专题02 一元一次方程重难点总结（寒假复习讲义）六年级数学新教材沪教版五四制

专题02 一元一次方程重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：方程的概念与等式的性质 一、方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的等式叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 二、等式的性质 等式性质1   等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 三、一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点2：一元一次方程的解法 一、移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 二、去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 三、去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点3：列一元一次方程解应用题的常见题型 一、列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 二、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）数字问题 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （3）市场经济问题 ①商品利润＝商品售价－商品成本价 ②商品利润率＝×100% ③商品销售额＝商品销售价×商品销售量 ④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 ⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。 （4）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (5)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 (6)储蓄问题 利润＝×100% 利息＝本金×利率×期数 （7）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 【考点1】一元一次方程的概念 【例1-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25六年级上·上海闵行·月考）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 【变式1-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·月考）一元一次方程的一次项是 ． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·月考）如果是方程的解，那么的值是 ． 【考点2】等式的性质 【例2-1】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【例2-2】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【变式2-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【变式2-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）若，则 ，是根据 ． 【考点3】一元一次方程及其解法 【例3-1】（25-26六年级上·上海·月考）解方程： 【例3-2】（25-26六年级上·上海·月考）解方程：． 【例3-3】（25-26六年级上·上海普陀·月考）解一元一次方程：． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【变式3-2】（2025六年级上·上海·专题练习）解方程． (1) (2) 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【考点4】一元一次方程的应用 【例4-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）沿着水流速为每小时2千米的河边，有两个城镇、，在静水中速度为每小时10千米的船，往返、之间需要5小时．求、之间的距离． 【例4-2】（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【例4-3】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【例4-4】（24-25六年级上·上海·月考）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．请根据材料的方法，通过设元列方程求出：的结果． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【变式4-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）元旦期间商店搞促销，所有商品按定价的七五折出售．一件A品牌上衣的定价是120元，一件品牌上衣的定价是180元，打折后每售出一件A品牌上衣商店仍可盈利10元． (1)一件A品牌上衣的进货价是多少元？ (2)经统计，元旦期间该商店总共卖出300件品牌上衣，200件品牌上衣，其中售出品牌上衣的毛利率是20%（已知），那么元旦期间A、两种品牌上衣的总毛利率是多少（百分号前保留一位小数）． 【变式4-4】（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 【变式4-5】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【变式4-6】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【考点5】一元一次方程与数轴综合 【例5-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【例5-2】对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【例5-3】（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． 【变式5-1】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 【变式5-2】（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【变式5-3】（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 5．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是 ． 6．（24-25六年级上·上海·期中）如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是 ． 7．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为 ．    三、解答题 8．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： (1) (2) 9．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）解方程： 10． （23-24六年级下·上海黄浦·期中）若是关于的方程的解，求代数式的值． 11．（25-26六年级上·上海·期中）一个数减去后，加上，得到的和再乘以，结果为，求这个数． 12．（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 13．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程重难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：方程的概念与等式的性质 一、方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的等式叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 二、等式的性质 等式性质1   等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 三、一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 知识点2：一元一次方程的解法 一、移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 利用移项解一元一次方程的步骤: （1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； （2）合并同类项； （3）系数化为 1. 二、去括号 解一元一次方程的步骤： 去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变. 三、去分母 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 知识点3：列一元一次方程解应用题的常见题型 一、列方程解应用题的步骤： ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 二、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: （1)和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 （2）数字问题 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 （3）市场经济问题 ①商品利润＝商品售价－商品成本价 ②商品利润率＝×100% ③商品销售额＝商品销售价×商品销售量 ④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 ⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。 （4）行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 (5)工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 (6)储蓄问题 利润＝×100% 利息＝本金×利率×期数 （7）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 【考点1】一元一次方程的概念 【例1-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）下列各式是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，掌握方程的定义是解决本题的关键． 根据方程的定义，方程是含有未知数的等式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A：，不是等式，故不是方程，不符合题意； B：，是不等式，不是等式，故不是方程，不符合题意； C：，是等式，但不含未知数，故不是方程，不符合题意； D：，是等式且含有未知数，故是方程，符合题意． 故选D． 【例1-2】（24-25六年级上·上海闵行·月考）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 【例1-3】（25-26六年级上·上海闵行·月考）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】0 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 由得或， 当时，，不符合系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故． 故答案为：0． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）下列说法正确的是（    ） A．是一元一次方程 B．是代数式 C．是方程的解 D．8是一次式 【答案】C 【知识点】代数式的概念、判断是否是一元一次方程、判断是否是方程的解 【分析】本题考查一元一次方程和代数式的概念．A选项含有二次项，不是一元一次方程；B选项含有等号，是方程不是代数式；C选项代入验证成立；D选项常数项不是一次式，即可作答． 【详解】解：A、方程不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有等号，是方程，不是代数式，故该选项不符合题意； C、当时，等式左边，等式右边，∵左边=右边，故是方程的解，故该选项符合题意； D、8是常数，没有未知数，则8不是一次式，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义，形如，含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程即为一元一次方程．据此逐项判断作答即可． 【详解】解：A、，展开计算后，不含未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、最高次数是二次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·月考）一元一次方程的一次项是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程中，一次项为作答即可． 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 【变式1-4】（24-25六年级上·上海·月考）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握整体思想是解题关键．将代入方程，解出m的值，再计算表达式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得： ， 故答案为：0． 【考点2】等式的性质 【例2-1】（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 【例2-2】（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质2 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式2-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列方程变形中，正确的是（    ） A．可变形为 B．可变形为 C．可变形为 D．可变形为 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同乘和（或除以）同一个数（除数不为），结果仍相等．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、可变形为， 故该选项不符合题意； B、可变形为， 故该选项不符合题意； C、可变形为， 故该选项不符合题意； D、可变形为， 故该选项符合题意； 故选： D． 【变式2-2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）若，则 ，是根据 ． 【答案】 等式的基本性质一 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质一，灵活运用等式的基本性质一是解决本题的关键． 由方程，通过等式的基本性质，两边同时加上，即可得到，从而填空即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1可得， ， 故答案为：；等式的基本性质一． 【考点3】一元一次方程及其解法 【例3-1】（25-26六年级上·上海·月考）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 按移项、合并同类项、系数化为的步骤进行求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【例3-2】（25-26六年级上·上海·月考）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为是解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先去括号，再移项，合并同类项，把的系数化为即可． 【详解】解： 去括号得， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 所以，原方程的解是． 【例3-3】（25-26六年级上·上海普陀·月考）解一元一次方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤解答即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 【变式3-2】（2025六年级上·上海·专题练习）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，包括含有分数系数的方程求解．熟练掌握等式的基本性质，即等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，等式依然成立，是解题的关键． （1）方程左边有分数系数和常数项，需要通过等式性质，先消去常数项，再将系数化为1来求解． （2）该方程是含有分数系数的一元一次方程，需要先合并同类项，再将系数化为1来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式3-3】（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先变形，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）移项得，则，再由绝对值的含义可得或，再解方程进行判断即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 【考点4】一元一次方程的应用 【例4-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）沿着水流速为每小时2千米的河边，有两个城镇、，在静水中速度为每小时10千米的船，往返、之间需要5小时．求、之间的距离． 【答案】24千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设、之间的距离为x千米，根据题意可求出船的顺水速度和逆水速度，再根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可． 【详解】解：设、之间的距离为x千米， 由题意得，， 解得， 答：、之间的距离为24千米． 【例4-2】（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【答案】42 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键． 设乐乐积攒的零用钱为元，则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元，继而得到，再解方程即可． 【详解】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 【例4-3】（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【答案】应先安排3个工程队单独修6天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应先安排x个工程队先修6天，根据“前6天完成的工程量+后2天完成的工程量=总工程量”列出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 【例4-4】（24-25六年级上·上海·月考）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．请根据材料的方法，通过设元列方程求出：的结果． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．设，仿照例题进行求解即可． 【详解】解：设， 则， ， 解得，， 即． ∴． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【答案】爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设小明爸爸追上小明用了，根据题意列出方程求解即可求解． 【详解】解：设爸爸追上小明用了， 依题意有， 解得． 则， 答：爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 【变式4-3】（22-23六年级上·上海杨浦·期末）元旦期间商店搞促销，所有商品按定价的七五折出售．一件A品牌上衣的定价是120元，一件品牌上衣的定价是180元，打折后每售出一件A品牌上衣商店仍可盈利10元． (1)一件A品牌上衣的进货价是多少元？ (2)经统计，元旦期间该商店总共卖出300件品牌上衣，200件品牌上衣，其中售出品牌上衣的毛利率是20%（已知），那么元旦期间A、两种品牌上衣的总毛利率是多少（百分号前保留一位小数）． 【答案】(1)80元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设一件A品牌上衣的进货价是x元，根据进价+利润=售价列出方程即可求解； （2）根据题意列出算式求出即可． 【详解】（1）解：设一件A品牌上衣的进货价是x元，根据题意得， ， 解得， 答：一件A品牌上衣的进货价是80元； （2）根据题意得： ． 答：元旦期间A、B两种品牌上衣的总毛利率是． 【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式4-4】（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 【答案】(1)一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； (2)学校选择种购买方案的总费用更低． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（）设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元，根据题意可列出关于的一元一次方程，解出即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可； 本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； （2）解：根据题意可知该学校需要支红外线测温枪和瓶消毒剂， 以方案购买时， ∵每购瓶消毒剂送支测温枪，（支）， ∴再购买支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为（元）； 以方案购买时，总费用为（元）； ∴以方案购买的费用高于以方案购买的费用， 答：学校选择种购买方案的总费用更低． 【变式4-5】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【答案】平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出平时段和谷时段的用电量，再设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元，根据本月电费金额和“谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元”列出方程求解即可．读懂题意，理解电费总金额的计算方式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：小明家平时段用电量为：(千瓦时)， 谷时段用电量为：(千瓦时)， 设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元， 则有， 解得：， ∴， 答：平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【变式4-6】（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 【考点5】一元一次方程与数轴综合 【例5-1】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． 【例5-2】对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”． 例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示－5，－3，1． (1)点B是点A到点C的______倍分点，点C是点B到点A的______倍分点； (2)点B到点C的3倍分点表示的数是______； (3)点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的2倍分点，求出x的取值范围． 【答案】(1) (2)0或3 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查两点间的距离，一元一次方程的应用，注意分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据“倍分点”的定义进行判断即可； （2）根据“倍分点”的定义进行解答； （3）根据“倍分点”的定义，分两种情况列出关于的一元一次方程，解得的值即可； 【详解】（1）解：由题意的：， ， ， ， 点是点到点的倍分点．点是点到点的倍分点， 故答案为：； （2）解：设3倍分点为，则， 若在左侧，则，不成立； 若在之间，则有， ， ， ， 点为0， 若在点右侧，则有， ， ， 所以点为3， 综上所述，点到点的3倍分点表示的数是0或3； （3）解：当2倍分点为点且点在点左侧时，取得最小值， 此时 解得：， 当2倍分点为点且点在点右侧时，取得最大值， 此时 解得， 综合两种情况，的取值范围是． 【例5-3】（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： “k类关联点”问题 素材一 在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离． 素材二 对于数轴上的三点A、B和C，如果（k为正整数），那么称点C是点A、B的“k类关联点”． 例如：如图，数轴上的点A、B、C所表示的数分别是1、3、5，因为，所以点C是点A、B的“2类关联点”．    问题 解决 任务一 已知点A表示的数是，点B表示的数是2，下列各数1、4、6所对应的点分别是、和，其中点_________是点A、B的“3类关联点”． 任务二 已知点A表示的数是，点B表示的数是，点C为数轴上一个点，如果点C是点A、B的“4类关联点”，求点C表示的数． 任务三 已知点A表示的数是1，点B表示的数是0，点C表示的数是m，如果点C是点A、B的“k类关联点”，且，求所有满足条件的m的倒数之和． 【答案】任务一：和；任务二：6或；任务三：58 【知识点】倒数、用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、倒数等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质分别求出，，，，，的值，再根据“3类关联点”的定义即可得； （2）设点表示的数为，先求出，再根据点是点、的“4类关联点”建立方程，解方程即可得； （3）先求出，则可得，再根据为正整数可得的所有可能的取值为连续整数（不含0和1），据此求和即可得． 【详解】解：任务一：∵点表示的数是，点表示的数是2，数1、4、6所对应的点分别是、和， ∴，，， ，，， ∴，，， ∴点和是点、的“3类关联点”， 故答案为：和． 任务二：设点表示的数为， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“4类关联点”， ∴， ∴，即或， 解得或， 所以点表示的数为6或． 任务三：∵点表示的数是1，点表示的数是0，点表示的数是， ∴，， ∵点是点、的“类关联点”， ∴，且，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为正整数， ∴也是整数， ∴的所有可能的取值为连续整数（不含0和1）， ∴所有满足条件的的倒数之和为 ． 【变式5-1】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 【答案】(1) (2)7 (3)1或 【知识点】相反数的定义、用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数与绝对值，两点之间的距离，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进行判断即可； （2）根据绝对值相等的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进行判断即可； （3）设这个点表示的数为，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点D、H表示的数是互为相反数时，则点D、H在原点的两侧，且到原点的距离相等， 故原点为点， 故答案为：； （2）解：∵点A、G表示的两个数的绝对值相等， ∴点为原点， ∵数轴的单位长度为1， ∴点K表示的数是7， 故答案为：． （3）解：设这个点表示的数为， ∵点I为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当该点在点和点之间时，，解得； 当该点在点右侧时，，解得； 综上：这个点表示的数是1或， 故答案为：1或． 【变式5-2】（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或； (3)表示的数是25或35或55． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出、、三点到点A和点B的距离，再根据“倍距点”的定义判断即可； （2）运动t秒后点P表示的数为，用含t的式子表示出的长，再分和两种情况，分别建立方程求解即可； （3）分三种情况：当点A是点B与点P的“倍距点”时，则，当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或，当点P是点A与点B的“倍距点”时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ，，，， ∴， ∴其中是点、的“倍距点”的是，； （2）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∴，， 当时，则， ∴或， 解方程得，解方程得； 当时，则， ∴或， 解方程得（舍去），解方程得； 综上所述，或或； （3）解：设点P表示的数为x， 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或， ∴或， 解方程得，解方程得； 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 综上所述，点P表示的数为25或35或55． 【变式5-3】（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是绝对值的定义，涉及到数轴、代数式、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据距离公式可知； （2）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； （3）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； 【详解】（1）当点在线段上时，，即， 所以当时，． 故答案为：． （2）根据题意，点不在线段上， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）设数对应的点分别是点，， ， 点在线段外， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知A、B、C 为数轴上任意三点，如果点 C 到点 A 的距离是它到点B距离的2倍，那么称点C是的2倍点． (1)如图，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C表示的数为1．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1． ∵点C到点A的距离是它到点 B 距离的2倍， ∴点C是的2倍点． ①如果点D表示的数为0，点D到点A 的距离是 ，点D到点B的距离是 ∵     ∴点D是的2倍点 ②如果点D表示的数为5，那么点A是［ ， ］的2倍点： (2)M、N为数轴上两点，点M表示的数是，点N表示的数是4．若点P在M、N之间，问：当点P表示的数为何值时，点P、M、N中恰有一个点为其余两点的2倍点？请仿照例句格式，完成说明：例句：当点P表示的数为2时，点P是的2倍点． 【答案】(1)①1，2，点D到点B的距离是它到点A距离的2倍②D，B (2)当点P表示的数为2时，点是的倍点．点P表示的数为0时，点是的倍点，点P表示的数为1时，点是的倍点或点是的倍点，说明见解析． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值方程 【分析】本题考查了数轴及“2倍点”的定义及应用，解题的关键是根据“2倍点”的定义，分情况讨论点的位置关系，结合绝对值的几何意义列方程求解． （1）①根据数轴上两点间距离公式，计算点到、的距离，再依据“2倍点”定义判断．②计算点到、的距离，根据“2倍点”定义确定． （2）设点表示的数为，分点是或的倍点、点是的倍点、点是的倍点这几种情况，结合“2倍点”定义列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，点A表示的数为，则点到点的距离是；点表示的数为，点到点的距离是． ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：1，2，点D到点B的距离是它到点A距离的2倍； ②点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． 点到点的距离是，点到点的距离是， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴点是的倍点． 故答案为：D，B； （2）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分以下几种情况讨论： 情况一：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． - 当时，展开得，移项可得，即．但因为点在、之间，所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况二：点是的倍点 根据定义，，即． 当时， 展开得， 移项可得，即， 解得． 当时， 展开得， 移项可得，即． 因为点在、之间， 所以舍去． 所以当时，点是的倍点． 情况三：点是的倍点， 根据定义，，即，化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 情况四：点是的倍点， 根据定义，，即， 化简得． 当时， 解得． 当时， 解得． 因为点在、之间， 所以舍去． 此时，点到的距离是，点到的距离是，， 所以点是的倍点． 综上，点P表示的数为2时，点是的倍点．点P表示的数为0时，点是的倍点，点P表示的数为1时，点是的倍点或点是的倍点． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 把分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【详解】解：A. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     B. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     C. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意；     D. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边=右边，∴是该方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．（25-26六年级上·上海·期中）如果关于x的一元一次方程的解是，那么t的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程．根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出t的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海·期中）数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是 ． 【答案】或/或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间距离，是解题的关键．先计算点A到点B的距离，再得到点C到点A的距离，根据点C在点A的左右两侧分别求解即可． 【详解】解：点A对应的数为，点B对应的数为4，点A到点B的距离为， 点C到点A的距离等于点A到点B距离的一半，即， 设点C对应的数为x，则，即， 所以或， 解得：或． 综上分析可知：点C对应的数为或． 故答案为：或． 6．（24-25六年级上·上海·期中）如果一个数与的差的相反数是，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、相反数的定义 【分析】本题考查相反数及一元一次方程的应用，设这个数是，根据“一个数与的差的相反数是”列出方程求解即可．正解理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：这个数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个数是． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如图所示是一个计算流程图，若输出是2，则输入x的值为 ．    【答案】5或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解题意正确列出方程求解是解题的关键．根据程序图，若，则，若，则，分别解方程即可． 【详解】解：若，则， 解得； 若，则， 解得； 综上，输入x的值为5或， 故答案为：5或． 三、解答题 8．（24-25六年级上·上海·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法为解题关键． （1）根据去括号，移项合并同类项的过程进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项的过程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 9．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将分子、分母化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．注意：去分母时都乘以分母的最小公倍数，分子要加括号． 【详解】解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 10．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方求出，据此代值计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， ∴． 11．（25-26六年级上·上海·期中）一个数减去后，加上，得到的和再乘以，结果为，求这个数． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这个数为x，根据题意列出方程，并逐步求解，先计算的值，然后通分合并同类项，最后解一元一次方程． 【详解】解：设这个数为x，根据题意，得： ， ， ， 故这个数为． 12．（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，或，或，或，． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数运算，倒数，互素，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二阶行列式的计算方式即可求解； （）根据二阶行列式的计算方式得出方程，然后解方程即可； （）根据二阶行列式的计算方式得出，又与互为倒数，则，然后根据与互素，且即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∵与互素，且， ∴，或，或，或，． 13．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 【答案】(1)两人第一次相遇的时间为5分钟 (2)①分钟；②a一定要是8的倍数 (3)每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由见解析 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设两人第一次相遇的时间为x分钟，根据两人相遇时，小明比小丽多走400米列出方程求解即可； （2）①根据二人速度不变，可知每次相遇后，下一次相遇的时间都为5分钟，则可求出第a次相遇的时间；②求出第a次相遇时两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可； （3）根据两人相遇时，小明和小丽的路程之和为400米列出方程求出每次相遇后，下一次相遇的时间，进而求出第n次相遇时，两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设两人第一次相遇的时间为x分钟， 由题意得，， 解得， 答：两人第一次相遇的时间为5分钟； （2）解：①由（1）可知出发5分钟时，两人第一次相遇，即出发5分钟小明比小丽多走400米，则第二次相遇时，小明比小丽多走800米，第三次相遇时，小明比小丽多走1200米，……第a次（a为正整数）相遇，小明比小丽多走米， ∴两人第a次相遇的时间分钟； ②由（2）7①可知，两人第a次相遇的时间的时间为分钟， ∴两人第a次相遇的时间为分钟， ∴两人第a次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴小明和小丽所走的路程都要为400的整数倍， ∴都能被400整除， ∵，， ∴和一定要是整数， ∴a一定要是8的倍数； （3）解：每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由如下： 设两人第一次相遇的时间为y分钟， 由题意得，， 解得， ∴两人第一次相遇的时间为分钟； ∵每一次相遇后到下一次相遇，二者的路程之和都为400米， ∴每一次相遇后到下一次相遇的时间都为分钟； ∴第n次相遇的时间为分钟， ∴第n次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴和是400的整倍数， ∵， ∵都是整数， ∴n一定是42的倍数， ∴每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $