专题08 锐角三角形函数（期末复习专项训练，9大题型）九年级数学上学期人教版

专题08 锐角三角形函数 题型1 锐角三角函数的定义（常考点） 题型6 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（重点） 题型2 三角函数的有关运算（重点） 题型7 解直角三角形的实际应用-坡度问题（重点） 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 题型8 解直角三角形的实际应用-方向角问题（重点） 题型4 解直角三角形（常考点） 题型9 解直角三角形的实际应用-其他问题 题型5 解非直角三角形 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 锐角三角函数的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 三角函数的有关运算（共12小题） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，则的长是 ． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 4．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 6．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 7．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 9．（22-23九年级上·广东·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 10．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则 ． 11．（2024·贵州·模拟预测）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 题型三 特殊角的三角函数值的有关运算（共3小题） 1． （24-25九年级下·广东深圳·期中）计算： 2． （24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算：． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 题型四 解直角三角形（共5小题） 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2024·山东日照·二模）如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)点在线段上，连接，且，求的值． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 题型五 解非直角三角形（共3小题） 1．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 题型六 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，无人机在处观察正面为横跨河流两岸的大桥，测得的俯角为，测得点的俯角为．已知长度为米的大桥与地面在同一水平面上．求无人机在处距离地面的高度．（参考数据：） 4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【综合与实践】数学课上，“奋进”学习小组的同学自制测角仪器（如图）．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好看到被测物最高点即可测量出被测物． 例：如图，已知人眼睛离地面，测得树顶仰角为，人和树的水平距离为．求树的高度（，，）． 解：因为，其中，． 所以求得，所以树高． (1)“奋进”小组的同学站在地面测量某棵树，人眼睛离地面为，测得树顶仰角为，测量点到树脚距，求树的高度（结果保留位小数．参考数据：，）． (2)湖泊中间有一座古塔，无法测量古塔到岸边的距离，为了能够计算出古塔的高度，“创新”小组计划通过图的方式进行测量计算，已知操作者高度，测得，，两个测量点距离，用这个方法是否能够计算出古塔高度？若能，请计算出古塔高度，若不能，请说明理由： (3)在原有仪器情况下增加一面镜子并且已知古塔与岸边的距离，你能否给出新的测算方法，请画出示意图并加以说明． 题型七 解直角三角形的实际应用-坡度问题（共6小题） 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 2．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚处步行300到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为．（参考数据：，，） (1)求，两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚处到达山顶处需要多少分钟． 题型八 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 2．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 3．（23-24九年级上·广西北海·期末）如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了到达处，在处看到灯塔在正北方向上．    (1)求这时渔船与灯塔的距离． (2)若渔船继续向正东方向行驶到达处，求的值． 4．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 题型九 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题） 1．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行的常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示滚轮忽略不计，箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图，当拉杆伸出两节，时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度单位：，结果保留整数．参考数据： ， ， 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到1m）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 4．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． $专题08 锐角三角形函数 题型1 锐角三角函数的定义（常考点） 题型6 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（重点） 题型2 三角函数的有关运算（重点） 题型7 解直角三角形的实际应用-坡度问题（重点） 题型3 特殊角的三角函数值的有关运算 题型8 解直角三角形的实际应用-方向角问题（重点） 题型4 解直角三角形（常考点） 题型9 解直角三角形的实际应用-其他问题 题型5 解非直角三角形 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 锐角三角函数的定义（共2小题） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 题型二 三角函数的有关运算（共12小题） 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，，，则的长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查三角函数，解题关键在于按照定义找准对应边，其次注意计算仔细即可． 利用正弦三角函数的定义即可直接作答． 【详解】∵在中，， ∴ ∴ ∴． 故答案为：15． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点D，E分别是边的中点，于点F，，，则的长为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，余弦函数，掌握这些知识是关键．由直角三角形斜边上中线的性质可求得，再由余弦定义即可求得结果． 【详解】解：∵D 、E分别是边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，即得，得到，进而得到，即可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 7．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质， 先作，构造出直角三角形，再结合余弦的定义. 【详解】过点A作，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，. 故选：B． 8．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 9．（22-23九年级上·广东·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 10．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，求解三角函数值，先证明，，结合勾股定理可得，再利用锐角的正切可得答案． 【详解】解：如图，的垂直平分线交边于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 11．（2024·贵州·模拟预测）中，，，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 题型三 特殊角的三角函数值的有关运算（共3小题） 1．（24-25九年级下·广东深圳·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键 ． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，解题关键是正确化简． 直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别代入化简即可． 【详解】解：原式     ． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型四 解直角三角形（共5小题） 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关整式点是解题的关键． 根据题意得到，，求出，过点作，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，将三角板绕原点顺时针旋转， ，， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接，证出，证明即可； （2）连接，证明，再由勾股定理求得，最后三角形的面积公式求得结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； （2）解：如图，连接， ，，是斜边上的中线， ， 为直径， ， ， ， ， ． 3．（2024·山东日照·二模）如图，在中，，点E是边上的点，点O是边上的点，过点E作与边分别相交于点D，F，．    (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】此题考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接， 由是的直径，得，由，得垂直平分，再证明，则，即可证明为的切线； （2）由勾股定理求出，设，则，由，进一步求得即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)点在线段上，连接，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算．直角三角形两锐角互余，等角对等边等知识． （1）作于点，根据正弦和余弦的定义分别求出和，根据直角三角形两锐角互余得出，再根据等角对等边得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． （2）作于点，，则，，根据正切的定义得出，进而可得出，再根据，进而可得出，，进而了可得出，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：作于点 在中，， ， 在中， ， （2）解：作于点，则， ∴， ，， ， ， ， 由题意，， 5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五 解非直角三角形（共3小题） 1．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 2．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 题型六 解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题（共5小题） 1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 【答案】7.7米 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，． 设米， 在中，， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 米， （米）， 答：电池板离地面的高度约为米． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为．    (1)当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ (2)在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据： ） 【答案】(1)调整，使得 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图所示：    则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． （2）解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 3．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，无人机在处观察正面为横跨河流两岸的大桥，测得的俯角为，测得点的俯角为．已知长度为米的大桥与地面在同一水平面上．求无人机在处距离地面的高度．（参考数据：） 【答案】无人机在处距离地面的高度为米 【分析】本题考查了仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作于点，设，则米，所以米，在中由三角函数值的计算得到，可求出米，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，则无人机在处距离地面的高度为（或或）的值， ∴米，，， 设，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得，， ∴（米）， ∴无人机在处距离地面的高度为米． 4．（24-25九年级上·广西来宾·期末）【综合与实践】数学课上，“奋进”学习小组的同学自制测角仪器（如图）．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好看到被测物最高点即可测量出被测物． 例：如图，已知人眼睛离地面，测得树顶仰角为，人和树的水平距离为．求树的高度（，，）． 解：因为，其中，． 所以求得，所以树高． (1)“奋进”小组的同学站在地面测量某棵树，人眼睛离地面为，测得树顶仰角为，测量点到树脚距，求树的高度（结果保留位小数．参考数据：，）． (2)湖泊中间有一座古塔，无法测量古塔到岸边的距离，为了能够计算出古塔的高度，“创新”小组计划通过图的方式进行测量计算，已知操作者高度，测得，，两个测量点距离，用这个方法是否能够计算出古塔高度？若能，请计算出古塔高度，若不能，请说明理由： (3)在原有仪器情况下增加一面镜子并且已知古塔与岸边的距离，你能否给出新的测算方法，请画出示意图并加以说明． 【答案】(1)； (2)能，古塔高度为； (3)见解析． 【分析】（1）先根据题意抽象出示意图，结合示意图和题中示例进行运算即可得解； （2）先由题意画出示意图，再结合解直角三角形求解即可； （3）（方法不唯一）结合相似三角形的判定与性质可得出新的测量方法． 【详解】（1）解：如图，仰角为，树高，人眼睛离地面高度为，人和树的距离， ，其中， ， ， 树； （2）解：能， 如图，以操作者高度为水平线作示意图，其中，，两个测量点距离为， 设塔高于人的部分为， ，得， ， ， 解得， 即塔高于人的部分为， 古塔高度为； （3）解：（方法不唯一）如图，将镜子置于地面，测量者往远离古塔的方向走并看向镜子，直到在镜子中看到塔尖，此时用测量角的仪器测出俯视角（）的度数，由反射定律可知，相似于，再测量出人和镜子的距离以及人眼睛离地面高度，利用相似三角形对应边成比例即可算出古塔的高． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用、相似三角形的应用，解题关键是熟练解直角三角形相关知识点． 题型七 解直角三角形的实际应用-坡度问题（共6小题） 1．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 2．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 5．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为． (1)求点到的水平距离． (2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)约米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键； （1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解； （2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解． 【详解】（1）解：如图，过B作于E， ∵坡度， ∴设米，则米， 由勾股定理得米， ∵米， ∴， ∴， ∴米； 答：点到的水平距离为米． （2）解：由（1）知，米， 在中，， ∴米， ∴（米）． 答：教学楼的高度约为米． 6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）国庆节期间，张华与李明相约攀登梵净山附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚处步行300到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处到达山顶处．已知点、、、、在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为．（参考数据：，，） (1)求，两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚处到达山顶处需要多少分钟． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，利用含角的直角三角形的性质进行计算即可； （2）求出的长，再求出所用时间和即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡度，， ， 在中，， ， ， 答：，两地的垂直高度为； （2）解：在中，， ， ， 答：他们从山脚处到达山顶处需要分钟． 题型八 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题） 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 【答案】船C离海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，则为等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵， ， ∴， 在中，∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 答：船C离海岸线l的距离为 2．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小南家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方．午休时间，小南从家出发沿北偏东方向步行至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离(保留整数)； (2)若小南的步行速度为，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(忽略买素描画纸的时间) 【答案】(1)菜鸟驿站与超市的距离约为 (2)小南上美术网课会迟到，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和用三角函数解决实际问题，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，先根据三角函数求出的长，再根据三角函数求的长即可； （2）先根据三角函数求出的长，再计算即可． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点，则， 由题意可知，，，， ，是等腰直角三角形， ， ． 答：菜鸟驿站与超市的距离约为． （2）解：小南上美术网课会迟到，理由：在中，， ， ， ． ， 小南上美术网课会迟到． 3．（23-24九年级上·广西北海·期末）如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了到达处，在处看到灯塔在正北方向上．    (1)求这时渔船与灯塔的距离． (2)若渔船继续向正东方向行驶到达处，求的值． 【答案】(1)这时渔船与灯塔C的距离为 (2)的值是 【分析】本题考查了与方位角有关的解直角三角形的应用． （1）在中，，利用正切函数即可求得的长； （2）由勾股定理求得的长，再由正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵A处看到灯塔C在北偏东，      ∴， ∵渔船向正东方向航行了到达B处， ∴， ∵ ， ∴； 答：这时渔船与灯塔C的距离为； （2）解：∵，   在中， ， ∴ ； 答：的值是． 4．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】(1) (2)线路2比线路1短，见解析 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． （2）解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 题型九 解直角三角形的实际应用-方向角问题（共4小题） 1．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）拉杆箱是外出旅行的常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示滚轮忽略不计，箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图，当拉杆伸出两节，时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度单位：，结果保留整数．参考数据： ， ， 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为，则图中，，图中，，在图中，过点作于点，利用三角函数可得；在图中，过点作于点，利用三角函数可得，结合两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，可得关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设每节拉杆长为，则图中，， 图中，， 在图中，过点作于点， 在中，， ， ， 在图中，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆长． 3．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到1m）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)500m (2)483m 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高长度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， （m）； 即索道的长约为m. （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， （m） （m） 即山顶点到水平地面的距离的长约为m. 4．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为（，，，结果保留一位小数）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且丄于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． $