专题5.3 一次函数的意义（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本初中数学讲义聚焦一次函数的意义，系统梳理一次函数与正比例函数的概念、结构特征及区别联系，通过待定系数法求解析式的方法总结，结合实际问题中的应用实例，构建从概念理解到方法掌握再到实际应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向设计，知识梳理中的易错点拨助力学生发展抽象能力，考点讲练通过典例与变式训练培养推理意识，实际问题应用环节强化模型意识。课中辅助教师系统授课，课后通过难度分层练习帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题5.3 一次函数的意义 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数的概念 1 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 2 知识点梳理03：实际问题中的一次函数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 正比例函数的定义 3 考点2 识别一次函数 3 考点3 根据一次函数的定义求参数 3 考点4 求一次函数自变量或函数值 4 考点5 列一次函数解析式并求值 4 考点6 求一次函数解析式 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 9 知识点梳理01：一次函数的概念 1. 一次函数的概念 一般地，函数叫做一次函数. 如是一次函数，而不是一次函数. 2.正比例函数的概念 当时，一次函数就成为,叫做正比例函数，常数叫做比例系数. 【易错点拨】 (1)一次函数表达式的结构特征： ①; ②含的项的次数是1; ③常数项可以是任意实数； ④等号右边也是整式. (2)正比例函数是一次函数的特例，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. (3)一般情况下， 一次函数中自变量的取值范围是全体实数. 【易错点拨】 识别一次函数的方法 判断一个函数是否为一次函数，只要看它的表达式是否能化成的形式即可.在一次函数中，如果常数项, 那么一次函数就成为正比例函数（为常数，）. 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 1.待定系数法 在求正比例函数的解析式时,先设解析式，其中k、b待定，再利用已知条件确定k、b的值，这样的方法称为“待定系数法” 2.确定正比例函数解析式的一般步骤 (1)设：将一次函数解析式设为； (2)代:将已知的x,y的两组对应值代入，建立关于k的方程； (3)解:解这个二元一次方程组的解; (4)写:把求得的k、b值代入,写出一次函数的解析式. 知识点梳理03：实际问题中的一次函数 用函数知识解决简单的实际问题时，若题设中没 有明确说明是哪一类函数，就要通过分析题设中所给 的数量关系列出等式，整理后判断函数的类型，最后运用所求的函数表达式解决问题. 若题设中已经明确说明是正比例函数或一次函数，则可直接运用待定系数法求函数表达式，从而解决问题. 考点1 正比例函数的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）若函数是正比例函数，则 ． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 考点2 识别一次函数 【典例精讲】（2025八年级上·上海·专题练习）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 考点3 根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知是一次函数，求k的值（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【变式训练2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 考点4 求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为 ． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是的正比例函数，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 考点5 列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； (2)请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 (3)y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【变式训练2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 考点6 求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出点A关于y轴对称的点； (2)在图2中，作一条直线． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为个．乙组加工数量为个，其函数图象如图所示： (1)求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 1．（2024·安徽淮北·中考真题）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 2．（2024·广东深圳·中考真题）若是正比例函数，则的值是 ． 3．（2024·陕西西安·中考真题）已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 4．（2024·全国·中考真题）在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 5．（2024·江苏扬州·中考真题）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列函数，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列各点不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知自变量为x的函数是正比例函数，则 ，该函数的表达式为 ． 5．（25-26八年级上·上海·月考）函数是正比例函数，则的值为 ． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 7．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）若函数是一次函数，则a的值为 ． 8．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）若点、、都在直线（、为常数，且）上，求的值． 9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 10．（25-26八年级上·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，直线（k，b为常数，且）经过点和点，求该直线的函数表达式． 培优拔高 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．形如(，都是常数)是一次函数 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．直角三角形两锐角互余 D．有公共顶点的两个角是对顶角 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 15．（25-26八年级上·全国·期中）已知与成正比例，且当时，，则关于的函数表达式为 ． 16．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的函数为一次函数，则值为 ． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图是函数的图象，与轴交于点，若点，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则 ． 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中. (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标（______），（_____），（_____）； (2)在x轴上有一动点P，使最小时，P点坐标为_______. 19．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 20．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标； (3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 一次函数的意义 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数的概念 1 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 2 知识点梳理03：实际问题中的一次函数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1 正比例函数的定义 3 考点2 识别一次函数 4 考点3 根据一次函数的定义求参数 5 考点4 求一次函数自变量或函数值 6 考点5 列一次函数解析式并求值 8 考点6 求一次函数解析式 13 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 24 知识点梳理01：一次函数的概念 1. 一次函数的概念 一般地，函数叫做一次函数. 如是一次函数，而不是一次函数. 2.正比例函数的概念 当时，一次函数就成为,叫做正比例函数，常数叫做比例系数. 【易错点拨】 (1)一次函数表达式的结构特征： ①; ②含的项的次数是1; ③常数项可以是任意实数； ④等号右边也是整式. (2)正比例函数是一次函数的特例，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. (3)一般情况下， 一次函数中自变量的取值范围是全体实数. 【易错点拨】 识别一次函数的方法 判断一个函数是否为一次函数，只要看它的表达式是否能化成的形式即可.在一次函数中，如果常数项, 那么一次函数就成为正比例函数（为常数，）. 知识点梳理02：用待定系数法求一次函数的表达式 1.待定系数法 在求正比例函数的解析式时,先设解析式，其中k、b待定，再利用已知条件确定k、b的值，这样的方法称为“待定系数法” 2.确定正比例函数解析式的一般步骤 (1)设：将一次函数解析式设为； (2)代:将已知的x,y的两组对应值代入，建立关于k的方程； (3)解:解这个二元一次方程组的解; (4)写:把求得的k、b值代入,写出一次函数的解析式. 知识点梳理03：实际问题中的一次函数 用函数知识解决简单的实际问题时，若题设中没 有明确说明是哪一类函数，就要通过分析题设中所给 的数量关系列出等式，整理后判断函数的类型，最后运用所求的函数表达式解决问题. 若题设中已经明确说明是正比例函数或一次函数，则可直接运用待定系数法求函数表达式，从而解决问题. 考点1 正比例函数的定义 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则n的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正比例函数的图象与性质，解题的关键是将点的坐标代入函数解析式求解． 已知正比例函数解析式和函数图象经过的点的纵坐标，将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【规范解答】解：因为正比例函数的图象经过点， 所以将代入中，可得：， 两边同时乘以，得：． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）若函数是正比例函数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．直接利用正比例函数的定义得出答案． 【规范解答】解：函数是正比例函数， ，解得． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）下列各题中的与之间关系式中，是的正比例函数的是(   ) A．在时速为的匀速(速度不变)运动中，路程与时间之间的关系 B．圆柱的体积与它的底面半径之间的关系 C．正方形的面积与它的边长之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过的行李，超过部分每千克收取元的行李费用，则旅客需交的行李费(元)与携带行李质量()之间的关系 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正比例函数的识别，根据正比例函数的定义，为常数逐一判断各选项． 【规范解答】正比例函数需满足为常数)， 选项A：匀速运动中，路程y与时间x关系为，符合形式； 选项B：圆柱体积与半径关系为 为常数不符合； 选项C：正方形面积与边长关系为，不符合； 选项D：行李费与质量关系为，不符合． ∴只有A选项是正比例函数． 故选：A． 考点2 识别一次函数 【典例精讲】（2025八年级上·上海·专题练习）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数和正比例函数，根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：、，的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，该选项符合题意； 、是正比例函数，该选项不合题意； 、中的次数为，不是一次函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤其中一定是一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，是解题的关键．根据一次函数的定义（形如，其中），判断各函数是否一定满足条件即可． 【规范解答】解：①，，是一次函数； ②，，是一次函数； ③，不是一次函数； ④，不是一次函数； ⑤，当时，为常数函数，不是一次函数，故不一定是一次函数； 综上，一定是一次函数的只有①和②，共2个． 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是 （填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【思路点拨】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【规范解答】解：正比例函数的形式为 ，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则 ，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 考点3 根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若是关于x的一次函数，则m的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握解析式形如，这样的函数叫一次函数是解题的关键． 根据一次函数的定义得到且，据此即可求解． 【规范解答】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知是一次函数，求k的值（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，由一次函数的定义得且，解之即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故选：C． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值． 【规范解答】解：函数是一次函数， 指数满足，且系数满足， 由得，， 由得， ， 故选：． 考点4 求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数则当时，的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分段函数． 根据分段函数的定义，分别考虑和两种情况，求解方程并验证解是否满足条件． 【规范解答】解：当时，函数为， 令，得， 即， 解得或（不符合，舍去）； 当时，函数为， 令，得， 即， 解得（不满足，舍去）； 因此，当时，x的值为． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)该函数经过一点，求出的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 【规范解答】（1）解：与成正比例， ∴设， 将，代入，得， ∴ ∴，即； （2）解：∵函数经过一点， ， 解得． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是的正比例函数，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的正比例函数， ∴设． 当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点5 列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； (2)请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 (3)y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【思路点拨】本题考查轴对称图形的绘制、图形的平移以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质、平移的规律和利用轴对称找最短路径的方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、的坐标，再描点作图； （2）根据平移的规律，求出、、的坐标，再描点作图； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图：即为所作， 已知，所以点坐标为， ； （2）解：如图：即为所作， 已知， 则点坐标为，即， ； （3）解：如图：点P即为所作， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为，将和代入得： 解得，， 所以直线的解析式为， 令，则， 所以点坐标为． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【答案】(1)6 (2) 【思路点拨】本题考查了点坐标及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；掌握与轴平行的直线上的点横坐标相同是解题的关键． （1）由已知得，即可求解； （2）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 考点6 求一次函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级上·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出点A关于y轴对称的点； (2)在图2中，作一条直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点问题、坐标与图形性质等知识，将问题转化为求一次函数解析式是解答的关键． （1）连接，连接并延长交于，则点即为所求； （2）连接交x轴于点D，连接，则直线即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求； 作图依据： ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴轴，即轴， 设直线的解析式为， 将点C的坐标代入，得，则， ∴直线的解析式为， 当时，，则, ∴点A关于y轴对称的点为点； （2）解：如图，直线即为所求： 作图依据： ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴轴， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得， ∴直线的解析式为． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为个．乙组加工数量为个，其函数图象如图所示： (1)求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】(1) (2)甲组加工7小时的时候，甲，乙两组加工零件的总数为480个 【思路点拨】本题主要考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象可求出甲组工人每小时加工的零件数，进而可求出乙组工人开始工作时甲组工人加工的零件数，再根据一共加工480个零件建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设与t之间的函数关系式为， 将代入得 解得， ； （2）解：设甲组加工m小时时，甲，乙两组加工零件的总数为480个， 由函数图象可知甲组工人每小时加工个零件，且甲组工人检修机器花费小时， ∴当乙组工人开始工作时，甲组工人一共加工个零件， ∴， 解得， 答：甲组加工7小时时，甲，乙两组加工零件的总数为480个． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点为三点． (1)写出顶点三点的坐标； (2)请在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (3)若是轴上的点，要使的值最小，则的坐标是 ． 【答案】(1) (2)作图见详解， (3) 【思路点拨】本题考查图形与坐标、网格中作轴对称图形、动点最值问题、三角形三边关系、待定系数法求函数表达式、求直线与坐标轴的交点坐标等知识，数形结合，掌握网格中点的坐标的写法、点的对称及待定系数法求一次函数表达式是解决问题的关键． （1）数形结合，直接由网格中点的位置得到顶点三点的坐标； （2）在图中画出的三个顶点关于轴对称的点，连接三个顶点即可得到，数形结合，直接由网格中点的位置得到其坐标； （3）在（2）的基础上，连接，当轴上的动点在线段上时，的值最小，为线段的长，利用待定系数法求出直线的表达式，将代入表达式即可求出的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： 即为所求，则点的坐标为； （3）解：如图所示： 点与点关于轴对称， ， 则， 在中，由三角形三边关系可知，， 当轴上的动点在线段上时，的值最小，为线段的长， ，， 设， 将，代入得： ，解得， ， 是轴上的点，即点的横坐标为， 当时，，即的坐标是， 故答案为：． 1．（2024·安徽淮北·中考真题）已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 【规范解答】设 ， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 2．（2024·广东深圳·中考真题）若是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），因此 的指数为1，系数不为0，常数项为0． 【规范解答】解：∵是正比例函数， ∴ 解得 ， 故答案为：． 3．（2024·陕西西安·中考真题）已知点，在一次函数的图象上，则k 0．（填“>”或“<”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组． 通过将点坐标代入函数解析式，建立方程组，并利用相减消元法求解k的值． 【规范解答】将点，代入得： 得：， 即， 解得． 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）在平面直角坐标系中，将直线（m为常数）关于y轴对称后得到的直线经过点，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的轴对称变换，解题的关键是求出直线关于轴对称后的解析式． 将直线关于轴对称，把替换为，得对称后的直线解析式为；将点代入该解析式，列方程求解即可得到的值． 【规范解答】解：直线关于轴对称后，解析式为． 将代入，得，即，解得． 故选：B． 5．（2024·江苏扬州·中考真题）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点的坐标和用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数解析式的求法是解题的关键．根据棋子“帅”位于点的位置，求出“马”所在的点的坐标，由此解答即可． 【规范解答】解：由题意，∵“帅”位于点， ∴“马”， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 基础夯实 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列函数，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查正比例函数的定义，掌握“一次函数且无常数项”的判断标准是解题关键． 据正比例函数的定义，逐一判断选项是否符合“（，次数为）”的形式． 【规范解答】解：正比例函数的定义为（，次数为）， 选项A：，不是正比例函数，不符合； 选项B：，含常数项，不符合； 选项C：，符合形式，且，符合； 选项D：，不是正比例函数，不符合． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）下列各点不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解． 【规范解答】解：A、当 时， ， ∴ 在的图象上； B、当时，， 点在函数图象上； C、当时，， 点不在函数图象上； D、当时，， 点在函数图象上； 故选：C． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用．根据一次函数的定义判断每个语句是否满足． 【规范解答】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数； （2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数； （3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数； （4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数； 满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知自变量为x的函数是正比例函数，则 ，该函数的表达式为 ． 【答案】 3 【思路点拨】此题考查了正比例函数，根据正比例函数的定义，函数中常数项必须为零，且比例系数不为零，据此求解即可． 【规范解答】∵自变量为x的函数是正比例函数， ∴，且， ∴ ∴该函数的表达式为． 故答案为：3，． 5．（25-26八年级上·上海·月考）函数是正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，函数解析式中常数项必须为零即可解答． 【规范解答】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：． 故答案为： 6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 【规范解答】解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）若函数是一次函数，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的自变量x的指数必须为1，且系数不为零是解题关键．根据一次函数的定义，得到，且，即可求解． 【规范解答】解：若函数是一次函数， 则，且， 解得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）若点、、都在直线（、为常数，且）上，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出一次函数解析式是解题关键．将、代入，利用待定系数法求出解析式，再将代入解析式求出的值即可． 【规范解答】解：将、代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∵在直线上， ∴． 9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【规范解答】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 10．（25-26八年级上·江西九江·月考）在平面直角坐标系中，直线（k，b为常数，且）经过点和点，求该直线的函数表达式． 【答案】 【思路点拨】本题考查求一次函数的解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【规范解答】解：∵直线（k，b为常数，且）经过点和点， ∴，解得， ∴． 培优拔高 11．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【规范解答】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 12．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了求一次函数解析式，坐标与图形-轴对称变换． 分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【规范解答】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：B． 13．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．形如(，都是常数)是一次函数 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．直角三角形两锐角互余 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】C 【思路点拨】本题考查真假命题的判断，涉及一次函数定义、三角形外角性质、直角三角形性质和对顶角定义．掌握一次函数（需）；三角形的外角等于不相邻两内角和，但不一定大于相邻内角；直角三角形两锐角互余和互为对顶角的两角的边需两边互为反向延长线的定义和性质是解题关键． 【规范解答】解：A、一次函数中，都是常数且，故A选项是假命题； B、当一个三角形是钝角三角形时，钝角的外角小于与它相邻的内角，故B选项是假命题； C、根据三角形内角和定理可知，直角三角形的两个锐角之和是，所以直角三角形的两个锐角互余，故C选项是真命题； D、有公共顶点的两个角不一定是对顶角也可能是邻补角，故D选项是假命题． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【规范解答】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·期中）已知与成正比例，且当时，，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握成正比例即比值为非零定值是解题的关键． 设 （为常数且 ），再代入已知条件，求解的值，即可得到函数表达式． 【规范解答】解：根据题意，设（ 是常数且 ）， 将，代入得，，解得 ， ，即． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于的函数为一次函数，则值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【规范解答】由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图是函数的图象，与轴交于点，若点，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数求函数值、有理数混合运算等知识，熟记一次函数图象与性质、有理数相关运算法则是解决问题的关键． 先根据点在一次函数的图象上，代入横坐标求出纵坐标，再求和，利用倒序相加化简，再计算有理数乘法与减法即可得到答案． 【规范解答】解：点，，都在函数图象上， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中. (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标（______），（_____），（_____）； (2)在x轴上有一动点P，使最小时，P点坐标为_______. 【答案】(1)，，． (2) 【思路点拨】本题考查了在平面直角坐标系中作轴对称，将军饮马求最短距离等问题． （1）根据轴对称特点作出、、三个点，即可作出，并写出三个点的坐标； （2）作点A关于x轴对称点D，连接，交x轴于点P，此时值最小．利用待定系数法求出直线解析式为，把代入，即可求出P点坐标为． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，此时三个顶点的坐标 ， ． 故答案为：，，． （2）解：作点A关于x轴对称点D，连接，交x轴于点P，此时值最小． 设直线解析式为， 由题意得点，点， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， 解得， ∴P点坐标为． 故答案为： 19．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)此一次函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）解不等式即可． 【规范解答】（1）解：设一次函数解析式为， 把，；，分别代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 即自变量x的取值范围为． 20．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的图形； (2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标； (3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查图形的变换，轴对称和中心对称，最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点，再利用待定系数法，求出直线的解析式即可解答； （3）根据最短路径问题，构造平行四边形，故把点向左平移个单位长度得到，作关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：如图， 作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点． 设直线的解析式为，， ， ， 将，代入，得， ，解得，， 即． 当时，， 点的坐标为． （3）解：四边形周长，其中，为定值，所以只需使最小，即如图构造平行四边形， 把点向左平移个单位长度得到，作关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $