12.1 命题、定义与证明 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.1 命题、定义与证明 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列句子中，属于命题的是（    ） A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角 C．将16开平方 D．负数小于正数吗？ 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 4．下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．若，则 C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．平行于同一直线的两直线平行 5．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中一定正确的是（    ） A．9的立方根是3 B．是25的平方根 C．带根号的数都是无理数 D．两个无理数的和仍是一个无理数 7．下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正 8．下列语句中是定义的是（   ） A．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 B．四边相等的四边形是正方形 C．相等的两个角是对顶角 D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式 9．下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 11．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 12．对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 14．可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 15．命题“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 16．请举出一个关于角相等的定理： ． 三、解答题（共72分） 17．（12分）有下列语句：①作直线的垂线；②相等的角是对顶角；③是无理数吗？④两直线平行，内错角相等． (1)以上语句中，属于命题的有：__________，真命题是__________，假命题是__________（填序号）； (2)把真命题改写为“如果……那么……”的形式：__________．其中，题设是__________，结论是__________． 18．（6分）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 19．（12分）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 20．（14分）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 21．（12分）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 22．（16分）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 12.1 命题、定义与证明 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D A B D D A C 题号 11 12 答案 A C 1．A 【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句． 【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句， ∴A.“垂线段最短”是陈述句，且为真； B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句； C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句； D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．D 【分析】根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选D． 【点睛】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成． 4．D 【分析】本题考查了判断命题的真假． A选项缺少两直线平行的条件；B选项忽略a与b可能互为相反数；C选项错误表述为任意两个内角之和，实际应为不相邻的两个内角之和；D选项是平行公理的推论，正确． 【详解】解：A：同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，A是假命题； B：由可知，不一定，B是假命题； C：三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角之和，C是假命题； D：平行于同一直线的两直线平行，这是平行公理的基本推论，D是真命题； 故选：D． 5．A 【分析】本题考查举反例证明假命题，根据反例满足条件，但是与结论相反，进行判断即可． 【详解】解：“若，则”是假命题的反例应满足且， 故满足题意的只有； 故选A． 6．B 【分析】本题考查平方根、立方根和无理数的概念，举反例；根据定义及举反例逐一判断各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A. 9的立方根是，原说法错误，故不符合题意； B.是25的平方根，原说法正确，故符合题意； C.，是有理数，原说法错误，故不符合题意； D.，两个无理数的和有可能是有理数，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法和乘法，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握以上概念和运算． 利用绝对值的意义，有理数的加法和乘法法则，以及倒数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.互为相反数的两个数的绝对值相等，该选项错误，不符合题意； B.当两个数都为0时，两数之积为0，该选项错误，不符合题意； C.两数之积小于0，那么两数符号相反，只根据符号相异的两个数，无法判断绝对值大小，该选项错误，不符合题意； D.互为倒数的两数之积为1，为正数，该选项正确，符合题意； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了定义，定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故原说法不正确，不是定义； B．四边相等并且四个角也相等的四边形是正方形，故原说法不正确，不是定义； C．相等的两个角不一定是对顶角，故原说法不正确，不是定义；     D．用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式，正确，是定义； 故选D． 9．A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 10．C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 11．A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 12．C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 13． 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 14． 【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当时，，但是， ∴是假命题的反例． 故答案为：． 15．真 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质1，两边都减去1，可得答案. 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， 若， 两边都减去1，得， 所以是真命题. 故答案为：真. 16．两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 17．(1)②④；④；②； (2)见解析 【分析】本题考查了命题的判断及改写，真假命题的判定，掌握命题的判定和改写方法是关键． （1）根据命题的定义：能够判断其真假的陈述句被称为命题；真假命题的定义依次判断即可； （2）根据真命题的改写形式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：①作直线的垂线，不是命题； ②相等的角是对顶角，是命题；相等的角不一定是对顶角，是假命题； ③是无理数吗？，不是命题； ④两直线平行，内错角相等，是命题；是真命题； 故答案为：②④；④；②； （2）④两直线平行，内错角相等改写为“如果……那么……”的形式： 如果两条直线平行，那么内错角相等； 题设是两条直线平行，结论是内错角相等． 18．(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 19．见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 21．同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 22．(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $