第3章 一次方程与方程组-2025-2026学年七年级上册数学7分钟优化课堂（沪科版·新教材）

10.n(n+2)+1=(n+1)2(n为正整数) 考点小专题4规律探索—图表规律 1.C 2.17a20a(3n+2)a 3.(3+4n) 4.解：(1)①3a+21②3a+3 (2)不能框出6个数之和为255 ①当横三竖二时，六个数为a,a+1,a+2,a+6,a+7,a+ 8,由题意，得 a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8=25,解得a=38之， 因为a是整数，所以a≠38 2； ②当横二竖三时，六个数为a,a+1,a+6,a+7,a+12,a+ 13,由题意，得 a+a+1+a+6+a+7+a+12+a+13=255, 解得a=36, 36在最后一列，因此36不可能是2×3长方形框中最小的 数，不合题意应该舍去 综上，不能用2×3的长方形框出6个数之和为255 第3章一次方程与方程组 核心知识训练1方程 1.等式2.未知数3.方程的解 4.D5.D6.D7.C 8(1)分-5=0 1 (2)x+(x+2)+(x+4)=15 9.210.202611.5x-(20-x)=88 12.15x=(x+4)(15-3) 13.50-8x=38 14.(10-x)4-0.26 15.解：(1)设买《文摘报》x份，则买《信息报》(15-x)份，根 据题意列方程，得0.5x+0.4(15-x)=7. (2)设成人票x张，则学生票(128-x)张，根据题意列方 程，得10x+10×60%(128-x)=912. 16.解：(1)把x=-1代入方程3x-1=2(x+1)-4中， 左边=-3-1=-4，右边=2×0-4=-4， 左边=右边， 所以x=-1是方程3x-1=2(x+1)-4的解； (2)把x=号代人方程5-1=3(x-2)中， 3 左边2号-1-2，右边=3×(-）-5， 左边≠右边， 所以x=号不是方程“，5-1-=3(x-2)的解 核心知识训练2等式的性质 1.加上减去b+cb-c 2.乘以除以0bcb 3.a4.c5.相等 6.C7.A8.D9.C10.C 11.+2等式的性质1 12.号550等式的性质2 13.6+34-6-26+1-号 14.215.316.-2 17.解：(1)两边都减去8，得x=-13. 1 检验：左边=8-13=-5， 右边=-5，左边=右边， 所以x=-13是原方程的解. (2)两边都诚去号，得了=分 两边都乘以3，得x=1. 检验：左边=子×1+方子 ,12 2 右边=3’ 左边=右边 所以x=1是原方程的解. (3)两边都加上8，得10x=4x+8. 两边都减去4x,得6x=8. 两边同除以6，得×=子 检验：左边=10×号-8=台， 3, 右边=4x号白左边=右边 所以x=号是原方程的解 (4④)两边都减去(5+）得-2x=2x-斗， 4 两边都减去2x,得-4x=-21 4 1 两边同除以-4，得x=6 检验：左边=-2×治5- 8 右边=2x=2×16=8 2121 左边=右边. 所以x=沾是原方程的解 18.解：由2x-1=3,得x=2.所以(x-3)2+2x(3+x)-7= (2-3)2+2×2×(3+2)-7=1+20-7=14. 19.因为m2+1≥1，所以a=3. 20.解：王聪说x=4,不正确， 理由：当a+3=0时，x为任意实数； 刘敏说法正确， 理由：当a+3=0时，x为任意实数，所以当x≠4时，这个 等式也可能成立 核心知识训练3解一元一次方程一合并同类项 1.一1整式 2.B3.B4.B5.A6.C7.B8.C 9-710.3 4 11.(1)x=-5;(2)a=-5;(3)x=12;（4)1=-1. 12.解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲的年龄是2x岁，由 题意得：2x-x=38-10,解得x=28,所以2x=56, 答：今年父亲的年龄是56岁，儿子的年龄是28岁。 13.解：设a=2k,b=3k,c=4k,依题意得2k+3k+4k=27,解 得k=3,即：a=6,b=9,c=12,代人a-2b-2c=-36. 14.解：相遇前：设经过xh,甲、乙两人相距32.5km.依题意， 得17.5x+15x=65-32.5,解得x=1. 相遇后：设从出发到相遇后共经过yh,甲、乙两人相距 32.5km.依题意，得17.5y+15y=65+32.5,解得y=3. 答：经过1h或3h,甲、乙两人相距32.5km. 核心知识训练4解一元一次方程一移项 1.符号 2.A3.B4.C5.A 6.x=27.-38.-59.-1210.411.34 1 12.(1)m=-10:(2)x=5:(3)x=g;(4)x=1. 13.解：设生产运营用水x亿立方米，则家庭生活用水(3x+ 0.6)亿立方米.依题意，得x+3x+0.6=5.8,解得x= 1.3,3x+0.6=3×1.3+0.6=4.5. 答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭生活用水 4.5亿立方米 14.解：设通讯员从离开队伍到追上队伍共用xh,根据题意得 14x-4.5=5x+4.5.解得x=1.则5x+4.5+6=15.5. 答：学校到部队的路程是15.5km. 15.解：(1)根据题中的新定义得：原式=(-2)2+2×(-2) ×3=4-12=-8: (2)根据题中的新定义化简得：1+2x=3,解得x=1, 则原式=(-2)2+2×(-2)×1=4-4=0. 16.解：(1)因为m≥20， 所以4公司付款为20×210+70(m-20)=4200+70m- 1400=(70m+2800)(元)； (2)m≥20，B公司付款为：20×210×0.8+0.8×70m= (56m+3360)(元)； 当70m+2800=56m+3360,解得m=40, 答：当购40把椅子时两公司付款一样多. 核心知识训练5解一元一次方程一去括号 1.不变号都变号 2.D3.D4.B5.B6.D 758y=m0791210.7 m-1 11)x=1:(2=号；（3)x=7;(4=号 12.解：(1)设无风时飞机的平均航速为xkm/h.由题意得 3(x+23)=3.2(x-23),解得x=713. 答：无风时这架飞机的平均航速为713km/h; (2)3(x+23)=3×(713+23)=2208(km), 答：甲、乙两机场之间的航程2208km. 13.解：(1)由题意得：6-x=2(2+7x),解得x=5 2 (2)由题意得：2+7x-(6-)=-3,解得x=日 14.解：(1)设当距离目的地xkm时，乘坐A型与B型出租车 费用一样，由题意得 10+1.2(x-3)=8+1.4(x-3),解得x=13. 答：当距离目的地13km时，乘坐A型与B型出租车费用 一样； (2)A型：10+1.2×(20-3)=30.4（元）， B型：8+1.4×(20-3)=31.8（元）， 31.8>30.4,所以乘坐A型车划算 核心知识训练6解一元一次方程—去分母 1.最小公倍数2.等式性质2 3.C4.B5.D6.A 7.12879202320+31.5103 11.(1)x=3;(2)x=-7;(3)x=2;(4)x=3. 12.解：因为1m-1=1,所以|ml=2,所以m=±2. 因为m+2≠0，所以m≠-2，所以m=2, 把m=2代入，得“52.31解得x=-子 3 3 1 13.解：设每间教室需要铺地砖的地面面积为xm2 由题意得x-20_1山+10=10，解得x=40. 5 答：每间教室需要铺地砖的地面面积40m2. 14.解：设安排x名学生制作A型模板 由题意得竖+4302=41，解得x=6 3 答：老师安排了6名学生制作A型模板. 核心知识训练7形积问题 1.D2.D 3.294.125.2106.135 7.解：设长方体盒子的高为xcm,则宽为(8+x)cm,长为(40 -2x)cm,由题意，得 2x+2(8+x)=40,解得x=6, 宽为：6+8=14(cm), 长为：40-2×6=28(cm), S表=(28×14+14×6+6×28)×2=1288(cm2). 答：长方体盒子的表面积为1288cm2. 核心知识训练8行程问题 1.A2.D3.12km/h4.35 5.解：设顺流航行的时间为xh,则逆流航行的时间为(7-x)h, 由题意得：(7.5+2.5)x=(7.5-2.5)(7-x)+10, 解得x=3. 则A、B两港口间的距离为：(7.5+2.5)×3=30(km). 答：A、B两港口间的距离是30km. 6.解：(1)设xh后两车相遇，即 48x+72x=240,解得x=2. 答：2小时后两车相遇； (2)设y小时后客车可以追上货车，根据题意有： 48(y+1)+240=72y,解得y=12. 答：12小时后客车可以追上货车 核心知识训练9储蓄问题 1.A2.B3.250004.2.5% 5.解：设周大爷准备储蓄的这笔现金是x元， 由题意得：+诗×2-1+阁 =335.5, 解得x=20000. 答：周大爷准备储蓄的这笔现金是20000元. 核心知识训练10商品销售问题 1.A2.A3.B 4.405.600元 6.解：(1)设第一次购买了x盒，则第二次购买了(70-x)盒， 依题意，得：15x+12(70-x)=960,解得x=40, 所以70-x=30. 所以第一次购买了40盒，第二次购买了30盒， 则第一批盈利：(20-15)×40=200（元）， 第二批盈利：(20×0.8-12)×30=120（元）， 所以共盈利：200+120=320（元）， 答：老板总共可以获得320元利润： (2)销售m盒销售额为：20m, 七五折销售额为40x0,75×(02）-1050-15m, 五折销售额为.40x0.5×(02）-70-10m, 所以20m+1050-15m+700-10m-960=710, 解得m=16, 答：m的值是16. 核心知识训练11和差倍比问题 1.B2.273.13(1.4+2x)=8(2.4+2x) 18 4.365.206.9 7解设号=年=号=， b 所以a=3x,b=4x,c=5x. 因为a+b+c=48, 所以3x+4x+5x=48,解得x=4, 所以a=3x=12,b=4x=16,c=5x=20 即△ABC三边的长分别为12,16,20. 8.解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销 售额分别为4x,2x,3x, 根据题意得：4x·a+2x·(a-3)+3x=2(4x+2x+3x), 7 解得a=2, 答：本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为2 考点小专题1产品配套问题 1.A2.D3.254.20 5.18(28-x)=2×12x 6.解：设甲种零件生产x天，由题意得： 2×120x=3×100(18-x),解得x=10,则18-x=8. 答：甲种零件生产10天，乙种零件生产8天 考点小专题2工程问题 1.B2.B3.4004.25.10天 6.解：设应先安排x人工作， 根据题意得%+8（ 120 2=1,解得x=4, 答：应先安排4人工作. 考点小专题3球赛积分问题 1.B2.C3.B 4.55.66.197.15 8.解：设他做对x道题，则做错(25-1-x)道题， 根据题意得：4x-（25-1-x)=81,解得x=21, 25-1-x=25-1-21=3. 答：他做对21道题，做错3道题 考点小专题4调配问题 1.解：设原来第一车间有x人，则第二车间有（子x-30人， 根据题意，得 (:+10)-(号-30-10）=60，解得x=50. 答：原来第一车间有50人 2.解：设应从第一组调x人到第二组去， 2(26-x)=22+x,解得x=10. 答：应从第一组调10人到第二组去 3.解：设乙车间x人，则甲车间(x+100)人，由题意得， x+100+50=3(x-50),解得x=150. 枚甲车间：150+100=250（人）， 答：乙车间150人，甲车间250人 4.解：设甲生产线每天生产x吨，则乙生产线每天生产(x- 5)吨， 由题意得20x+5(x+x-5)=425, 解得x=15,所以x-5=10, 甲生产线每天生产15吨，乙生产线每天生产10吨， 需用电：(20+5)×15×40+5×10×25=16250（度）， 答：完成这批加工任务需用电16250度. 考点小专题5图表问题 1.解：(1)根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升， 且每分钟上升3℃， 则关系式为：T=3t+10, 当t=21min时，T=3×21+10=73(℃). 答：21min时的温度是73℃； (2)当T=34℃时， 代入得：3t+10=34 解得t=8. 答：8min时的温度是34℃ 2.解：(1)设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进 甲种苹果(2x+15)千克， 依题意，得5(2x+15)+8x=615, 解得x=30, 所以2x+15=75. 答：水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30 千克； (2)设第二次乙种苹果按原价打y折销售 依题意，得(10-5)×75+(15×0-8）×30×3=735， 解得y=8. 答：第二次乙种苹果按原价打8折销售. 考点小专题6方案问题 1.B 2.1.5x+2.5×(12-x)=20 3.解：(1)设当运输距离为x千米时，两家公司的收费相同， 由题意得：1000+5x=500+10x,解得x=100, 答：当运输距离为100km时，两家公司的收费相同； (2)甲运输公司的收费为1000+5×1000=6000（元）， 乙运输公司的收费为500+10×1000=10500（元）， 因为6000<10500， 答：果品公司选择甲运输公司更合算， 4.解：(1)由题意可得， 300×0.9=270(元)， 答：按活动规定实际付款270元： (2)设张老师第二次购物消费为x元， 500×0.9+(x-500)×0.8=490,解得x=550, 所以第二次购物节约了：550-490=60（元）， 答：与没有促销相比，第二次购物节约了60元； (3)张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱； 理由：张老师将这两次购得的商品合为一次购买实际付款为： 500×0.9+(300+550-500)×0.8=730(元)， 张老师分两次购买实际付款为：270+490=760（元）， 因为730<760 所以张老师将这两次购得的商品合为一次购买，更省钱 考点小专题7古数学比问题 1.D2.D3.D4.D 5.3(x-2)=2x+9 6207.9813 核心知识训练12认识二元一次方程组 1.两个一2.两个两个3.D4.A5.D6.C7.6 &{62y20 9.解：(1)当2-4=0，k+2=0时，k=-2,方程为一元一次 方程； (2)当2-4=0，k+2≠0时，k=2,方程为二元一次方程 核心知识训练13二元一次方程组的解 1.未知数 2.A3.C 3 4.解：(1)①y=2x-2②y=5x-5 19 (2)0=-子5@x=y 2 5.-16.②④ 7.解：(1)20x+35y=380 (2)把x=12代入20x+35y=380,得 20×12+35y=380,解得y=4 答：乙种奖章的个数为4个； (3)把y=8代人20x+35y=380,得 20x+35×8=380,解得x=5. 答：甲种奖章的个数为5个 8.解：(1)x=1,y=1;x=1.5,y=0.5;x=3,y=-1(答案不唯 一)； (2)x=1,y=0;x=1.5,y=0.5;x=3,y=2(答案不唯一)； (3)x=1.5,y=0.5; ④{6 核心知识训练14二元一次方程组的 解法一代入消元法 1.消元代数式方程求解 2.C3.A4.D5.D 6.5y=3y-1+37.-28.89.x=2, ly=-1 10.解：)=1，(2) x=-1, 9 Ly=7; y=-2 8{5: x=3, (4)x=1 y=2 5{=4:o8 1.解：设-1=x,号+2=y, b 所双原方程可以化为{28 ①+②，得x+y=3③， 把③代入①，得y=1,把③代入②，得x=2. 所以方程组的解为厂：=2， Ly=1, 4-1=2, a 即 b +2=1, 得8=。 所以原方程组的解为=12， b=-3 -25 12.解：(1031=(-2)×1-3×5=-17： (2)因为/3-2 32 =3y-2x=-5, y龙 =3x+2y=1,xy 所以3+2=1， 13y-2x=-5, 解得化，所以x-y=2 y=-1, 核心知识训练15二元一次方程组的 解法—加减消元法 1.相加（或相减） 2.D3.B4.D5.C6.B 7.-7xy38.79.410.-2 L解子：2{： ly=-1; (8:4 12.解：(1)一消元 12 a医-i8 ②×5得10x-5y=80③， ③-①得7x=77,解得x=11, 将x=11代人②得22-y=16,解得y=6, 故原方程组的解为厂x=11, 1y=6. 13.解：(1)因为甲看错了方程①中的a,解得x=3， Ly=1, 所以=3是方程5x=y+10的解， 1y=1 所以15=b+10,解得b=5, 因为乙看错②中的6，解得二，1， ly=2, 所以=1，是方程ax-4y=-6的解， Ly=2 所以-a-8=-6,解得a=-2; (2)将a=-2,b=5代入原方程组，得 1 厂-2x-4y三-6，解 x=3’ 5x=5y+10, 1 y=3 核心知识训练16二元一次方程组的应用一积分问题 1.C2.C3.A 4673y-19 「4x+5y=52 110x+3y=54 6.解：(1)设甲队负了x场，胜了y场. +y=19:解得=6： 3y-x=33, y=13. 答：甲队负了6场 核心知识训练17二元一次方程组的应用一行程问题 「y=2x, ,60+10=2.2 1.{x 2.3x+3=440,3.7x-7y=10 13x-3y=70 4(x-y)=3y 4.解：设隧道的长度为xm,火车过隧道的速度为ym/s, 由题意可得24二+340D解得=1200， 116y=x-240②， y=60. 答：隧道长1200m,火车过隧道的速度为60m/s. 5.解：设小红的平均速度是xm/s,小丽的平均速度是ym/s. 根累高意，得00000解0 y=4. 答：小红的平均速度是6m/s,小丽的平均速度是4m/s. 6.解：设小明上坡用了xmin,下坡用了ymin,依题意得 rx+y=16, 48×云+12×六=2，解得厂x=10: Ly=6. 答：小明上坡用了10min,下坡用了6min. 核心知识训练18二元一次方程组的应用一百分率 1.B 2{i6041+10%y=5 3.解：设去年种植蜜枣的收入是x元，支出是y元， 根据题意得：(1+20%)x-(1-10%)y=12000+1400】 解得风0网 答：去年种植蜜枣的收入是42000元，支出是30000元. 4.解：(1)设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头 糟醅， 20 根据题意得： 0%x2+20%×y=36.解得{三0， r30%x+20%y=16, ly=20. 答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅； (2)设需要准备m公斤大米， 根据题意得：(m÷）×30%×80%=(40+40×2) ×30%, 解得m=37.5. 答：需要准备37.5公斤大米 核心知识训练19二元一次方程组的 应用一成分、配套 1,解：设每天配制的植物生长肥料中含甲原料x克，乙原料y 克恰好能满足需要， 根据题度得侣：1006解得0 ly=30. 答：每天配制的植物生长肥料中含甲原料20克，乙原料30 克恰好能满足需要。 2.解：设“望宇”登月服生产x套，“探索”月球车生产y辆 由题意得十初测餐得份 1y=15 答：“望宇”登月服生产40套，“探索”月球车生产15辆时， 材料恰好用完 3.解：(1)144x132y15x30y (2)由题意可得144x+132y=124800, l15x+30y=19500, 解得厂*=500， 1y=400, 故400×8000-500×1000-124800-19500=2555700（元）. 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 2555700元. 核心知识训练20三元一次方程组 1.三 2.C3.D4.A5.C6.B 7.z=3x-14 「x=2, 7 8.y=3,9.710.①②③④11.6,7,2 z=1 「x=2, rx=2, 12.解：(1){y=1, (2)y=-1, z=-1. 【z=-3. 13.解：设这个三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数 字为z r100x+10y+z-(100z+10y+x)=99. 由题意得x+y+z=14, [x+z=Y, rx=4, 解得{y=7, z=3. 答：这个三位数是473， 14.解：(1)7-a(2)77001076 (3)设m的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个 位数字为d, ra+d=7①， 由题意得b+c=7②， La+c=3(b-d)③， ①+②代人③，得2b-d=7, 当b=4时，d=1,c=3,a=6; 当b=5时，d=3,c=2,a=4 当b=6时，d=5,c=1,a=2. 满足条件的所有“七巧数”m为6431,4523,2615. 12 考点小专题8二元一次方程组的应用一运输问题 1.解：(1)设每辆甲种货车能装水泥x吨，每辆乙种货车能装 水泥y吨， :径x+=10。解得=3， 根据题意得：3x+5y=29, Y=4. 答：每辆甲种货车能装水泥3吨，每辆乙种货车能装水泥 4吨； (2)设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 根据题意得：3m+4n=35,所以m35;, 又因为m,n均为正整数， 所以{我{百或[g ln=8, 所以共有3种租车方案， 方案1：租用9辆甲种货车，2辆乙种货车； 方案2：租用5辆甲种货车，5辆乙种货车： 方案3：租用1辆甲种货车，8辆乙种货车 2.解：(1)设1辆A型车装满材料一次可运x吨，1辆B型车 装满材料一次可运y吨， 由题意得：2yB解得 ly=5. 答：1辆A型车都装满材料一次可运3吨，1辆B型车都装 满材料一次可运5吨； (2)根据题意得：3a+5b=29,因为a,b均为正整数， 所似8：支{6子 所以有2种租车方案： ①租用A型车8辆，B型车1辆，租车费为8×100+1×150 =950(元)； ②租用A型车3辆，B型车4辆，租车费为3×100+4×150 =900(元)： 因为950>900. 所以最省钱的租车方案为租用A型车3辆，B型车4辆，最 少租车费为900元. 考点小专题9二元一次方程组的应用一商品单价问题 1.解：设这名快递员每送一件的报酬为x元，每揽一件的报酬 为y元， 版据题意得：2871解得{25 y=2. 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬 是2元. 2.解：(1)设A型号的汽车进价为x万元、B型号的汽车的进 价为y万元， 则：红29：解得{18 Ly=10. 答：A型号的汽车进价为25万元、B型号的汽车进价为 10万元； (2)设A型号购买a辆，B型号购买b辆， 则：25a+10b=200, 方程的正整数解为：6=5，{816，{合 所以共有三种购买方案： ①A型号购买2辆，B型号购买15辆； ②A型号购买4辆，B型号购买10辆； ③A型号购买6辆，B型号购买5辆. 考点小专题10二元一次方程组的应用一工程问题 1.D 2.解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件， 根据题得62n0第得网 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件 3.解：1)m+=20: r8m+12n=180, (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩， 「x+y=180, +方=20，解得20， 则{x 1y=60. 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩. 考点小专题11二元一次方程组 的应用一古算术问题 1.C2.C 「y-x=4.5, 3.54. 1 5.5x+45=y,6.4+6y=48, 1x-2y=1 7x+3=y 12x+5y=38 7解：设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意得+y=35, 2x+4y=94. 解得化设， 答：笼中鸡有23只，兔有12只 第4章几何图形初步 核心知识训练1几何图形 1.(1)体(2)面平曲(3)线直曲(4)点 2.点线面体 3.同一个4.同一个 5.C6.A 7.长方6平 8.解：(1)66V+F-E=2 (2)20 (3)这个多面体面数为x+y,棱数为24，×3=36（条），根据 V+F-E=2可得，24+(x+y)-36=2,所以x+y=14. 核心知识训练2线段、射线、直线 1.一条只有两点 2.C3.B4.C 5.3直线AB,AD,EF6线段AB,AC,AD,BC,BD,CD6 射线BC,BE,CE,CF,DB,DF 6.两点确定一条直线 7.解：如图所示 B P) D 8.(1)3或1(2)6(3)3 核心知识训练3线段的比较与线段的和差 1.直尺圆规 2.A3.C4.C 5.(1)CD (2)BC CD (3)BD (4)CD 6.解：(1)如图所示，线段BQ即为所求； 91 A B (2)如图所示，线段BD即为所求 D 12 7.解：如图所示，AC=CD=a,BD=b,线段AB即为所求 a A C D E 8.解：(1)6 (2)①= ②因为BD=4AB,AB=CD,所以BC=3AB, 因为BC=12cm,所以AB=4cm, 所以AD=AB+BC+CD=4+12+4=20(cm). 核心知识训练4线段的中点 1.中点2.D3.D4.D5.1或5 6.解：(1)因为N是BC的中点，M是AC的中点，AM=1,BC=4, 所以CN=2,AM=CM=1. 所以MN=MC+CN=3: (2)因为M是AC的中点，N是BC的中点，AB=6 所以N=wMC+CW=之4C+2BC=子(4C+BC)=子B =3. 7.解：(1)在射线AF上截取AP=b,在射线PF上截取PB= a,则AB=a+b: 在射线AE上截取AQ=a,在线段QA上截取QC=b,则AC =a-b; 如图所示，AB,AC即为所求； a- E O C A PB F (2)因为AB=a+b,AC=a-b,M、N分别是AB、AC的中点， 所以AM=之AB,AN=之AC. 所以N=之(4C+MB)=之(a+b+a-6)=a 8解：①如图1，当C在线段AB的延长线上时，MN=子（60 +40)=50. y g B N C 图1 L A CM N B 图2 ②如图2，当C在线段AB上时，MN=之(60-40)=10. 核心知识训练5线段的基本事实 1.最短2.长度 3.C4.D5.B 6.两点之间，线段最短 7.解：(1)不存在.因为两点之间线段最短； (2)存在，此时点C在线段AB上，它的位置不唯一： (3)点C不一定在直线AB外，可以在线段AB的延长线上 或反向延长线上. 8.解：(1)如图所示： D (2)因为CD=BC, 22满分：120分限时：30分钟 数学·七年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 第3章 一次方程与方程组 核心知识训练1方程 一、知识梳理（每空4分，共12分） 1.含有未知数的 叫作方程 2.使方程两边相等的 的值叫作方程的解. 3.求 的过程叫作解方程 二、知识巩固（第4-7题每题5分，第8-14题每空4分，第15-16题每题24分.共108分） 4.下列各式中，是方程的是 () A-1 B.1+2=3 C.3x+y>1 D.0.3-0.2=-x 5.下列的值，是方程2(x+1)-1=2的解的是 A.-1 B. C.1 D-4 6若7-3与2互为相反数，则可列方程 () A.7x-3=2 B.7x-3=-2 C7x-3=2 D.7x-3=-号 7.(新情境·古数学)我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题.某人用 钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱.求每件物品的价格.设每件物品的价格为 x钱，根据题意，可列方程为 () A.9x-3=11x-4 B.9x-4=11x+3 C.9x+3=11x-4 D.9x+3=11x+4 8.根据等量关系列出方程 (1)x的号与5的差是它的0 (2)三个连续奇数的和为15，其中最小的奇数为x. 9.(2025·遂宁中考)已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=」 10.若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式a2-2a+2025的值为 11.(教材P94-1(3)变式)学校组织数学知识竞赛，共有20道选择题，每答对一题得5分，答错 或不答扣1分，晓丽同学得88分，设她答对的题目数量为x道，则可列方程为 12.七年级(5)班数学兴趣小组的同学一起租车秋游.预计租车费人均摊15元，后来又有4名同 学加入进来，租车费不变，结果每人可少摊3元，设原来有学生x人，可列方程为 (不要求化简). 53 13.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个 莲蓬的价格为x元，根据题意列出方程 14.先列方程，再估算出方程的解。 HB型铅笔每支0.3元，2B型铅笔每支0.5元，用4元钱买了两种铅笔共10支，还剩 0.2元，问两种铅笔各买了多少支？ 解：设买了HB型铅笔x支，则买2B型铅笔 支，HB型铅笔用去了0.3x元，2B型铅 笔用去了0.5(10-x)元，依题意得方程：0.3x+0.5(10-x)= 这里x>0,列表如下： x(支) 1 2 3 4 5 6 7 8 0.3x+0.5(10-x)(元) 4.84.64.44.24.0 3.8 3.63.4 从表中看出x= 是原方程的解。 15.(教材P93-1变式)根据题意，设未知数并列出方程： (1)《文摘报》每份0.5元，《信息报》每份0.4元，小刚用7元钱买了两种报纸共15份，他买 的两种报纸各多少份？ (2)水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人每张10元，学生可享 受六折优惠.这一天出售的成人票与学生票各多少张？ 16.(教村P94-2变式)检验下列方程后面括号里的数是不是方程的解. (1)3x-1=2(x+1)-4,(x=-1); (2)g5-1-3(x-2),(x=3. 54 满分：120分限时：30分钟 数学·七年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练2 等式的性质 一、知识梳理（每空2分，共26分） 1.等式基本性质1等式的两边都 (或 )同一个整式，所得结果仍是整式，即 如果a=b,那么a+c= ,a-C= 2.等式基本性质2等式的两边都 (或 )同一个数（除数不能为 ）,所 得结果仍是等式.即如果a=b,那么ac= a (c0). 3.等式基本性质3（对称性）如果a=b,那么b= 4.等式基本性质4（传递性）如果a=b,b=c,那么a= 5.根据等式这一性质，将一个量用与它 的量代替，称为等量代换， 二、知识巩固（第6-10题每题2分，第11-16题每空2分，第17题16分，第18-20题每题14 分.共94分)】 6.下列变形正确的是 () 人由-3x=2,得=多 B.由-2x-1=0,得x=} 2 C.由-x-3=0,得x=-3 D由7-1，得x=分 7.根据等式的性质，若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a、b应满足的条件是（ A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.a=0,b=0 8.如果ma=mb,那么在下列等式中，不一定成立的是 ( A.ma +1 =mb +1 B.ma-3 =mb -3 C. 2ma=- 2m6 D.a=b 9.下列变形不正确的是 A.若m=n,则m+3a=n+3a B.若x=y,则mx=my C.若x=y,则x=y D.若(k2+1)a=-2(k2+1),则a=-2 mm 10.用““△”“O”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a,b,c(a,bc均为正数)，现用天 平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为 () 10题图 A.如果2a=2b,那么a=b B.如果a=b,那么2a=2b C.如果a+b=b+c,那么a=c D.如果a=b,那么a+b=b+c 11.若3x-2=6,则3x=6 ,其根据是 12.若子x=10,则等式两边都除以 即都乘以 ,可得到方程的解为x= ,其根据是 55 13.若a=b,则a+3= ;4-a=;-2a+1= 14.已知5a+8b=3b+10,利用等式性质可求得a+b的值是 15.(2025·成都中考)任意给一个数x,按下列程序进行计算.若输出的结果是15，则x的值 为 输入x 乘以6 减去3 输出 15题图 16.若a+9=b+8=c+7,则(a-b)2+(b-c)2-(c-a)2= 17.(教材P96-2变式)利用等式的性质解下列方程，并检验. (1)8+x=-5 2g*+号 33 (3)10x-8=4x (4)4-2x+5=2x 18.已知2x-1=3,求(x-3)2+2x(3+x)-7的值 19.已知a(m2+1)=3(m2+1),求a的值. 20.老师在黑板上写了一个等式：(a+3)x=4(a+3).王聪说x=4,刘敏说不一定，当x≠4时， 这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由 56 满分：120分限时：30分钟 数学·七年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练3解一元一次方程—合并同类项 一、知识梳理（每空5分，共15分） 1.只含有 个未知数（元），未知数的次数是 ,且等式两边都是 的方程 叫作一元二次方程 二、知识巩固（第2-10题每题5分，第11题20分，第12-13题每题10分，第14题20分.共 105分) 2.下列方程中，是一元一次方程的是 ( A.x2-4x=3 B.3x-1=x C.x+2y=1 D.xy-3=5 3.方程6y+12y-9y=10+2+6的解为 A.y=1 B.y=2 C.y=-2 D.y=3 4方程-多-3=名-1的解为 ( A.x=-3 B=-号 C.x=3 D= 5.3a-1与1-2a互为相反数，则a等于 A.0 B.-1 C.1 D.-2 6.某种三色冰激凌45g,咖啡色、红色和白色配料的比为1：2：6，这种三色冰激凌中咖啡色、红 色和白色配料分别是多少？以下为解题过程： 如果设这种三色冰激凌咖啡色配料为xg,那么红色和白色配料分别是2xg和6xg根据题 意，得x+2x+6x=45,则x等于 ( A.2 B.3 C.5 D.7 7.如果2(3m-2n)=4,那么3(3m-2n)+2(3m-2n)-6(3m-2n)的值是 A.-4 B.-2 C.0 D.2 8.已知直角三角形周长为24，三边之比为3：4：5，则这个三角形的面积为 A.34 B.32 C.24 D.28 a b 24 9.若规定一种新运算： =ad-bc,则当 =27时，x= c d 10.在等式3×☐-2×☐=15的两个方格内分别填人一个数，使这两个数互为相反数且等式 成立.则第一个方格内的数是 11.解下列方程： (1)-3x+0.5x=2; (2)5a-2.7a-3.1a=4 57 2,13 (3)3+4*-2x=-7 4)-+后-写 12.今年父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，在父亲38岁时，儿子10岁，问今年父亲、儿子各多 少岁？ 13.已知a:b:c=2:3:4,a+b+c=27,求a-2b-2c的值. 14.甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地出发相向而行，甲的速度为17.5km/h,乙的 速度为15km/h,经过几小时，甲、乙两人相距32.5km? 58 满分：120分限时：30分钟 数学·七年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训川练4解一元一次方程—移项 一、知识梳理（每空5分，共5分） 1.把方程中某一项改变 后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项， 二、知识巩固（第2-5题每题5分，第6-11题每空5分，第12题20分，第13-16题每题10 分.共115分)】 2.方程2x-1=x移项得 A.2x-x=1 B.2x+x=1 C.2x-x=-1 D.2x+1=-1 3.解方程4x+1=3x-2时，下列移项正确的是 A.4x+3x=1-2 B.4x-3x=-2-1 C.4x-3x=2-1 D.4x+3x=-2-1 4.已知关于x的方程2x-3=3x-2+k的解是x=2,那么的值是 () A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5.若-2y与了-y0+“是同类项，则mm的值分别为 () A.2,-1 B.-2,1 C.-1,2 D.-2,-1 6.方程3x-1=x的解为 7.若代数式3x+7的值为-2，则x= 8.若9x+20等于4x-10与5的和，则x= 9.当x= 时，2x+9与3-x互为相反数. 10.已知关于x的两个方程5x-3=4x与ax-12=0的解相同，则a= 11.我国民间流传着许多趣味数学题，它们多以顺口溜的形式表述，请大家看这样的一个数学问 题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，则有 个 老头 个梨 12.解下列方程： (1)20-3m=-5m; (2)56-8x=11+x; (3)4+号=15+ (4)-5x+6+7x=1+2x-3+8x. 59 13.某市生产运营用水和家庭生活用水的总和是5.8亿立方米，其中家庭生活用水比生产运营 用水的3倍还多0.6亿立方米，问家庭生活用水和生产运营用水各多少亿立方米？ 14.一队学生从学校出发去部队军训，行进的速度是5km/h,走了4.5km后，一名通讯员按原 路返回学校报信，然后追赶队伍，通讯员的速度是14km/h,他在距部队6km处追上了队 伍，问学校到部队的路程是多少千米？（报信时间忽略不计) 15.(新隋境·新运算)规定一种新运算法则：a※b=a2+2ab,例如3※(-2)=32+2×3× (-2)=-3. (1)求(-2)※3的值； (2)若1※x=3,求(-2)※x的值 16.某校计划添置20张办公桌和一批椅子（椅子不少于20把），现从A,B两家家具公司了解 到：同一款式的产品价格相同，办公桌每张210元，椅子每把70元，A公司的优惠政策为：每 买一张办公桌赠送一把椅子，B公司的优惠政策为：办公桌和椅子都实行八折优惠 (1)若到A公司买办公桌的同时买m把椅子，则应付款多少元？ (2)若规定只能选择一家公司购买桌椅，什么情况到任一家公司购买付款一样多？ 60 满分：120分限时：30分钟 数学·七年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练5解一元一次方程—去括号 一、知识梳理（每空5分，共10分） 1.去括号法则：去掉括号和正号，括号内各项 去掉括号和负号，括号内各项 二、知识巩固（第2-6题每题5分，第7-10题每空5分，第11题20分，第12-14题每题15 分.共110分】 2.方程-2(x-1)-4(x-2)=1去括号结果正确的是 A.-2x+2-4x-8=1 B.-2x+1-4x+2=1 C.-2x-2-4x-8=1 D.-2x+2-4x+8=1 3.下列去括号正确的是 A.3a+(1-7a)=4得3a+1+7a=4 B.-4(x+1)+3=x得-4x+4+3=x C.2x+7(x-1)=-9x+5得2x-7x-7=-9x+5 D.3-[2x-4(x+1)]=2得3-2x+4x+4=2 4.方程2(2x+1)=1-5(x-2)的解为 A.x=-1 B.x=1 C.x=-2 D.x=2 5.若式子2(x-2)与式子3(4x-1)+9的值相等，则x为 A.1 B.-1 c.0 D.2 6.若方程3x+(2a+1)=x-(3a+2)的解是0，则a等于 A号 B多 c岁 D.-3 7.当x= 时，代数式3(x-1)与2(x+1)的值互为相反数. 8.关于y的方程m(y-1)=y(m≠1)的解是 9.儿子今年14岁，爸爸今年40岁， 年后，爸爸的年龄正好是儿子年龄的2倍 10.对于两个非零有理数a、b,规定a☆b=ab-(b+1),若4☆(x-2)=2x,则x= 11.解下列方程： (1)6(x-5)=-24; (2)6x-（x+2)=-3x+9; (3)4x-3(20-2x)=10; (4)3t+4(2t-3)=12-(t+4). 61 12.在风速为23km/h的条件下，一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用3h,逆风飞行同样的 航线要用3.2h,求： (1)无风时这架飞机的平均航速； (2)甲、乙两机场之间的航程 13.已知y1=6-x,y2=2+7x,解答下列问题： (1)当y1=2y2时，求x的值； (2)当x取何值时，y1比y2小-3. 14.某市的出租车因车型不同，收费标准也不同：A型车的起步价10元，3km后每千米价为1.2 元；B型车的起步价8元，3km后每千米价为1.4元（不足1km均按1km计算）. (1)当距离目的地多远时，乘坐A型与B型出租车费用一样？ (2)如果你要乘坐出租车到20k的地方，从节约费用的角度，你应该乘坐哪种型号的出 租车？ 62