专题02 数列8大重难点总结（寒假复习讲义）【寒假自学课】高二数学沪教版

专题02 数列难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：递推数列的通项求解（核心难点） 1.非常规递推模型的转化 上海高考常考非等差、等比的递推形式， 2.分类讨论与初始条件验证 知识点2 ：数列与函数、不等式的综合应用（压轴高频考点） 1.数列的函数属性分析 上海高考常将数列视为特殊函数，考查单调性、最值、周期性，难点在于数列定义域为正整数集，与连续函数的性质存在差异。 2.数列不等式的证明 这是上海高考数列压轴题的核心难点，常考放缩法，学生难以把握放缩的尺度： 放缩过度：导致不等式方向反转； 放缩不足：无法达到证明目标。 常见放缩技巧：裂项放缩、等比放缩 知识点3 ：代数推理与新定义问题（区分度考点） 1.抽象数列的性质 探究题目不给出具体通项，仅通过递推关系或数列满足的条件，要求证明数列的等差 / 等比性、有界性等，对逻辑推理能力要求极高。 2.新定义数列问题 上海高考常结合新定义（如 “等差比数列”“周期数列”“对称数列”）命题，难点在于快速理解新定义的内涵，并将其转化为常规数列知识求解。 知识点4 ： 数列极限与无穷等比数列（易错难点） 1.无穷等比数列各项和的条件 容易忽略公式的适用条件，直接代入计算导致错误。 2.数列极限的存在性判断 需结合数列的单调性和有界性（单调有界数列必有极限）分析，难点在于判断数列的有界性。 【考点1 求数列的通项】 例1（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 变式1（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则 ． 变式2（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . 变式3（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【考点2 数列的求和】 例2（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 变式1（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和 . 变式2（24-25高二下·上海·期末）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个……第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．    变式3（24-25高二上·上海·期中）设是等差数列的前项和，且，其中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点3 数列的单调性、最值、周期性】 例3（22-23高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列是公比为q的等比数列，为其n项和，则“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式2（21-22高二下·上海长宁·期中）对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为 ． 变式3（22-23高三上·上海静安·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 【考点4 数列不等式的证明】 例4（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列是公比为q的等比数列，为其n项和，则“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 变式1（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 . 变式2（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 变式3（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【考点5 抽象数列的性质】 例5（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1（23-24高二上·上海·期末）在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），其中表示不超过的最大整数，如，.已知，，（为正整数且），则等于（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 变式2（22-23高二下·上海青浦·期中）数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 变式3（21-22高三上·上海虹口·期中）已知数列满足，，且 (1)求的所有可能取值； (2)若数列单调递增，求数列的通项公式； (3)对于给定的正整数k，求的最大值. 【考点6 数列新定义问题】 例6（24-25高三上·上海·期中）已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列 为“阶弱减数列”.   现有以下两个命题： ①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件； ②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是. 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 变式1（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题： ①若数列是“梦想数列”，则常数； ②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”； ③“梦想数列”一定是等差数列. 以上3个命题中真命题的个数是（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 变式2（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 . 变式3（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【考点7 无穷等比数列各项和】 例7（23-24高三上·上海宝山·期中）等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D．2 变式1（23-24高二上·上海·期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2（22-23高二上·上海普陀·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，，则数列的各项和为 . 【考点8 数列极限的存在性】 例8（22-23高二上·上海杨浦·期末）无穷等比数列4，－2，1，，…的各项和为（    ） A． B． C．7 D． 变式1（23-24高二上·上海·期中）数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 变式2（22-23高二下·上海嘉定·期中）数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 变式3（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是 ． 2．（22-23高二上·上海普陀·期中）若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是 ． 4．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 5．（21-22高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ． 6．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则 . 7．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高二下·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 9．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ． 10．（24-25高三上·上海·期中）已知数列各项均为正整数，对任意的和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是 . 11．（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 12．（22-23高二下·上海青浦·期中）某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论： ①数列是严格增数列；②数列的前n项和满足； ③；④. 那么以上结论正确的是 （填序号） 二、单选题 13．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·上海·期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的正整数，总存在正整数，使，则的最小值为　　 A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（23-24高三下·上海松江·月考）数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（21-22高二上·上海徐汇·期末）如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、. (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求； (2)设的面积为，求. 20．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 21．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列难点总结 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：递推数列的通项求解（核心难点） 1.非常规递推模型的转化 上海高考常考非等差、等比的递推形式， 2.分类讨论与初始条件验证 知识点2 ：数列与函数、不等式的综合应用（压轴高频考点） 1.数列的函数属性分析 上海高考常将数列视为特殊函数，考查单调性、最值、周期性，难点在于数列定义域为正整数集，与连续函数的性质存在差异。 2.数列不等式的证明 这是上海高考数列压轴题的核心难点，常考放缩法，学生难以把握放缩的尺度： 放缩过度：导致不等式方向反转； 放缩不足：无法达到证明目标。 常见放缩技巧：裂项放缩、等比放缩 知识点3 ：代数推理与新定义问题（区分度考点） 1.抽象数列的性质 探究题目不给出具体通项，仅通过递推关系或数列满足的条件，要求证明数列的等差 / 等比性、有界性等，对逻辑推理能力要求极高。 2.新定义数列问题 上海高考常结合新定义（如 “等差比数列”“周期数列”“对称数列”）命题，难点在于快速理解新定义的内涵，并将其转化为常规数列知识求解。 知识点4 ： 数列极限与无穷等比数列（易错难点） 1.无穷等比数列各项和的条件 容易忽略公式的适用条件，直接代入计算导致错误。 2.数列极限的存在性判断 需结合数列的单调性和有界性（单调有界数列必有极限）分析，难点在于判断数列的有界性。 【考点1 求数列的通项】 例1（24-25高三上·上海·期中）已知数列的前项和，则数列的各项中（   ） A．所有项均是数列中的项 B．所有项均不是数列中的项 C．只有有限项是数列中的项 D．只有有限项不是数列中的项 【答案】A 【分析】根据，可求出，即可求出，将其化为形式，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列的前项和, 当时，； 当时，， 也适合，故； 则， 由于，时，，时，， 结合二次函数性质，对称轴为， 则当，，递增， 再结合数的特点知， 故数列的各项中所有项均是数列中的项， 故选：A 变式1（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据数列的项与和的关系式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 变式2（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . 【答案】 【分析】由题意可得,又,则数列是以1为首项,1为公差的等差数列,然后结合等差数列通项公式的求法求解即可. 【详解】已知数列中,,且对于任意正整数有, , ,即, 又 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列，即, 又∵,∴. 故答案为:. 变式3（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. （2）利用等比数列列式计算得解. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. （2）依题意，， 由数列的前三项依次成等比数列，得，解得， 当时，均不为0，所以. 【考点2 数列的求和】 例2（24-25高二上·上海嘉定·期中）若数列满足，（），则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用并项求和法求和即得. 【详解】数列中，，，而， 所以. 故选：C 变式1（24-25高二上·上海松江·期中）已知数列满足，且．设，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的定义得到数列是以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式进而得到，结合裂项相消法求和，即可求解. 【详解】根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 所以， 所以数列的前项和为：. 故答案为：. 变式2（24-25高二下·上海·期末）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个……第n层放个物体堆成的堆垛，则 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，写出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答. 【详解】依题意，在数列中，，，，…，， 当时，， 满足上式，因此，， 令数列的前n项和为， 则， 所以． 故答案为： 变式3（24-25高二上·上海·期中）设是等差数列的前项和，且，其中，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系可求得. （2）由（1）得的通项公式，再由前n项和的定义写出的表达式，最后通过裂项相消法求出. 【详解】（1）由题意得，根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系， 当时，， 当时，， 又当时，满足的通项公式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 所以， 所以数列的前项和 . 所以数列的前项和. 【考点3 数列的单调性、最值、周期性】 例3（22-23高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【答案】C 【分析】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果. 【详解】数列, 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故此时有最大项为； 当时，，， ， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故此时有最小项为， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C 变式1（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列是公比为q的等比数列，为其n项和，则“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 因为，所以当时，，， 所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，充分性成立； 当q=-1时，当n为偶数时，， 当n为奇数时，， 所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，但此时，必要性不成立， 所以“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 变式2（21-22高二下·上海长宁·期中）对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为 ． 【答案】1090 【分析】确定，数列从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】，故，由题意得数列从第二项起连续四项成等比数列， ， 则数列前21项的和为． 故答案为： 变式3（22-23高三上·上海静安·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用与的关系，得出递推关系式，证明数列为等比数列，再求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，根据数列通项特征，利用错位相减法求出数列的和． （3）利用（2）的结论，找出算式最大值利用恒成立问题求出参数的范围． 【详解】（1）各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列． 则：①， 当时，，解得：． 当时，②， ①②得：，整理得：， 所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列． 所以：． （2）由于：，所以，则， 所以①， ②， ①②得：， 解得：． （3）设， 则：， 当，2，3时，， 当时，，即， 故的最大值为1， 不等式对一切正整数恒成立，只需即可， 故：，解得：或， 所以的取值范围是：． 【考点4 数列不等式的证明】 例4（20-21高二上·上海浦东新·期中）已知无穷数列是公比为q的等比数列，为其n项和，则“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 因为，所以当时，，， 所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，充分性成立； 当q=-1时，当n为偶数时，， 当n为奇数时，， 所以存在，使得对一切n∈N*恒成立，但此时，必要性不成立， 所以“”是“存在，使得对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 变式1（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 变式2（23-24高二上·上海闵行·期中）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可得首项和公比， （2）根据等差求和公式，将问题转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求解最值即可求解. 【详解】（1）设公比为，且， 由可得，解得， 所以，， （2）由于，所以，故，因此为等差数列，且公差为1，故， 由得， 进而可得对任意的恒成立， 令,则， 记，当且仅当时等号成立，但由于，，而，，， 所以，故， ，则 因此，故, 即的最小值为， 变式3（23-24高二上·上海·期末）已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且. (1)求和的通项公式； (2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和； (3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设的公比为，的公差为，根据已知条件求出可得答案； （2）根据和的通项公式可得数列中项的特点，由等差数列求和公式可得答案； （3）求出数列的通项公式，分组求和可得，可转化为对任意的都成立，求出的最小值可得答案. 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 因为且，所以，， 解得，， 所以，； （2），， 因为数列是正偶数构成的等差数列，数列除首项外，其余项都是的倍数， 所以数列的前50项和； （3）因为，， 所以 ， 由得， 即对任意的都成立， 因为，，等号取不到， 当时，，当时，， 所以正数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 【考点5 抽象数列的性质】 例5（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而确定，即可得解. 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 又当，所以， 即，即， 所以的最小值为， 故选：A. 变式1（23-24高二上·上海·期末）在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），其中表示不超过的最大整数，如，.已知，，（为正整数且），则等于（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 【答案】A 【分析】根据题意写出数列前几项并找出其周期规律，进而求解即可. 【详解】因为，，（为正整数且）， 所以， ，所以， 同理可得，， 所以周期为，由，得. 故选：A 变式2（22-23高二下·上海青浦·期中）数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 【答案】 【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出，即可根据周期性得出答案. 【详解】由已知可得，，，，， ，，， 所以，是以6为周期的数列. 又， 所以，. 故答案为：5. 变式3（21-22高三上·上海虹口·期中）已知数列满足，，且 (1)求的所有可能取值； (2)若数列单调递增，求数列的通项公式； (3)对于给定的正整数k，求的最大值. 【答案】(1)-6，-2，0 (2) (3) 【分析】（1）由递推关系即可求出的所有可能取值； （2）由题意可知数列的偶数项，，，…，…是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为负数，即可得到结果； （3）由（2）知，不能同时为负数，分为奇数时，为偶数时，k为奇数时，k为偶数时，讨论即可得出答案. 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或1， 当时，或；当时，或（舍）， 所以的值可以取-6，-2，0； （2）解：由题设可得数列的偶数项，，，…，…是单调递增数列， 根据条件，，∴对成立， 下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”， 假设数列中存在､同时为非负数，∵， 若，则有，与条件矛盾； 若，则有，与条件矛盾， ∴假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数，此时对成立， ∴当时，，即，， ∴，， ∴ 即，其中，即，其中，又， ∴是以，公差为1的等差数列， ∴； （3）解：记. 由（2）的证明知，，不能都为非负数，当，则， 根据，得到，∴， 当则， 根据，得，∴， ∴总有成立， 当为奇数时，，∴，的奇偶性不同，则， 当为偶数时，， 当k为奇数时，， 考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，，…， 可以验证，所给的数列満足条件，且∴的最大值为0. 当k为偶数时，， 考虑数列：0，-1，1，-2，2，…，，，，…， 可以验证，所给的数列满足条件，且， ∴的最大值为. 【点睛】本题考查数列得性质和应用，解题时要注意归纳总结能力得培养，考查了转化能力和运算能力，难度较大. 【考点6 数列新定义问题】 例6（24-25高三上·上海·期中）已知数列为无穷数列，若正整数满足：对任意的正整数，均有，则称数列 为“阶弱减数列”.   现有以下两个命题： ①数列为无穷数列且（为正整数），则是数列是“阶弱减数列”的充分条件； ②数列为无穷数列且（为正整数），则存在，使得数列是“阶弱减数列”的充要条件是. 那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】分别证明①是真命题，②是假命题，即可得到答案. 【详解】下面证明：①是真命题，②是假命题. 对于①，若，则 . 若，由可得，故，从而 . 所以只要，就一定有，所以①是真命题. 对于②，由于当时，对任意的都有 . 故不是“阶弱减数列”，从而②的充分性不成立，所以②是假命题. 综上，①是真命题，②是假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解弱减数列的定义，只有理解了定义，方能解决相应的问题. 变式1（22-23高二下·上海奉贤·期末）已知数列，设（n为正整数）.若满足性质Ω：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题： ①若数列是“梦想数列”，则常数； ②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”； ③“梦想数列”一定是等差数列. 以上3个命题中真命题的个数是（    ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分析条件，可得，可判断①；先验证，，时，､､成等差数列，再令，，，得数列的前项和的表达式，从而求得数列的通项公式，可判断②③. 【详解】对于①， ，所以，，故①正确； 对于②③，令，，， 所以，，即：､､成等差数列， 令，，， ， 化简为：， 两式相减得： 所以，，当时也成立. 综上可得，“梦想数列”必是等差数列，故③正确，故②不正确. 故选：B. 变式2（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知集合，.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 . 【答案】36 【分析】先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 【详解】设，，则 . 由得，化简得， ，解得：（舍去）或. 又，且，所以，所以． 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时. ①当时，.由可知，则满足； ②当时，，为等差数列项数，且. 由，即，解得. 因为，且，所以，所以 得满足条件的最小值为. 综上所述，使得成立的n的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，先由已知求出的范围，进而得出的范围，进而求解即可. 变式3（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的求和公式及新定义求出首项与公比即可得解； （2）根据等差数列及新定义求出首项就公差即可得出通项公式； （3）假设数列是M数列，根据（1）（2）可推出，矛盾，即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若，则由题意得，得， 由得或， 若，由题意得，，得，不可能， 综上所述，， 或 （2）设等差数列的公差为， ， ，， 即，当时，与数列的条件矛盾; 当时，据数列的条件得，， ，即，由得， 即， ； 当时，同理可得，即， 由得，即，， 综上所述，当时，， 当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，即， 若存在，使，由前面的证明过程知： ， 且， 若数列为数列，记数列的前项和为， 则，， 又， ，， 又，， ， 又与不能同时成立， 数列不为数列. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 【考点7 无穷等比数列各项和】 例7（23-24高三上·上海宝山·期中）等比数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列求和公式可得，再结合无穷等比数列和公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 所以. 故选：D. 变式1（23-24高二上·上海·期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，分、，结合等比数列的求和公式进行讨论，即可得答案. 【详解】解：设无穷等比数列公比为， 当时，，不满足题意； 当时，， 则， 若，则， 则有，此时； 若，则， 则有，此时； 综上，. 故选：C. 变式2（22-23高二上·上海普陀·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，，则数列的各项和为 . 【答案】 【分析】根据题意先求得等比数列的公比为，进而得，再求极限即可. 【详解】解：因为， 所以，等比数列的公比不等于，故设等比数列的公比为， 所以，， 所以，，解得， 所以，， 因为数列为无穷等比数列， 所以，数列的各项和为 故答案为： 【考点8 数列极限的存在性】 例8（22-23高二上·上海杨浦·期末）无穷等比数列4，－2，1，，…的各项和为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】确定，，则，再求极限得到答案. 【详解】等比数列，，则， 故无穷等比数列的各项和为. 故选：A 变式1（23-24高二上·上海·期中）数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据无穷项等比数列求和公式列方程即可求解. 【详解】因为数列是首项为，公比为的无穷等比数列且，所以， 又，化简得，即， 解得或（舍去），则. 故答案为：. 变式2（22-23高二下·上海嘉定·期中）数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则 . 【答案】 【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案. 【详解】因为数列是首项为 ，公比为m的无穷等比数列，且， 由，可得，化简得 ， 即 解得或 (舍去)，则 ， 故答案为：. 变式3（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)， 【分析】（1）利用迭代思想结合计算器，即可求近似值； （2）利用均值不等式来证明，再用数列的递推法来证明单调性即可； （3）利用给的通项关系式，来构造成等比数列来求通项，最后求极限值. 【详解】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明：由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性； （2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项. 一、填空题 1．（23-24高二上·上海·期末）已知无穷等比数列满足：，则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，再利用无穷等比数列和的公式得到与，解方程组即可得解. 【详解】因为无穷等比数列，，则，①， 所以是首项为，公比为的等比数列， 又，则②， 由①②可得，③， 由②③可得，，, 故的通项公式为. 故答案为：. 2．（22-23高二上·上海普陀·期中）若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】分类讨论即可求得a的取值范围. 【详解】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立 显然数列单调递增，令，故 ，得 当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立 显然数列单调递增，令，故 ，得 综上所述： 故答案为： 3．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 4．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 【答案】 【分析】由已知变形可得，可知数列是首项为，公比也为的等比数列，可求出的通项公式，进而可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的首项，且（为正整数），则， 且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故， 所以，，则， 所以，数列为等差数列，故. 故答案为：. 5．（21-22高二上·上海静安·期末）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列的性质得出，，再结合等差数列前项和与等差中项求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 又数列的前项和有最大值， 所以数列是递减的等差数列， 所以，，又， 所以，， 所以的最大值为20． 故答案为：20. 6．（24-25高三上·上海·期中）数列满足：为正整数，，若，则 . 【答案】 【分析】利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，从而利用数列的周期性即可得解. 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，由任意性可得数列为等比数列，求出公比及前项和即可得解. 【详解】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由题意得出，结合累加法可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 9．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 ． 【答案】25 【分析】根据等比数列的定义写出其通项公式，指对互化得出，即可根据并项求和法得出的式子，再代入不等式求解即可. 【详解】是首项为3且公比为的等比数列， ，则， 即有， 当为偶数时， 则， 当为奇数时，为偶数， 则， 则， 要满足不等式，则为奇数， 此时，解得：， 则满足不等式的最小正整数的值为， 故答案为：25. 10．（24-25高三上·上海·期中）已知数列各项均为正整数，对任意的和中有且仅有一个成立，且.记.给出下列四个结论.①不可能是等差数列；②中最大项为；③不存在最大值；④的最小值为34.其中所有正确结论的序号是 . 【答案】③④ 【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出最小值判断④作答. 【详解】对于①，当时,由得,由得, 于是与仅只一个为1,即, 因此数列不能是等差数列,①错误; 对于④，令,依题意,与均为整数,且有且仅有一个为1(即隔项为1), 若,则, , 而,因此, 当且仅当数列为时取等号, 若,则 ,, 而, 因此, 当且仅当数列为时取等号, 从而的最小值为34,④正确; 对于②，当时,取, 数列为:,满足题意, 取中最大的项不为,②错误; 对于③，由于的任意性,即无最大值,因此不存在最大值,③正确, 所以所有正确结论的序号是③④. 故答案为:③④. 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 11．（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】依题意得，从而判断数列是单调递增数列，进而可判断数列各项的符号，由此可得结果. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 12．（22-23高二下·上海青浦·期中）某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为.在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论： ①数列是严格增数列；②数列的前n项和满足； ③；④. 那么以上结论正确的是 （填序号） 【答案】②③ 【分析】根据数列的特征以及递推公式，即可判断①；由已知可得，累加法即可得出②；，变形可得时，，然后累加，即可得出③；举例，验证，即可判断④. 【详解】对于①，由题意可知，，，. 由已知，则当时，单调递增. 所以，时，由已知可知，单调递增，且. 所以数列在时，为严格增数列. 但是该数列的前三项不满足，故①错误； 对于②，当时，有 ， ， ， ， ， ， 两边同时相加可得，， 所以，，故②正确； 对于③，由已知可得，， ， ， ， 两边同时相加可得，，故③正确； 对于④，当时，左边为，右边为，显然不成立，故④错误. 所以，结论正确的是②③. 故答案为：②③. 【点睛】关键点点睛：由递推公式推得，，进而累加法，逐项相消即可得出. 二、单选题 13．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，则，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为为无穷等比数列，，设数列的公比为， 则，所以，可得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 且，此时，且， 所以. 因为 所以，时等号成立； 即的取值范围为. 故选：B. 14．（23-24高二上·上海·期末）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的正整数，总存在正整数，使，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求得，令，化简得到，由，得，，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质能求出结果． 【详解】由题意得， 则，即， 令，得，即，① 即， ，，，即， ，，代入①，得， 当时，， ， 即，， ， 当或时，的最小值为． 故选：D． 15．（24-25高二下·上海·期中）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令求出，进而令，求出，①正确； 假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误； 逻辑分析及反证可得，③④正确. 【详解】对于①，当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 对于②，若为等差数列，则，解得：， 将代入， 故不是等差数列，②错误； 对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 对于④，假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 16．（23-24高三下·上海松江·月考）数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再取一个单调递增函数，按给定的条件使方程有正整数解的函数个数即可判断. 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一的正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求 （2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论． 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为． 由，可得， 解得，则 （2）由，可得 即 (*) 当时，成立； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，且为奇数时，显然(*)式不成立； 当时，且为偶数时，设， ， 即，可得(*)式不成立． 综上所得，． 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用化简，易得结论； （2）通过（1）求出，进而求出，再利用裂项相消的方法求数列的前项和. 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 19．（21-22高二上·上海徐汇·期末）如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、. (1)设第次被剪去等边三角形面积为，求； (2)设的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果； （2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答案 【详解】（1）解：由题意可得， 设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）解：由已知得的面积， 所以的面积为， 所以. 20．（24-25高二下·上海普陀·期末）定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. (1)若，试举反例说明数列不是数列； (2)若，证明:数列是数列； (3)设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 【答案】(1)说明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的性质，结合新定义的条件，即可判断； （2）首先计算，再结合二次函数的最值，即可说明； （3）首先判断数列的单调性，再求数列的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列； （2）由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. （3）因为， 所以当即时，，此时数列单调递增 当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 21．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，其中，. 【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式； （2）由（1）可得，后由数列单调性结合项的正负性可得的最小值； （3）可求得，后由可得 ，后比较相关系数可得答案. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为. 则由题有：，. 故； （2）由（1）可得， 则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到， 则，即求的最小值为； （3） . 因，则若，可得 .注意到 ， 则恒成立，从而可得 ； . 则存在常数，，使恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项，前n项和，及数列中的恒成立问题. 本题难点在于第三问，关键需整理出关于，的等式，后通过比较系数可得关于，的方程. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $