第04讲 双曲线（4大知识点+8种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第04讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2.通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力； 3．初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围.； 5.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题. 知识点01．双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线； (2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在； (3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点02．双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 3.，，三者的关系为．且 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点03．求双曲线方程的方法 方法 内容 已知条件或适合题型 定义法 通过对条件的分析，根据定 义确定轨迹是双曲线，求出 并写出方程． 已知的值或动点满足 待定系数法 由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数 已知双曲线上某点的坐标 或焦点坐标或焦距 相关点法 ①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程 ①已知动点满足某种规律； ②已知动点与已知曲线上 的动点之间的关系 知识点04．双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 考点01. 利用双曲线定义求方程. 1．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 2．（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 5．（23-24高二上·上海·期末）在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 考点02. 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题. 1．（23-24高二·上海·课后作业）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且，则（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 5．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 考点03. 根据方程表示双曲线求参数的范围. 1．（2023·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（20-21高二上·上海杨浦·期末）设方程表示双曲线，则实数的取值范围是 ． 3．（21-22高二·上海·课后作业）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 考点04. 根据双曲线方程求a、b、c. 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）双曲线的虚轴长为 . 2．（21-22高一下·上海青浦·期末）已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 5．（21-22高二下·上海杨浦·阶段练习）已知点到等轴双曲线上的点的最短距离为，求此双曲线的标准方程． 考点05. 求双曲线的焦点坐标和焦距. 1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知双曲线方程，下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．离心率为 C．焦距为10 D．渐近线方程 2．（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 3．（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 5．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 考点06. 双曲线的对称性与等轴双曲线. 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 2．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 3．（24-25高二上·上海·课前预习）类比椭圆性质的学习过程，我们可以从哪些角度探究双曲线的性质呢？ 4．（22-23高二下·上海静安·期末）类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 5．（2022·上海·二模）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 . 考点07. 双曲线的渐近方程. 1．（21-22高二·全国·课后作业）与双曲线共渐近线且一个焦点为的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 考点08. 双曲线的离心率相关问题. 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·上海青浦·期中）双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为 ． 5．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 1．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．（24-25高二上·上海·期中）曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 6．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 7．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 8．（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 10．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为 . 11．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，且，则点的轨迹方程是 . 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为 . 16．（24-25高二上·上海·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 . 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 18．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 19．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 20．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 21．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2.通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力； 3．初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围.； 5.会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题. 知识点01．双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 对于双曲线的定义，有以下理解: 在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若，为双曲线的左、右焦点，则有如下两种情形: (1)若点满足(>0)，则点在双曲线的左支上． (2)若点满足(>0)，则点在双曲线的右支上． 补充讲解：(1)若，即，则根据平面几何知识，当时，动点的轨迹是以为端点方向向右的一条射线，当时，动点的轨迹是以为端点方向向左的一条射线； (2)若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故此时动点的轨迹不存在； (3)特别地，当2=0时，，根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段的垂直平分线． 知识点02．双曲线的标准方程 1． 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 2. 焦点在轴上的双曲线的标准方程为(>0，>0)，焦点分别是，． 3. ，，三者的关系为．且 其中a与b的大小关系:可以为 在双曲线的标准方程中，长度分别为，，的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，如图所示． 补充讲解：(1)标准方程中的两个参数和确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件． (2)焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若的系数为正，则焦点在轴上；若的系数为正，则焦点在轴上． (3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式． (4)双曲线的标准方程的特征是(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为()，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法． 椭圆与双曲线的比较如下表： 椭圆 双曲线 定义 与的关系 的关系 标准方程 或 或 图象 焦点在轴上 焦点在轴上 知识点03．求双曲线方程的方法 方法 内容 已知条件或适合题型 定义法 通过对条件的分析，根据定 义确定轨迹是双曲线，求出 并写出方程． 已知的值或动点满足 待定系数法 由已知条件确定双曲线的类型，设方程，代入已知数据，求待定系数 已知双曲线上某点的坐标 或焦点坐标或焦距 相关点法 ①确定动点满足的等量关系，列出方程；②建立动点坐标与中间变量之间的关系，消去后得到方程 ①已知动点满足某种规律； ②已知动点与已知曲线上 的动点之间的关系 知识点04．双曲线的相关性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 补充讲解：1．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 2．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 3．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 4．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为，当时交点在x轴，当时焦点在y轴上 6.准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 位置关系： 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线 7．焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点 当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 当双曲线焦点在y轴上时， 过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时： 8．通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式，得到 考点01. 利用双曲线定义求方程. 1．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 2．（23-24高二上·上海·期中）点到点的距离之差为，到轴、轴距离之比为，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 【分析】通过题意，可判断点的轨迹为双曲线，求出双曲线的方程，再通过比值关系求出范围. 【详解】设点，由题意，即①， 三点不共线，， 因为， ，所以点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上， ②， ①代入②，解得：， ，，， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 4．（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解． 【详解】∵，，∴， ∵，∴由正弦定理得，即，， 所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)． 该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 5．（23-24高二上·上海·期末）在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据条件，利用正弦定理进行角转边，得到，从而得出点在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，进而可求出结果. 【详解】设动点，由题知，， 又，由正弦定理可得，， 所以点在以为焦点，即，实轴长为2，即的双曲线的右支上， 所以， 又构成三角形，故点与不共线，即点不能在轴上， 所以动点的轨迹方程为.    考点02. 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题. 1．（23-24高二·上海·课后作业）双曲线的左､右焦点分别是､，过的弦AB与其右支交于A､B两点，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得． 【详解】由题可得， 则的周长为. 故选：C． 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、余弦定理解三角形 【分析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义及，求出、，再分别在、中利用余弦定理，即可得到，从而求出，即可得解. 【详解】解：双曲线，则，因为且， 所以，，设，则， 在中，即①， 在中，即②， 所以①②得，则， 又，解得，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解. 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、余弦定理解三角形 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 考点03. 根据方程表示双曲线求参数的范围. 1．（2023·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、探求命题为真的充要条件 【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果. 【详解】∵表示双曲线， ∴. ∴是表示双曲线的充要条件. 故选：C. 2．（20-21高二上·上海杨浦·期末）设方程表示双曲线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线的方程与系数的关系可求得实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线，则. 故答案为：. 3．（21-22高二·上海·课后作业）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据顶点或实虚轴关系求参数、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程特点，利用实虚轴的数量关系列方程求参数m即可. 【详解】由题设，，可得. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（　　） A．1 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】分类讨论焦点的位置结合双曲线的定义计算即可. 【详解】由已知得双曲线的焦距， ①当双曲线的焦点在x轴上时， 由题意可得，解方程可得或，但和不满足不等式，故无解； ②当双曲线的焦点在y轴上时， 由题意可得，解方程得或， 但当时不能满足，故， 综合①②可得， 故选：A． 考点04. 根据双曲线方程求a、b、c. 1．（22-23高二下·上海长宁·期中）双曲线的虚轴长为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的方程求出，进而求解结论． 【详解】双曲线的方程为：， 可得， 双曲线的虚轴长为：． 故答案为：． 2．（21-22高一下·上海青浦·期末）已知双曲线的左右两个焦点分别是，双曲线上一点满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】首先根据可判断点只能在左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线中，，，，因为， 所以点只能在左支上，则，得， 故答案为：18 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知向量垂直求参数 【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可． 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 4．（23-24高二上·上海奉贤·期中）以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据椭圆方程求出双曲线的顶点、焦点坐标即可得解. 【详解】由椭圆知，双曲线顶点坐标为，， 焦点坐标为， 故所求双曲线方程可设为， 又，所以， 故所求的双曲线方程为：. 故答案为： 5．（21-22高二下·上海杨浦·阶段练习）已知点到等轴双曲线上的点的最短距离为，求此双曲线的标准方程． 【答案】或. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线 【分析】设是等轴双曲线上的点，表示出的表达式，结合二次函数性质，讨论a的范围，确定最小值，可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等轴双曲线上和的最短距离为的点一定在双曲线的右支上， 故设是等轴双曲线上的点，即 , 则 ， 当 时，当 时，取得最小值, 即有最小值，最小值为 , 于是有 ，解得 ， 此时双曲线的标准方程为 ； 当时，当时，取得最小值, 则有最小值，最小值为 于是有 因为，所以解得 ， 此时双曲线的标准方程为： ， 绿上所述：双曲线的标准方程为 或. 考点05. 求双曲线的焦点坐标和焦距. 1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知双曲线方程，下列说法中正确的有（    ） A．焦点坐标 B．离心率为 C．焦距为10 D．渐近线方程 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求得，然后根据离心率和渐近线的知识求得正确答案. 【详解】由双曲线方程，得， 焦点在轴，所以焦点坐标，A选项错误； 所以离心率，B选项正确； 焦距为，C选项正确； .渐近线方程为，D选项错误， 故选：BC 2．（24-25高二上·上海松江·期中）设P是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线的焦点坐标、双曲线定义的理解 【分析】利用双曲线的定义与性质计算即可. 【详解】由双曲线方程可知，双曲线的右顶点， 显然，所以P在双曲线左支上， 故. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求a、b、c、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【答案】实半轴长2，虚半轴长，焦点坐标为，，顶点坐标为， 【难度】0.5 【知识点】求双曲线的顶点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的焦点坐标 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出要求问题即得. 【详解】把方程化为标准方程， 因此该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，． 5．（2024·上海闵行·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦距、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、用定义求向量的数量积 【分析】由双曲线的对称性可得四边形为平行四边形，根据双曲线的定义和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可. 【详解】双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距， 由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形， 令，则，由双曲线定义可知， 故有，即，即，， 中，由余弦定理， ， 即，得， . 故答案为：4. 考点06. 双曲线的对称性与等轴双曲线. 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】双曲线的对称性 【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【详解】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 2．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 【答案】/-0.5 【难度】0.94 【知识点】等轴双曲线、已知点到直线距离求参数 【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出. 【详解】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故， 因为，故， 又，故. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课前预习）类比椭圆性质的学习过程，我们可以从哪些角度探究双曲线的性质呢？ 【答案】答案见解析 【难度】0.94 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中x、y的取值范围 【分析】略 【详解】类比椭圆性质的学习过程， 可以从范围、对称性、顶点、轴、焦距、焦点、离心率等角度探究双曲线的性质． 4．（22-23高二下·上海静安·期末）类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为 ． 【答案】关于轴对称，， 【难度】0.85 【知识点】由方程研究曲线的性质、双曲线中x、y的取值范围、圆的对称性的应用、双曲线的对称性 【分析】根据有意义得出的范围，再根据的范围得出的范围；分别以代，以代，及以代，代，判断与原方程的关系即可得出对称性． 【详解】由得， 因为， 所以，即， 在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称； 以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称； 以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形， 故答案为：关于轴对称，，． 5．（2022·上海·二模）已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意可得AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点，四边形为矩形，然后由双曲线的定义可得，由勾股定理可得，再由三角形ABF的面积为，可得，三式相结合可求得，从而可得，进而可求得渐近线方程 【详解】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F， 所以AB为直径的圆的方程为，圆也过左焦点， 因为与相等且平分， 所以四边形为矩形，所以， 设，则， 所以， 因为 所以， 因为三角形ABF的面积为， 所以，得 所以，得， 所以，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 考点07. 双曲线的渐近方程. 1．（21-22高二·全国·课后作业）与双曲线共渐近线且一个焦点为的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】设所求的双曲线方程为，由题可知，，且，解之即可． 【详解】解：设所求的双曲线方程为，即， 因为焦点为在轴上， 所以，所以双曲线方程为，且， 所以，双曲线方程为． 故选：B． 2．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、求双曲线的切线方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则曲线C的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的一条渐近线可得，根据双曲线的焦点与椭圆的焦点重合可得，解方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为, 由一条渐近线方程为，可得① 椭圆的焦点为，可得② 由①②可得, 即双曲线的方程为, 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据垂直求直线的方程，联立直线方程求点的坐标，表示，利用得到的关系，即可求出双曲线离心率. 【详解】由题意得，，渐近线方程为. 因为，所以直线的方程为. 由得，即， 由得，即， 所以， ， 因为，所以，整理得， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 5．（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【难度】0.45 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、已知方程求双曲线的渐近线、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据双曲线方程利用点差法求得直线的斜率表达式，再根据各点坐标以及中点坐标公式得出直线方程，与双曲线方程联立根据判别式判断方程根的个数可得结论. 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线弦中点问题时，经常利用点差法由中点坐标求得弦所在直线的斜率或直线方程，即可得出相应结论. 考点08. 双曲线的离心率相关问题. 1．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】双曲线离心率大小与双曲线形状的关系、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决． 【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，； 根据双曲线的开口越大离心率越大，则． 所以， 故选：A． 2．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】因为直线与圆切于点，则， 又，所以，    所以为的中点，而为中点，于是，有， 且，则，令双曲线焦距为，由， 得，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A 3．（23-24高二上·上海·阶段练习）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求共离心率的双曲线的标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 14．（23-24高二下·上海青浦·期中）双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又离心率，所以，则或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】对勾函数求最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 1．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出，由此即可得解. 【详解】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线平面，直线平面，且．若P是平面上一动点，且点P到直线m、n的距离相等，则点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】立体几何中的轨迹问题、判断方程是否表示双曲线 【分析】画图分析，根据题意建立等量关系即可得到点的轨迹是双曲线. 【详解】如图： 不妨设n在平面α内射影为b，则m与b相交，m与b垂直， 设直线n与平面α的距离为d， 则在平面α内，以m为x轴，b为y轴建立平面直角坐标系， 则P到m的距离为，P到b的距离为，从而P到直线n的距离为 所以，即，故轨迹为双曲线． 故选：C． 4．（24-25高二上·上海·期中）曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、判断直线与圆的位置关系 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线. 当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期末）双曲线的渐近线是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【详解】双曲线的渐近线是， 故答案为： 6．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期中）若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】双曲线中的定值问题 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【详解】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期中）等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】由等轴双曲线的对称轴为直线，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出和的值，可得出结果. 【详解】等轴双曲线的对称轴为直线， 联立得或， 故双曲线的顶点坐标为：和， 故，所以， 所以焦点坐标是和， 所以等轴双曲线（，为常数）在第一象限的焦点坐标是. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 10．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点， 连接，则，由双曲线方程为， 可得，又为右支上的一动点，所以， ，所以，所以， 由题意可知，又, 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合直线与圆相切的几何关系，进行线段长度的转化. 11．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 12．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，且，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用坐标求向量的模、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】利用向量的模公式及双曲线的定义，结合双曲线焦点在轴上的方程即可求解. 【详解】由题意，，， 所以，， 又因为， 所以， 所以与定点，的距离之差为4，等于两定点间的距离，符合双曲线的定义，是双曲线的一支 则. 则点的轨迹方程是 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 15．（24-25高二上·上海·阶段练习）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为 . 【答案】1 【难度】0.45 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求点到直线的距离、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的离心率为，由求得m，从而得到焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为双曲线C：的离心率为， 所以，解得， 所以焦点坐标为：， 渐近线方程为：， 所以焦点到渐近线的距离为：， 故答案为：1 16．（24-25高二上·上海·期中）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案. 【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为， 记边上的切点分别为， 由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又. 则，又，则，即. 同理可得，的内切圆也与轴相切于点. 连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接， 过点作，记垂足为，则. 设直线倾斜角为，则. 在四边形中，注意到，又四边形内角和为， 则，在中，， ， 则， 则直线斜率，即. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析 (2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用 【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论； 设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 经过口时最短距离：， 经过口时最短距离：． 因为, 所以经过入口运送较近． （2）设点，已知 ，可得 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 18．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）利用离心率求解即可，（2）利用是等边三角形，得到，（3）由知，故．联立双曲线和直线的方程结合韦达定理求解即可. 【详解】（1），，∴． ∴，∴； （2）设．由题意，，，， 因为是等边三角形，所以，即， 解得．故双曲线的渐近线方程为； （3）由已知，，． 设，，直线l：．显然． 由，得． 因为l与双曲线交于两点，所以，且． 设AB的中点为． 由 即，知，故． 而，，， 所以，得，故l的斜率为． 19．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中的弦长、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 20．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 21．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，证明见解析. 【难度】0.15 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据点在双曲线上，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）由双曲线C：的图像经过点得：，解得：， 所以双曲线C的标准方程为：； （2） 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 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