6.2 常用三角公式（第2课时）两角和与差的正弦，正切公式 同步练习-2025-2026学年高一上学期沪教版数学必修第二册

6.2常用三角公式（第2课时)两角和与差的正弦，正切公式 一、填空题 1.sinl5°= (用根式表示) 2.c0s105°= (用根式表示) 3.tan75°= (用根式表示) 4.已 sina-3 au) a+ 5.已知 osa=- 6.化简：sin(x+30)cosx-cos(x+30)sinr= tan 65-tan 20 7.化简：1+tan65°tan20° 8.已知tana=2,tanB=3,则tan(a+B)= 9.已知 5m(a+fA)三)sna-B=3,则sinacosB 亏cos(a+)s、11 cosa= 10.已知 14,且，B均为锐角，则cosB= 11.在△ABC中， .cosB=5 sin4-3 13,则sinC= 1 tan a= tan(a-β)= 12.已知 3,则tanB= 二、选择题 13.在△ABC中，己知tanA,tanB是方程x2+ar+a+1=0的两个实根，则此三 角形的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5 14.已知 云，元则（4 17W2 7W2 7N2 172 A.26 B.26 C.26 D.26 15.在△ABC中，若tanA=2,tanB=3,则tanC=() A.-1 B.1 C.5 D.-5 1 16.已知a,B为锐角，且 ina=5 5 sinB=10 ,则+B=() π π π 3π A.4 B.3 C.2 D.4 三、解答题 17.已知 cosB=-5 求： (1)sin(a-B): (2)cos(a+B); (3)tan(a-B): 18.化简下列各式： (1)sin(30°+x)+sin(30°-) (2)cos(r+45)cos(x-45)-sin(x+45)sin(x-45) tan25°+tan20 (3)1-tan25°tan20 19.证明下列恒等式： (1)sin(+B)sin(a-B)=sin2a-sin2B sin(a+B) =tana+tan阝 (2) cosa cos B 1 1 tan B= 20.在△ABC中，己知 n4=3, (l)求tanC的值； (2)判断△ABC的形状. sinasinB= 21.已知，B均为锐角，且满足： tana tan B-I ,求+B的值. 2 6.2常用三角公式（第2课时)两角和与差的正弦，正切公式 一、填空题 1.sinl5°= (用根式表示) 【解答】 sin15-sin(45-30)-sin 45 cos30-cos45'sin 306 4 2.c0s105°= (用根式表示) 【解答】 cos105cos(05)-cos60 cos45sin60sin4 4 3.tan75°= (用根式表示) tan75°=tan45°+tan30 =2+V5 【解答】 1-tan45°tan30° sina= 3 smot6为 4.已知 （”2,则sn(1 【解答】 sina=3 a∈0，g 4 5 2 cosa=- ,得 5 sinsinaooscosin 6 6525210510 5.已知 【解答】由 sina=3 (41+3.52+355-4 cos acosacossingsins252510 10 6.化简：sin(x+30)cosx-cos(x+30°)sinx= 【解答】 sin(x+30)cos*-cos(x+30)sin x=sin[(x+30)-]=sin30 tan65°-tan20° 7.化简：1+tan65tan20° tan65°-tan20 【解答】1+tan65tan20° =tan(65°-20)=tan45=1 8.已知tana=2,tanB=3,则tan(a+B)= tan(a+B=tana+tanB=2+3 5 5 =-1 【解答】 1-tan a tan B1-2×31-65 9.已知 in(+B)=2 sin(B)=l sin a cos B 1 sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B=- 【解答】 2, 1 sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B= 3, 2sinacosB=1+15 两式相加得： 236,所以 inacosB=5 12 cosa 10.已知 7 cos(a+B)=-11 4,且，B均为锐角，则©osB= 1 【解答】 cos=7,a为锐角，得 na=43 7 由 os(a+B)=-11 4,且a+B∈(0，π)，得 in(a+A)=5V5 14 cos B=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sin a 2 11.在△ABC中， sin cos5 5 13,则sinC= 【解答】在△ABC中，A+B+C=元，所以C=π-(A+B),sinC=sin(A+B) 3 sinA coSA=± 由 5,A为三角形内角， cos B= 5 由 13,B为三角形内角， sin B=12 13 4 cosA= 设A为锐角，则 5, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 63 65 4 1 1 an&= tan(a-β)=- 12.已知 3,则tanB= tan(a-B)= tan a-tan B 【解答】由 1+tan a tan B 1 12 -tan B 3 1+tan B 代入得： ,得tanB=l 二、选择题 l3.在△ABC中，已知tanA,tanB是方程x+axr+a+1=0的两个实根，则此三 角形的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【解答】由tanA+tanB=-a,tanA:tanB=a+l,得tan(A+B)=l,解得 A+B=π 4,故选D. π 14.己知 na=13, a∈ 17√2 7√2 7√2 17N2 A.26 B.26 C.26 D.26 ina= 【解答】由 13, 得 osa=-12 13, -sin a coscossin 4 4 26,答案为：C 15.在△ABC中，若tanA=2,tanB=3,则tanC=() A.-1 B.1 c.5 D.-5 【解答】在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-(A+B) tan C=tan[-(4+B)]=-tan(A+B) tan A+tan B 2+3 5 tan(A+B)=1-tan dtan B 1-2x3 所以tanC=-(-l)=l 答案为：B 5 16.已知a,B为锐角，且 ina=5 5 sinB=10 ,则+B=() π 2 π 3π A.4 B.3 C.2 D.4 【解答】由 ina=5 osa= 2W5 5,a为锐角，得 5 sin B=v10 10,P为锐角，得 cos B=3v10 10 √2 cos(a+B)=cosa cosB-sinasin B2 又C,B为锐角，+B∈(0，)，所以 +B=T 4,答案为：A 三、解答题 sin a = 17.已知 (1)sin(-B): (2)cos(a+B); (3)tan(a-B): 【解答】 na= 由 5, Cosa=3 5 cosB=- ,得 sin B=12 13 (1) sin(a-B)=sin a cos B-cosasin B-56 5 cos(a+B)=cosa cos B-sin a sin B=- 63 (2) 65 tan(a-B)=sin(a-B) (3) cos(a-B),先求cos(a-B) cos(a-B)-cosa cos B+sina sin33 6 65, tan(a-B)=- 33 18.化简下列各式： 6 (1)sin(30°+x)+sin(30°-x) (2)cos(x+45)cos(x-45)-sin(x+45)sin(x-45") tan25°+tan20 (3)1-tan25°tan20 【解答】 (1) sin(30°+x)+sin(30°-x)=(sin30°cosx+cos30°sinx)+(sin30°cosx-cos30°sinx) =2sin30cosx=2.1. ·cosx=Cosx 2 (2) cos(x+45)cos(x-45)-sin(x+45)sin(x-45)=cos[(x+45)+(x-45)]=cos(2x) tan25°+tan20° =tan(25°+20)=tan45°=1 (3)1-tan25tan20 19.证明下列恒等式： (1)sin(a+B)sin(a-B)=sin2a-sin2B sim(a+B）=tana+tanB (2)cosa cosB 【解答】 (1)=(sina cosB+cosasin B)(sina cos B-cosasin B) sin2 a cos2 B-cos2 a sin2 B =sin2a(1-sin2B)-(1-sin2a)sin2B sin2a-sin2a sin2 B-sin2B+sin2a sin2B =sin2a-sin'B=右边 (2) 左边 _sina cosB+cosasin B sina cosB cosasin B sina sin B cosa cos B cosa cos B cosa cos B cosa cos B =tana+tanB=右边 anA= 20.在△ABC中，已知 tanB= 3 2 (l)求tanC的值； (2)判断△ABC的形状. 【解答】(1)在△ABC中，A+B+C=π，所以C=π-(A+B) tan C=tan[-(A+B)]=-tan(A+B) 1,15 5 tan(A+B)= tan 4+tan B =3 2= 1-tan Atan B 111 3266 所以tanC=-l (2)由tan(A+B)=1,且A,B,C均为三角形内角，0<A+B<π A+B=交。A+B=5π 所 4或 4, C=π-(1+B)=元--3次3元 442 所以△ABC是钝角三角形. sinasin B=1 4 1 tan a tan B= 21.己知，P均为锐角，且满足： 3,求a+B的值. sinasinB1 【解答】由 tanc tanp=I ,得c0sc0sB3 1 1 sina sin B= 4 代入 4,得cos a cosB3,所以 cosa cosB=3 cos(@+)=cosacos p-sin asin 又a,B均为锐角，a+B∈(O,π) 所+-号或+9-号 3(舍去) 8