12.1.2 定理与证明 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”核心内容，通过“如何证明真命题”的问题导入，衔接已学命题知识，构建从定义、基本事实到定理的知识支架，引导学生理解证明的依据与逻辑推理过程。 其亮点在于以“探究”活动培养数学眼光，通过质数乘积猜想、三角形垂直平分线交点等实例引导观察与质疑，结合证明步骤训练数学思维中的推理能力，用规范证明过程（如直角三角形锐角互余证明）提升数学语言表达。学生能建立逻辑推理意识，教师可借助课堂练习与方法指导优化教学。

华东师大版（2024）八年级上册 12.1.2 定理与证明 新知导入 要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证。 如何证明呢？ 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词.我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义.这样的语句叫做这些名词的定义. 想想看，你还学过哪些定义？ 新知讲解 基本事实 公认的真命题。（也叫公理） 所学的基本事实有： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 一、真命题的等级 新知讲解 从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据。这样的真命题叫做定理。 定 理 基本事实 定 理 定 理 一、真命题的等级 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 基本事实 ： 新知讲解 已学的主要定理 (1) 平行线的判定定理和性质定理 (2) 三角形的内角和定理，外角和定理，外角的性质定理，三角形三边的性质定理； (3) 多边形的内角和定理，外角和定理； 一、真命题的等级 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 比如“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条基本事实的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据. 1.是真命题； 2.是用逻辑推理证明的； 3.是证明其他命题的依据. 新知讲解 发现与猜想 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3 2×3+1=7 2×3×5+1=31 2×3×5×7+1=211 于是，他根据上面的结果并利用表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定是质数，他的结论正确吗？ 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ 二、发现、猜想与证明 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 证明其他命题真假的依据 证明 二、发现、猜想与证明 发现与猜想 2×3×5×7×11+1=2311 2311是质数。 2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509 30031不是质数。 因此，这个猜想的结论是错误的。 新知讲解 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 （2） 如图所示，一位同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论: 任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 画一个钝角三角形试试看. 不正确 二、发现、猜想与证明 发现与猜想 画一个钝角三角形试试看。 钝角三角形的三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部。 因此，这个猜想的结论是错误的 新知讲解 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n边形的内角和等于（n -2) × 180°. 这个结论正确吗？ 是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 上面几个例子说明了什么问题？ 通过特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 因此： 通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。 二、发现、猜想与证明 证 明 已知事项 演绎推理 未知事项 推理的依据：已知条件、定义、基本事实、已知的定理，等式的性质和不等式的性质，等量代换； 新知讲解 二、发现、猜想与证明 示例：直角三角形的两个锐角互余 已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90° 求证：∠A+∠B=90° 证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和等于180°）， 又∵∠C=90° （已知）， ∴∠A+∠B=180°-∠C=90° （等式的性质） 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据。 新知讲解 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 例1 证明命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 已知：如图 ,直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角. 求证：∠1+ ∠2=180°. 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵a∥b（已知） ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠3+∠2=180°（邻补角的定义）， ∴ ∠1+ ∠2 = 180° （等量代换）. 译 题 想 题 证 题 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.例如“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是定理“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的推论.推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据. 1、一位同学在钻研数学题时发现： 3+2=5 32+2=11 33+2=29 34+2=83 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：3n+2一定是质数。他的结论正确吗？ 不正确。因为35+2=245=5×7×7，不是质数。 课堂练习 2、小兵学了定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，也大胆的提出猜想：n边形的一个外角等于与它不相邻的n-1个内角的和，他猜想的结论正确吗？ 不正确。因为正方形的一个外角为90°，不相邻的三个内角的和为90°×3=270°，90°≠270°。 课堂练习 【探究】定义、定理与证明的概念 【方法指导】 探究与应用 证明的一般步骤 1.审题——分清“条件”和“结论”，并画出图形； 2.译题——结合图形中的字母符号写出已知求证； 3.想题——从已知看可知，推向未知（“综合法”）；从未知看需知，靠拢已知（“分析法”），寻找推理； 4.证题——从已知出发，步步有据，因果分明,写出推理的过程. 【探究】定义、定理与证明的概念 探究与应用 例2 填写下列证明过程中的推理根据． 如图：已知AC，BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C. 求证：∠1＝∠2. 证明：∵∠A＝∠C(已知)， ∴AB∥CD( )． ∴∠ABO＝∠CDO( )． 又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知)， ∴∠1＝ ∠CDO，∠2＝ ∠ABO( )． ∴∠1＝∠2(等量代换)． 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 角平分线定义 别着急 (authorId_208376095) - 初学证明，老师一定要强调在书写证明过程中依据的重要性，要求学生把依据写在每一步证明的后面的括号内. 3、如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4=∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程： 证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵ED∥BC（已知） ∴∠5=∠2（ ） ∴∠1=∠5（等量代换） ∵∠4=∠5（已知） ∴EF∥　 　（　 ） ∴∠3=∠1（　 ） ∴∠3= （等量代换） ∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义） 两直线平行，内错角相等 BD 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 ∠4 课堂练习 【探究】定义、定理与证明的概念 【方法指导】 探究与应用 1.证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程． 2.证明的每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理． 3.等量代换、等式的性质、不等式的性质等也可以作为推理的依据. 在初学书写证明的过程时要把依据写在每一步推理后面的括号里，如例题中的“已知”、“等量代换”等． 这节课有哪些收获？ 基本事实 （公理） 证 明 定 理 证明的依据 等式的性质 不等式的性质 等量代换 课堂总结 课堂小结 课堂小结与检测 定义、定理与证明 定义 定理 证明 步骤：(1)根据题意作出图形； (2)写出已知和求证； (3)写出证明的过程. 概念 $