专题08 锐角三角函数（期末复习知识清单，5知识&10题型&4易错&3方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学锐角三角函数专题清单系统梳理了5大知识模块与10类典型题型，涵盖锐角三角函数概念、特殊角值、解直角三角形及实际应用等核心内容，构建了从基础概念理解到综合问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识清单-题型典例-方法总结”三维架构呈现，如解直角三角形按类型分级，配典例与变式训练，“三步解题法”培养数学思维，实际应用题建模步骤强化应用意识，助力学生高效掌握，方便教师精准教学。

专题08 锐角三角函数（5知识&10题型&4易错&3方法清单） 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【清单02】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单03】解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】（23-24九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）在△ABC中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】已知函数值求边长 【典例2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【变式1】（2024·广西桂林·二模）如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则 ． 【题型三】求角的函数值 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型四】特殊角的三角函数值 【典例4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）计算． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算：． 【题型五】解直角三角形 【典例5】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【题型六】解非直角三角形 【典例6】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 【变式2】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在中，，，夹边的长为6，求的面积．    【变式3】（2021·江苏盐城·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【题型七】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例7】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【变式1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 【变式2】（2025·江西宜春·三模）在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面示意图上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点在斜坡上，，从点向右斜向上发射出的小球（体积忽略不计）沿抛物线的轨迹运动，解决下列问题： (1)点的坐标是______； (2)求，所满足的数量关系； 当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数解析式； (3)在点右侧处有一堵高为的墙，若要小球能碰触到墙面，求的取值范围． 【变式3】（2025·山西吕梁·三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【题型八】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例8】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．参考数据： 【变式1】（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度约为，如图②，从直升飞机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求大庆湿地观光塔的高度．(参考数据：，，) 【变式3】（24-25九年级下·广东河源·阶段练习）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【题型九】解直角三角形的应用-方向角 【典例9】（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【变式1】（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 【变式2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据： ， ， ） 【变式3】（2025·河南商丘·二模）如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【题型十】解直角三角形的其他应用 【典例10】（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【变式2】（2025·河南郑州·三模）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据： ） 【变式3】（2025·河北石家庄·二模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳极前段下摆的自然垂直长度． (1)如图1，求遮阳篷上的B点到墙面的距离；（结果精确到米，参考数据：，，） (2)则图2，当太阳光线与地面DG的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，） 【题型01 ：解非直角三角形】 【典例1】（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【变式1】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【题型02：特殊角的三角函数值】 【典例2】（2022·河南商丘·一模）计算 ． 【变式1】（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【变式2】（2025·福建莆田·模拟预测） ． 【题型03 ：解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【变式1】某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 【题型04 ：解直角三角形的其他应用】 【典例4】（2025·广东深圳·三模）综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 【变式1】（2025·江苏苏州·二模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． (1)如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） (2)如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【题型一】锐角三角函数题 三步解题法 1.定直角:确认三角形是直角三角形，若不是，作高构造直角三角形(如作 AD L BC 于 D)。 2.定边角:明确目标角，标注其对边、邻边、斜边，避免对应错误。 3.定公式:根据所求(sin/cos/tan)选择对应的公式，代入计算;涉及特殊角直接用记忆值，非特殊角用勾 股定理先求边长。 【题型二】辅助线构造 1.非直角三角形:作高(从非直角顶点向对边作垂线)，将其分成两个直角三角形，分别利用三角函数求解。 2.含特殊角的三角形:若有 30°、45°、60°，优先构造含这些角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值简化计算。题型 3：增减性应用 【题型三】实际应用题解题步骤(斜坡、测量、航海等) 1.建模:将实际问题转化为直角三角形模型，标注已知条件(如仰角、俯角、坡度、距离) 2.转化:把实际量(如高度、距离)对应到直角三角形的边，未知量设为 。 3.计算:利用三角函数列方程，求解后检验单位是否一、结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数（5知识&10题型&4易错&3方法清单） 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【清单02】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单03】解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】（23-24九年级上·贵州铜仁·月考）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）在△ABC中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照锐角三角函数的定义求各函数值即可． 【详解】解：如图，由勾股定理可得BC= 选项A，，故错误； 选项B，，故正确； 选项C，，故错误； 选项D，，故错误； 故应选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题． 【变式2】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故C选项错误； ，故B选项错误； ，故A选项正确； ，故D选项错误； 故选A． 【题型二】已知函数值求边长 【典例2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 【变式1】（2024·广西桂林·二模）如图，一根竖直的木杆在离地面1的A处折断，木杆顶端落在地面的B处上，与地面的夹角为，若，则木杆折断之前高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键． 由题意可得，进而解答，然后求出即可． 【详解】解：由题意可知： ∵， ∴，即，解得：， ∴木杆折断之前高度为． 故答案为． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用余弦求边长，根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式求解即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】求角的函数值 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点D作交于点E，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，是边上一点（不与端点重合），过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，余角性质，由得，由勾股定理得，又由，可得，再根据正弦的定义即可求解，由余角性质得到是解关键题的． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型四】特殊角的三角函数值 【典例4】（24-25九年级下·广东深圳·期中）计算． 【答案】3 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数进行计算即可． 【详解】解：原式 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算再平方即可． 【详解】解：． 故选：A ． 【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，特殊角的三角函数值，连接，由勾股定理可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即得，再根据特殊角的三角函数值即可求解，得出为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活的运用． 【详解】解： 【题型五】解直角三角形 【典例5】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作垂足为点F，中，根据正弦的定义求解． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点F， 中，， ∴．    故选：A． 【点睛】本题考查正弦的定义，解直角三角形，掌握正弦函数的定义是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：在中， ，， ． （2）解：， ， ． ． 【题型六】解非直角三角形 【典例6】（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在中，，，夹边的长为6，求的面积．    【答案】△ABC的面积是. 【分析】作CD⊥AB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出CD和BD的长，再利用三角函数求出AD的长，最后用三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，作CD⊥AB于点D.    ∵ ∠B=45°，CD⊥AB ∴ ∠BCD=45°   ∵ BC=6    ∴ CD= 在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣45°=30° ∴      ∴ ∴ ∴ △ABC的面积是. 【点睛】本题考查了三角函数的应用以及三角形的面积，掌握特殊三角函数的值以及三角形的面积公式是解题的关键. 【变式3】（2021·江苏盐城·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米 【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可； （2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求 ，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD． 【详解】解：（1）过点作交于， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：点距离地面113厘米； （2）过点作垂直于地面于点， 过点作交于点， 过点作交于点， ∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°， ∴四边形ABGN为矩形， ∴AB=GN=84(cm)， ∵，将支杆绕点顺时针旋转， ∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°， ∴， ， ， ∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 答：长为58厘米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键． 【题型七】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例7】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，坡度、坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G，根据题意可得：，，米，米，，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G， 由题意得：，，米，米，， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， ， 解得：， （米），（米）， 米， 在中，， （米）， 米， 建筑物的高度为米． 【变式1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 【答案】(1) (2)40分钟 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作交于点C，利用直角三角形的性质求出，再证明四边形为矩形，可得，再求的长； （2）利用的正弦值，求出的长，再分段计算从山脚A处到达山顶D处需要的时间，相加即可． 【详解】（1）由题知，于点E，则， 如图，过点B作交于点C， 则， 又，， ， 由可得四边形是矩形， ， ， B，D两地的垂直高度． （2）攀登第一段斜坡所用的时间等于， ，， ， ， 攀登第二段斜坡所用的时间等于， ， 他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 【变式2】（2025·江西宜春·三模）在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面示意图上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点在斜坡上，，从点向右斜向上发射出的小球（体积忽略不计）沿抛物线的轨迹运动，解决下列问题： (1)点的坐标是______； (2)求，所满足的数量关系； 当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数解析式； (3)在点右侧处有一堵高为的墙，若要小球能碰触到墙面，求的取值范围． 【答案】(1) (2) ； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，解题的关键是会利用数形结合与方程思想解题． （1）作轴于点，设，则，利用勾股定理列式计算求得的值，即可求解； （2）将点坐标代入求解即可；再将原点坐标代入求解即可； （3）根据题意可知点，点的坐标，分别代入解析式，求解即可得的最小值和最大值． 【详解】（1）解：∵坡度为， ∴设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴点的坐标是． （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴，所满足的数量关系为． 当小球落到原点时，即抛物线经过点， ∴． 由（2）得， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数解析式为． （3）解：根据题意知点，． ∵， ∴， ∴当抛物线过点时，， 解得，； 当抛物线过点时，， 解得． 答：若要小球能碰触到墙面，a的取值范围是． 【变式3】（2025·山西吕梁·三模）2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息： ①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑； ②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角，，，坝顶米，坝底黏土宽度米，且，点，，在同一水平线上，… 请根据上述数据，计算背水坡的长．（参考数据：，，．） 【答案】25米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的性质得到，，利用求出，求出x的值，最后根据含30度角的直角三角形特征求出结果． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 则四边形为矩形． ，． 设． 在中，，． ． ． 在中， ，． ， ． ， ． 解，得． 在中， ，， （米）． 答：背水坡的长为25米． 【题型八】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例8】（2025·辽宁沈阳·三模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．参考数据： 【答案】(1)，两点的高度差为 (2)居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此计算即可得出答案； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， ，两点的高度差为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 【变式1】（2024·广东·二模）因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【详解】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）图①中的大庆湿地观光塔．某直升飞机于空中处探测到大庆湿地观光塔，此时飞行高度约为，如图②，从直升飞机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求大庆湿地观光塔的高度．(参考数据：，，) 【答案】大庆湿地观光塔的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题， 延长交于点，则，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点，则， 由题意得：米， 在中，， (米)， 在中，， (米)， (米)， 大庆湿地观光塔的高度约为米． 【变式3】（24-25九年级下·广东河源·阶段练习）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在处看塔顶，仰角为，然后向后走米（），到达处，此时看塔顶，仰角为，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点作 于点， 根据题意得： ， ， ， ， 米 在中， 米． 即该主塔的高度是 米． 【题型九】解直角三角形的应用-方向角 【典例9】（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 【变式1】（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形都是矩形，则，，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，解得，即可作答． 【详解】解：延长交于，则有， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 即， ∴， 整理得， 在中，， 即， ∴ 整理得， ∴， 解得， 则． 【变式2】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）某路段规定：汽车的最高行驶速度不得超过．如图，一辆汽车在该段道路上由西向东行驶，距离路边处有一车速检测仪，测得该车从北偏西的点行驶到北偏东的点（点，，在同一水平面内）所用时间为．试求该车从点到点的平均速度，并说明该车是否超速．（参考数据： ， ， ） 【答案】该车从点到点的平均速度为，该车超速 【分析】本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出的长是解题关键．过作于点，根据等腰直角三角形得出，进而利用三角函数解答即可． 【详解】解：如图，过作于点， 由题意得：， 在中，， ， （）， 在中，， （m）， （）， （）， ， 超速了． 答：该车从点到点的平均速度为，该车超速． 【变式3】（2025·河南商丘·二模）如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构建直角三角形，作航线于，设，根据三角函数求出、，得出的值，即可列出方程，解方程求出即可． 【详解】解：作航线于，设，如图： 可得：，， 则，， ， 即， 解得：， 故海岛距海岸线的距离约为海里． 【题型十】解直角三角形的其他应用 【典例10】（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 【变式2】（2025·河南郑州·三模）如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆一端固定在车厢上的点处，伸缩支撑杆一端固定在车厢上的点处，另一端固定在上的点处．在某次作业过程中，测得吊钩到车厢尾部点的水平距离为2米（即米)，．已知平行于地面，且距地面米，米，求此时吊钩距地面的高度．（结果精确到米．参考数据： ） 【答案】吊钩距地面的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；在中，解直角三角形求出，然后进一步计算即可． 【详解】解：由题意得：，米，米， ∴米， ∴在中，， ∴米， ∵平行于地面，且距地面米， ∴此时吊钩距地面的高度为米． 【变式3】（2025·河北石家庄·二模）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳极前段下摆的自然垂直长度． (1)如图1，求遮阳篷上的B点到墙面的距离；（结果精确到米，参考数据：，，） (2)则图2，当太阳光线与地面DG的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)遮阳棚上的点到墙面的距离约为米 (2)阴影的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）过点作于点，根据代入数据求出的值即可； （2）过点作于点，通过，求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ， ，解得：， 遮阳棚上的点到墙面的距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， 四边形为矩形． 由勾股定理得，， ． ． ， ． ， ． ，解得：．． 由（1）知，， ． ． 阴影的长约为米． 4 【题型01 ：解非直角三角形】 【典例1】（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 【变式1】（2023·天津河北·二模）如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．    【答案】/ 【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答． 【详解】解：过点D作，如图：    ∵平分， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形． 【题型02：特殊角的三角函数值】 【典例2】（2022·河南商丘·一模）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式1】（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【变式2】（2025·福建莆田·模拟预测） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数的值，负指数幂，绝对值，算术平方根，先计算各项的值，然后再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【题型03 ：解直角三角形的应用-坡度坡角】 【典例3】某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 【变式1】某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，根据斜坡的坡度，可得，，从而得到．在中，根据锐角三角函数可得，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，    ，． ∵，坡度， ∴，， ． ， ． 在中，， 即 ，则， ， 该居民楼的高度为． 【题型04 ：解直角三角形的其他应用】 【典例4】（2025·广东深圳·三模）综合与实践 主题 测量书架内侧长度 信息1 如图1，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点刚好靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上．（图2是平面示意图） 信息2 长方体档案盒的长，厚度． 信息3 借助量角器测得．（参考数据：） 问题解决 任务1 求斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长； 任务2 求书架内侧的长． 【答案】任务一：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为；任务二：书架内侧的长约为 【分析】本题考查了其他问题（解直角三角形的应用），解题关键是熟悉三角函数的定义． 任务1：利用余弦求解； 任务2：先求出，再利用正弦求出，然后列式计算出． 【详解】任务1：解：由题意可知：在中， 即， 解得：， 答：斜放档案盒底部到竖放档案盒距离的长约为． 任务2：由题意可知， ， ， 在中，， 即， 解得：， ， 答：书架内侧的长约为． 【变式1】（2025·江苏苏州·二模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． (1)如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） (2)如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， ∵， ∴． 在中，，， ， ． 【题型一】锐角三角函数题 三步解题法 1.定直角:确认三角形是直角三角形，若不是，作高构造直角三角形(如作 AD L BC 于 D)。 2.定边角:明确目标角，标注其对边、邻边、斜边，避免对应错误。 3.定公式:根据所求(sin/cos/tan)选择对应的公式，代入计算;涉及特殊角直接用记忆值，非特殊角用勾 股定理先求边长。 【题型二】辅助线构造 1.非直角三角形:作高(从非直角顶点向对边作垂线)，将其分成两个直角三角形，分别利用三角函数求解。 2.含特殊角的三角形:若有 30°、45°、60°，优先构造含这些角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值简化计算。题型 3：增减性应用 【题型三】实际应用题解题步骤(斜坡、测量、航海等) 1.建模:将实际问题转化为直角三角形模型，标注已知条件(如仰角、俯角、坡度、距离) 2.转化:把实际量(如高度、距离)对应到直角三角形的边，未知量设为 。 3.计算:利用三角函数列方程，求解后检验单位是否一、结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $