1)2米 (2)树高7.7米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过D作于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交AB于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H， 在中，， ∴（米）； （2）解：过H作交AB于E， ∵，， ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∴，即 解得 ∴（米）． 答：树高7.7米． 【题型三】中心投影 【典例3】下列各种现象：皮影戏中的影子；物体在太阳光形成下的影子；探照灯下的投影；路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，所以属于中心投影的是：，共有种， 故选：C． 【变式1】在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（    ） A．A的左侧 B．A、B之间 C．C的右侧 D．B，C之间． 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影；根据中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，根据影子与木杆的连线，可以得到光源所在位置． 【详解】解：如图所示， 故选：B． 【变式2】在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源， ∴光线从一点发出，形成中心投影． 故选：A． 【题型四】中心投影与相似三角形应用 【典例4】如图，小李、婷婷、小高同时站在路灯下，其中小李和小高的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点表示）； (2)画出婷婷此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小李的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度．（精确到0.1m） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯的高度约为 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点B和小李的头部并延长，连接点D和小高的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与婷婷的头部与地面交于E，则点E与婷婷脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）解：过点作，交的延长线于点 由题意得： ， ；即： 答：路灯的高度约为． 【变式1】小明家的客厅有一张直径为1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的相似比等于对应高的比，列方程求出DE，进而求出OE，确定点E的坐标． 【详解】解：过点B作BF⊥x轴，垂足为F， 由题意得，BF=0.75，BC=1， ∵BCDE， ∴△ABC∽△ADE， ∴=， 即：， 解得：DE=1.6， ∴OE=2+1.6=3.6， ∴E（3.6，0）， 故答案为：（3.6，0）． 【点睛】考查中心投影的意义，将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是常用的方法． 【变式2】2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．      （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为 m． 【答案】 中心投影 【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可； （2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可． 【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线， ∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大． 【变式3】如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【答案】见解析 【分析】根据中心投影的作图即可． 本题考查了中心投影，正确确定投影中心是解题的关键． 【详解】解：光源O如图所示，立柱的影子如图所示． 则即为所求． 【题型五】正投影 【典例5】一个正方形的正投影不可能是（     ） A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点 【答案】D 【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案． 【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形． 故正方形纸的正投影不可能是点， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键． 【变式1】由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【变式2】如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形． 【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合， 故选D． 【点睛】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定． 【变式3】把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放，则投射线由正前方射到后方时所形成的影子是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定，根据正投影的性质可知当投射线由正五棱柱正前方射到后方时，其正投影应是矩形即可解答． 【详解】解：根据投影的性质可知，该物体为正五棱柱，则其正投影应为矩形． 故答案选：B． 【点睛】本题考查正投影的定义及正投影形状的确定这个知识点，考查的内容较为基础，题目难度不大，较为简单，解答本题时要有一定的空间想象能力． 【题型六】判断简单几何体/组合体的三视图 【典例6】如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的左视图，从左面观察几何体的形状图为左视图，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，几何体的左视图是 故选：C． 【变式1】如图所示直观图的俯视图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面往下看到的视图，即可得出答案． 【详解】 解：如图所示直观图的俯视图是． 故选：A． 【变式2】如图所示几何体的俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据从上往下看可知有两列小正方形，左列下边有一个小正方形，右列有上下两个小正方形， 故选D 【变式3】如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握俯视图． 根据俯视图逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项是几何体的俯视图，符合题意； D. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； 故选：C． 【题型七】由三视图还原几何体 【典例7】如图，是一个立体图形的三视图，这个立体图形是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据几何体的三视图判断几何体，根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体是三棱柱即可． 【详解】解：∵主视图和左视图为矩形 ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴这个几何体应该是三棱柱． 故选：B． 【变式1】一个立体图形从上面看是，从左面看是，从前面看是．这个立体图形可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向观察物体和几何体的知识，解题的关键是通过立体图形的三视图来还原立体图形的形状． 本题可根据从不同方向观察立体图形所得到的平面图形的特征，依次对每个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A选项：从上面看，A选项图形前排有4个小正方形，后排第二个有1个小正方形， 与题目中从上面看到的图形不相符，所以A选项错误． B选项：从上面看，B选项图形前排有4个小正方形，后排第一个和第四个有1个小正方形，与题目中从上面看到的图形相符； 从左面看，有2列，每列分别有2个小正方形，相符； 从前面看，前排有4个小正方形，后排有2个小正方形，分别在第二个和第四个，与题目中从前面看到的图形相符，所以B选项正确． C选项：从上面看，C选项图形后排有4个小正方形，前排第一个和第四个有1个小正方形，与题目中从上面看到的图形不相符，所以C选项错误． D选项：从上面看，D选项图形前排有4个小正方形，后排有2个小正方形，与题目中从上面看到的图形相符， 从左面看，右上角少一个小正方形，不相符；所以D选项错误． 故选：B． 【变式2】某校图书阅览室的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（    ） A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱柱 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据三棱柱的三视图的特点确定结果即可． 【详解】解：根据三视图的特点可知，该几何体为三棱柱． 故选：B． 【变式3】如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：A．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； B．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； C．该几何体的俯视图有圆形，故此选项不符合题意； D．该几何体的三视图符合题意． 故选：D． 【题型八】画简单几何体的三视图 【典例8】画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图的定义去判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： ． 【变式1】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形，画出图形即可，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：该几何体的三视图，如下图为所求： ． 【变式2】画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图．    【答案】见解析 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．根据观察的几何体画出图形即可． 【详解】解：画出的主视图、左视图、俯视图如图．    【变式3】如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)10 (3)38 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键． （1）根据几何体的三视图画法，即可求解， （2）将每层的三列小正方体数量相加，再求和，即可求解 （3）先求出每个小正方体的表面积，再减掉小正方体相互接触的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：一层小正方体数量：， 二层小正方体数量：， 三层小正方体数量：， 全部小正方体数量：， 故答案为：10， （3）解：一个小正方体的表面积：， 全部小正方体的表面积：， 图中小正方体相互接触的面积：， 该几何体的表面积：， 故答案为：38． 【题型九】已知三视图求侧面积或表面积 【典例9】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【答案】(1)正六棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识； （1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱； （2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图； （3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案． 【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱． 故答案为：正六棱柱． （2）六棱柱的表面展开图如 （3）由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为， 六棱柱的侧面积为． 如图，设圆心为，连接，，作于点， ； ∴ ∴密封纸盒的底面面积为：， 六棱柱的表面积为． 【变式1】一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为，则a的值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据左视图中的a就是俯视图等边三角形的高，由此根据侧面积列出方程即可得答案． 【详解】观察给出的图形可知，正三棱柱的高是，正三棱柱的底面正三角形的高是a ∴底面边长为， ∵这个正三棱柱的侧面积为， ∴， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查三视图的有关知识，理解左视图中的a就是俯视图等边三角形的高，学会用方程的思想解决问题是解题关键． 【变式2】如图为一个实心几何体的正视图和左视图，根据图示信息求出该几何体的体积和表面积．（结果保留π） 【答案】体积为；表面积为 【分析】本题考查了几何体的三视图以及几何体的体积和表面积计算；先由两个视图判断出几何体的形状，然后根据体积和表面积公式计算即可；根据题中的两个视图得出该几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的是关键． 【详解】解：该几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，体积为：； 表面积为： 【变式3】某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的图形如图所示，长方体的长为5，宽为6，高为8，圆柱体的高为4， 底面直径为2．    (1)求该几何体的体积；（结果保留） (2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得知该几何体的体积等于长方体体积减去半个圆柱体的体积，而该几何体底部圆柱的底面直径为2，高为4，由此即可解题； （2）正面区域面积等于一个矩形框面积+一个半圆柱体表面积，根据柱体的侧面面积=底面周长×高可得答案；． 【详解】（1）解：几何体的体积 （2）涂色面积 【点睛】本题考查了立体图形的三视图以及常见几何体的体积计算，结合图形得出圆柱底面直径和高以及长方体的长宽高是解题的关键． 【题型01 ：平行投影与中心投影】 1.如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，老北京人都叫它“驴皮影”．据史书记载，皮影戏始于西汉，兴于唐朝，盛于清代，元代时期传至西亚和欧洲，可谓历史悠久，源远流长．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：∵皮影戏的光源通常是一盏煤油灯， ∴它的投影属于中心投影． 故选B． 2.下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 【题型02：几何体的三视图】 1.如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：俯视图为： 故选：D． 2.在一个长方体上放着一个小正方体，这个组合体的俯视图如图所示，那么它的左视图是(　 　)． A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先细心观察原立体图形俯视图两个长方体位置关系，结合四个选项选出答案． 【详解】解：由俯视图可知，原来几何体的图象如图所示，故左视图为C， 故选：C． 【点睛】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，根据几何体的三视图判断即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】 解：由几何体的三视图可知，这个几何体是 故选：． 【题型一】投影类型 1.先判类型，再选方法 （1）看到“太阳光、平行光线”一平行投影，用「比例法」计算(物高/影长=定值); （2）看到“灯光、点光源”一中心投影，用「相似三角形」求解(连接光源与物体顶点，找影子对应边)。 2.关键信息抓 2 点 平行投影:注意“方向”(如上午/下午影子朝向)，同一时刻物体与影长成正比; 中心投影:找准“光源位置”(影子端点与物体端点连线交点)，避免用平行投影比例计算。 【题型二】视图类 1.三视图还原/判断:抓“三等关系’ （1）长对正(主视图与俯视图水平长度相等)、高平齐(主视图与左视图竖直高度相等)、宽相等(俯视图与。左视图水平宽度相等); （2）遇到正方体组合体:先看俯视图定底层布局，再按主视图、左视图补上层正方体个数。 2.视图画法:"看得见画实线，看不见画虚线。 （1）简单几何体(圆柱、圆锥、棱柱):主视图看“正面轮廓"，俯视图看“顶面形状”，左视图对应右侧轮廓。 （2）避免漏画虚线(如正方体组合体中被遮挡的棱) 3.视图相关计算(表面积/体积) （1）先根据三视图还原几何体(优先画草图)，再套用公式， （2）注意:组合体表面积需减去重叠部分的面积(避免重复计算) 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