精品解析：辽宁省鞍山市海城市四中集团联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级上12月限时学情调查数学试卷 时间∶120分钟 总分∶120分 一、单选题 3分1030分 1. 方程解是（ ） A. B. C. ， D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． 利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 方程的解为，， 故选：C． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕某点旋转 ，判断是否能与自身重合，从而确定答案． 【详解】解：选项 A：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 B：绕某点旋转后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 C：绕某点旋转 后，不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项 D：绕其中心旋转后，能与自身重合，是中心对称图形． 故选D． 3. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，有最大值2 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，若，则在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小，若，则在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数有最小值2，当时，随增大而增大， ∴四个选项中，只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 4. 如图，点都在上，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图， ， 由圆周角定理可知，， 又四边形是圆的内接四边形， ， ． 故选：C． 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. I与R的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，；故C不正确； 当时，；当时，， 表明当时，则；故D正确； 6. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“小满”三张邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张邮票是“小满”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率计算公式进行求解即可 【详解】解：∵一共有三张邮票，“小满”邮票有一张且每张邮票被抽到的概率相同， ∴随机抽取一张邮票是“小满”的概率是， 故选C． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 7. 已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再逐一验证各选项． 【详解】解：∵方程的根为， ∴，， A．，故错误； B．，故错误； C．，故错误； D．，故正确； 故选：D． 8. 将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：∵将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线， ∴原抛物线解析式为，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 9. 如图，是的直径，弦于点．已知，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理． 连接，求出半径的长，进而可得出的长，再由于E可知是直角三角形，且，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】连接， ∵为的直径，，， ， ∴， ∴， ∵于E， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（ ） A （0，6） B. （0，8） C. （0，10） D. （0，12） 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于H．证明（AAS），推出OA=BH，，设再表示出点D坐标，再利用D在的图象上列方程，再解方程即可解决问题． 【详解】解：作轴于H． 结合题意可得：， ∴，∠ABO+∠BAO=90°， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴OA=BH，OB=， 设 而为的中点， 则 ∵点A的坐标是， 为的中点， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴ 解得：或 ， 则 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，一元二次方程的解法，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题3分515分 11. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念以及二次函数图象与坐标轴交点情况得判别式的范围；解题的关键是掌握二次函数与轴有交点得判别式大于等于0．根据二次函数定义二次项系数非0，与轴有交点，分别求解不等式取公共部分即可． 【详解】依题意得：， 解得，， 解得， 故答案为：且． 12. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高． 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式． 13. 如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，过点A作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴，设点， ∵， ∴， ∴点， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即， ∴， 即． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 15. 如图，矩形中，，，线段以点为旋转中心在平面内旋转，点的对应点为，直线交直线于．当的面积最小时，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及最值问题，找到点的运动轨迹是解题的关键； 确定点的轨迹，分情况讨论①当直线与圆相切，交点在直线上时，的面积最小；②当直线与圆相切，交点在直线的延长线上时，的面积最小，根据勾股定理和等面积法求高，即可求解． 【详解】解：①如图所示，当直线与圆相切，交点在直线上时，最小，即的面积最小， 过点作，交于点，作，交于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵线段以点为旋转中心在平面内旋转，点的对应点为， ∴， ∵直线与圆相切， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为； ②如图所示，当直线与圆相切，交点在直线的延长线上时，最小，即的面积最小， 过点作，交于点，作，交的延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵线段以点为旋转中心在平面内旋转，点的对应点为， ∴， ∵直线与圆相切， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为； 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题75分 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：，，， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法步骤并正确求解是解答的关键． 17. 为了宣传防诈骗的重要性，某小区物业在小区居民中招募志愿宣传者，现有2名男性，2名女性，共4人报名． （1）从4人中抽取1人为男性的概率是多少． （2）请用列表或画树状图的方法，求从这4人中随机挑选2人，恰好抽到2人都为男性的概率是多少． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到2人都为男性的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4人中抽取1人为男性的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到2人都为男性的结果有2种， ∴抽到2人都为男性的概率为． 18. 小明学习正比例函数和反比例函数时，见到如下“叠合”函数，其中函数图象经过，两点，请帮小明完成一下问题： （1）求该“叠合”函数的表达式； （2）如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全y关于x的函数图象； x … 1 2 3 4 … y … ______ _______ _______ _____ _______ … （3）下列结论：①该函数图象关于直线对称；②该函数图象关于直线对称；③当时，随的增大而增大；④当函数值时，x的取值范围是或．其中结论正确的是_______（填序号）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）③④ 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，叠合”函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把，代，利用待定系数法即可求解； （2）利用解析式计算填表即可，然后描点、连线画出函数的图象； （3）利用函数的图象判断即可． 【小问1详解】 解：把，代， 得：，解得：， ∴该“叠合”函数的表达式为； 【小问2详解】 令，1，2，3，4，则，0，，，， 完成表格中的数据如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 … 补全y关于x的函数图象如图： 【小问3详解】 观察图象： ①该函数图象关于直线对称，结论错误； ②该函数图象关于直线对称，结论错误； ③当时，随的增大而增大，结论正确； ④当函数值时，的取值范围是或，结论正确． 故答案为：③④． 19. 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】（1）菜地的面积能达到时的长为． （2）该片菜地最多可收获千克的菜． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． （1）设，则，依题意列方程计算即可． （2）设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【小问1详解】 设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． 【小问2详解】 设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 20. 综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）． ①求n的取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数的应用，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意得，抛物线的顶点坐标为，从而可设，再将点代入求出后即可得解； （2）①依据题意，令，则，求出的值，再根据当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求，可得此时抛物线解析式为，故可令，则，进而可以判断的范围； ②依据题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m，进而可得抛物线的解析式为，又令，求出，故可得此时抛物线解析式，最后再令，求出后即可判断得解． 【小问1详解】 解：依题意可知抛物线的顶点坐标为， ∴设 将点代入得：， 解得：， 即：抛物线的解析式为． （或写成一般式）． 【小问2详解】 解：①抛物线为， 令，则， ， （舍去）， 又当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，满足题目要求， 此时抛物线解析式为：， 令，则， ， （舍去）， 的取值范围为：， ②由题意，设喷水头向中心线沿直线滑动距离为m， 抛物线的解析式为， 又令， 或（舍去）， 此时抛物线解析式为， 再令， ， 或（舍去）， 此时喷头位置为， 的值为． 21. 如图，在中，点为边上的一个动点，过点作，交于点．连接，是的切线 （1）求证：； （2）若，，求直径的长 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由平行线的性质结合已知得出，再结合圆周角定理即可得证； （2）连接，并延长和相交于，证明得出，再结合勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线 ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，并延长和相交于， ， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，设，则，， ∵， ∴， ∴，即． 22. 在中． ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图①，当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． （2）如图②，当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． （3）如图③，当点在射线上，，，的面积为时，求的长． 【答案】（1）①；② （2）， （3）的长为4或2或 【解析】 【分析】本题考查了等腰（等边）三角形的性质、全等三角形的判定与性质及图形旋转的性质，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，结合面积公式分情况讨论． （1）①证得；②由全等及等腰直角三角形性质得； （2）证，得，； （3）分在延长线、边上两种情况，结合等边三角形性质与面积公式求． 【小问1详解】 ①解：，， ． ， ，， ． 由旋转得，， ， ．又， ， ． 故答案为：． ②解：由，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，． 理由：， ∴， ∵， ∴， ∴， （等角对等边）． 由旋转得，，且， ， ．结合，， ， ，． ∴． 【小问3详解】 解： 分两种情况讨论． 情况一：当点在边上时，作，垂足为点H． ，， 是等边三角形，，． 由（2）得，， ． 设，， ． ∴①． 又②， 联立①②解得，或， ∴的长为4或2． 情况二：当在延长线上时， 设，， ． ∴①． 又②， 将②代入①，，即， ∴（负值舍去）． ∴的长为． 综合两种情况：的长为4或2或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． （2）某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． （3）如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）点的“坐标差”是，抛物线的“特征值”是5 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． （1），故“坐标差”为，故“特征值”为 5 ； （2）由题意得：点，故点的“坐标差”相等，故点，把点的坐标代入得：，解得：，故：，故抛物线的“特征值”为，故，即可求解； （3）①“坐标差”为 2 一次函数为：，根据抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：，则，联立和，根据根与系数关系求出，再根据即可求解． ②对于图1，直线与矩形边的交点为：，则对称轴为：，解得：，对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ），即可求解． 【小问1详解】 解：∵，故“坐标差”为， ∵，， ∴当时，最大，最大值是5， 故抛物线的“特征值”为 5 ； 【小问2详解】 解：二次函数中，令，则， 则点， ∴点的“坐标差”是， ∵点的“坐标差”相等， ∴点， 把点的坐标代入得：， 解得：， 故：， ∵抛物线的“特征值”为， ， 故， 解得：， ， 故抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：①“坐标差”为 2 的一次函数为：，即， ∵抛物线的图象的顶点在上， ∴设抛物线的表达式为：， ∴， 联立和，整理得， ∴， ∴， 在中，令，，∴， ∴． ②∵抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：， 当抛物线与矩形有 3 个交点时，如图1、2， 对于图 1，直线与矩形边的交点为：， 则对称轴为：，解得：， 对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ）， 故，解得：， 故二次函与矩形的边有四个交点时，求的取值范围：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上12月限时学情调查数学试卷 时间∶120分钟 总分∶120分 一、单选题 3分1030分 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 不确定 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，有最大值2 C. 当时，随增大而增大 D. 当时，随增大而减小 4. 如图，点都在上，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. I与R的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 6. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“小满”三张邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张邮票是“小满”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将某抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦于点．已知，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（ ） A. （0，6） B. （0，8） C. （0，10） D. （0，12） 二、填空题3分515分 11. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 12. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 13. 如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 14. 如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，矩形中，，，线段以点为旋转中心在平面内旋转，点的对应点为，直线交直线于．当的面积最小时，则的长为______． 三、解答题75分 16 解方程：． 17. 为了宣传防诈骗的重要性，某小区物业在小区居民中招募志愿宣传者，现有2名男性，2名女性，共4人报名． （1）从4人中抽取1人为男性的概率是多少． （2）请用列表或画树状图方法，求从这4人中随机挑选2人，恰好抽到2人都为男性的概率是多少． 18. 小明学习正比例函数和反比例函数时，见到如下“叠合”函数，其中函数图象经过，两点，请帮小明完成一下问题： （1）求该“叠合”函数的表达式； （2）如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全y关于x的函数图象； x … 1 2 3 4 … y … ______ _______ _______ _____ _______ … （3）下列结论：①该函数图象关于直线对称；②该函数图象关于直线对称；③当时，随的增大而增大；④当函数值时，x的取值范围是或．其中结论正确的是_______（填序号）． 19. 我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠圃”：种植基地一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为 米)，另三面用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． （1）若围成的菜地面积为平方米(中间篱笆忽略不计)，求此时边的长； （2）若每平方米可收获千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 20. 综合与实践 如图①，某公园计划在喷水池的四周安装一圈可移动的喷头向中央喷水，喷出的水流呈抛物线型．若以喷水池中心为原点，水平方向为x轴，中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水流高度y（单位：m）与水流到喷水池中心的距离x（单位：m）之间的函数图象如图②所示．当水流距中心线的距离为4m时，水流最大高度为6m，此时水流刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高m． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使喷出的水形成错落有致的景观，现决定将喷水头向中心线沿直线移动，水流抛物线形状不变，使水流最高点不超过中心线．若喷水头的位置用表示（）． ①求n取值范围； ②若水流刚好喷到中心线上，且距水面高4m处，直接写出n值． 21. 如图，在中，点为边上的一个动点，过点作，交于点．连接，是的切线 （1）求证：； （2）若，，求直径的长 22. 在中． ，，点直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图①，当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． （2）如图②，当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． （3）如图③，当点在射线上，，，的面积为时，求的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． （1）求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． （2）某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． （3）如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $