第05讲 抛物线（5大知识点+6种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

第04讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质. 2.了解抛物线在实际问题中的初步应用.； 3.理解与掌握抛物线的几何性质； 4.通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的相关计算问题. 5.会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理. 知识点01．抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02．抛物线的标准方程 1、推导过程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点03．抛物线的几何性质 标准方程 图象 ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点04．求抛物线方程的方法 1.由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2.直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点05．二级结论 1、点与抛物线的关系 ( x y O F A B M N α )（1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 考点01. 抛物线定义的理解. 1．（24-25高二下·上海长宁·期末）抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10， 则点到轴的距离是9. 故选：B. 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定义，即可判断轨迹． 【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为， 因为圆是过定点与定直线相切的， 所以， 即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外， 由抛物线的定义可知， 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 【答案】. 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 4．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 . 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求出点的横坐标即得. 【详解】抛物线的准线方程为：，设点， 由抛物线的定义知：，解得， 所以点到轴的距离为9. 故答案为：9 5．（2016·上海浦东新·二模）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的参数范围问题 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义及两点间距离公式列式，再借助均值不等式求解作答. 【详解】抛物线的准线方程为，，则，， ，当时，， 当时，，当且仅当时取等号，而， 所以的最小值是. 故选：B 考点02. 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值. 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据三角形两边之差小于第三边判断三点的位置，再结合两点间距离公式求出即可. 【详解】 设圆心为，则，半径， 由图象可知，当且仅当三点共线时取等号， 令，则，将代入可得 ， 因为点在抛物线上，所以， 故时，，此时， 故答案为： 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可. 【详解】直线为抛物线的准线，为抛物线的焦点，    过点作于，作于，过作于， 由抛物线的定义可得， ，当三点共线时等号成立， 又， 即动点到直线和的距离之和的最小值为. 故答案为：. 4．（2023·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据题意，过点作，垂足为，过点，垂足为，根据抛物线的定义，转化为，结合图象，得到，当且仅当在一条直线上时，的最小值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为， 又由曲线，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于，如图所示， 根据抛物线的定义，可得， 要使得取得最小值，只需使得点与重合，此时与重合， 即，当且仅当在一条直线上时， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（22-23高二下·上海静安·期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】作出图形，利用图形可知，当与抛物线的准线垂直时，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值，联立直线与抛物线的方程，可得出点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义，可得，则， 当、、三点共线，即当时，取最小值， 此时直线的方程为，联立，解得，即点. 因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为. 故答案为：. 考点03.抛物线的方程. 1．（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】将焦点坐标代入直线方程可得. 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 2．（2024·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离、求两曲线的交点、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先求得A，B两点的坐标，进而求得线段AB的长 【详解】椭圆的右焦点坐标为， 则抛物线的焦点坐标为， 则，则，抛物线 由，解得或 则 故选：B 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】． 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，得出圆的圆心坐标，即焦点坐标，最后写出抛物线的标准方程． 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标为，即焦点坐标为， ，抛物线的标准方程为． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得， 所以抛物线的方程是或. 故答案为：或. 5．（2023高二上·上海·专题练习）求与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】由题意知，先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的标准方程即可得到结果. 【详解】∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上， ∴直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点． 令，得；令，得， ∴抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为(时，，∴，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，∴，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 考点04. 抛物线的焦半径公式. 1．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 【答案】6 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果. 【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得， 所以． 故答案为：6. 3．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解 【分析】先由抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求出即可. 【详解】抛物线的焦点，准线方程，如图： 设，因为点在上，所以，得， 又，得. 故. 故答案为：. 4．（20-21高二上·上海杨浦·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】根据焦半径公式，即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，所以，由焦半径公式可知， ，得. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线定义的理解 【分析】由抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离之和转换为到准线的距离和，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】不妨设、两点坐标分别为，线段中点为点，则即为所求； 由题意抛物线的准线方程为， 一方面由抛物线的定义可知， 另一方面由已知，结合两方面有，解得， 所以，即线段的中点的横坐标为2. 考点05. 直线与抛物线交点相关问题. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、数量积的坐标表示 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线的中点弦 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先利用二次方程根与系数的关系求出，然后代入经过两点，的直线方程，整理后可得直线恒过定点，根据定点和抛物线的关系可得直线与抛物线的公共点个数. 【详解】是关于的二次方程的两个不同实数根, , 又，得或，且， 经过两点，的直线为 ，整理得 即 该直线恒过点，且斜率不为零， 根据图像可得直线与抛物线公共点的个数是， 故选：A. 4．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，根据题意结合韦达定理可得，，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出，即可得解. 【详解】由题意，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 因为点，的横坐标恰好是方程的根， 所以，， 联立，消得， 则，， 所以，，所以，，经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线与直线交于A、B两点，直线过抛物线的焦点且斜率为 (1)当时，求线段的长度； (2)O为坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）先写出的方程，然后联立的方程与抛物线的方程，得到横坐标的韦达定理形式，再利用弦长公式求解出； （2）联立的方程与抛物线的方程，得到横坐标的韦达定理形式，将表示为坐标形式，代入计算可求结果. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 当时，， 联立可得，且， 所以， 所以； （2）设，， 联立可得，显然不等于0， 且， 所以， 所以， 所以. 考点06. 抛物线的对称性. 1．（22-23高二上·上海青浦·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离、求抛物线的对称 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】把代入抛物线方程中，得， 因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4， 故选：A 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求抛物线的对称轴、抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线的对称性的应用、判断直线与抛物线的位置关系、直线截距式方程及辨析、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】对于A，利用抛物线的焦点的定义及截距式即可判断；对于B，联立方程组求解方程组即可判断；对于C，利用抛物的性质即可判断；对于D，根据已知条件及直线与抛物线的位置关系即可判断. 【详解】由题意可知的焦点为，的焦点为， 过与焦点的直线方程为，即，A错误； 由，解得或， 所以与有，2个公共点，B错误； 由抛物线：知，开口向右，对称轴为轴， 所以与x轴平行的直线与有1个交点， 由抛物线：知，开口向上，对称轴为轴， 所以与最多有2个交点，C正确； 与关于直线对称，若存在直线与和都相切，则该切线也关于直线对称，不妨设为，与联立得，由得， 所以直线与和都相切，D错误． 故选：C． 4．（24-25高二上·上海·课前预习）二次函数顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求抛物线的对称轴 【分析】略. 【详解】略. 故答案为：. 5．（21-22高二上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则 . 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的定值问题、根据韦达定理求参数、根据抛物线的对称性求相关的参数 【分析】根据给定条件写出直线l、直线BF方程，再分别与抛物线的方程联立，探求出点C，A的坐标关系即可作答. 【详解】依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：，则有， 抛物线的焦点为，令直线BF的方程为， 由消去y并整理得：，设，则有，因此有， 而A，C都在抛物线上，由对称性知，点A，C关于y轴对称，于是得. 所以. 故答案为：0 【点睛】思路点睛：解答直线与圆锥曲线的题，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程， 然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示点P到直线l的距离，表示点P到点B的距离， 由，得动点P到直线l的距离等于到点B的距离，且点B不在直线l上，故点P的轨迹为抛物线， 故选：B 2．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由可得两个交点的坐标分别为， 所以， 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 联立，消去可得， 则，， 综上可得，， 所以. 故选：B 4．（23-24高二下·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3. 【详解】对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称， 当时，，即曲线经过，， 当时，方程变为， 由解得， 所以只能取整数解1， 当时，方程变为， 解得或，即曲线经过，， 由对称性得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确； 对于②，当时，由得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误； 对于③，如图： 在轴上方图形面积大于矩形面积， 在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积， 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键. 二、填空题 5．（2024·上海虹口·二模）过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，， 则，所以， 所以. 故答案为： 6．（高二上·上海青浦·阶段练习）以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】抛物线的焦点、准线分别为， 以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的半径为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为：. 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解即可. 【详解】设方程为，则有，解得，即有， 所以过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程为. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出作答. 【详解】抛物线的准线方程为，而F为该抛物线的焦点，在抛物线上， 因此，解得，则抛物线方程为，即有， 所以. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据直线的方向向量求直线方程 【分析】求出抛物线的焦点，求出直线的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式. 【详解】因为抛物线的焦点为，方向向量为的直线的斜率为1， 故直线的方程是，即. 故答案为：. 10．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由抛物线的定义转化后求解 【详解】抛物线的焦点为，设点坐标，则 ， 由题意当时，， 令，则，， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立 故的最小值为． 故答案为： 11．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为 . 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答. 【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图， 在抛物线上取点，过作于，连接，有， 则有，当且仅当点与M重合时取等号， 因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标， 所以M点的横坐标为. 故答案为： 12．（2023高二·上海·专题练习）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交于两点． （1）的准线方程为 （2）当时， （3）若的中点到准线的距离为4，则 【答案】; 8 ． 【难度】0.65 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由抛物线的方程即可求出准线方程． （2）联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合抛物线的定义求解即可． （3）由题意可知点到准线的距离之和为8，即|AB|＝8，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合抛物线的定义求解． 【详解】（1）∵抛物线，∴2p＝4，∴p＝2. ∴的准线方程为． （2）当时，直线的方程为，设， 联立方程，消去y得，， ∴， ∴． （3）∵的中点到准线的距离为4，∴点到准线的距离之和为8， ∴， ∴， 设直线的方程为， 联立方程，消去y得：， ∴， 解得k＝±1， 故答案为：；8；±1． 13．（24-25高三上·上海·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】1 【难度】0.45 【知识点】抛物线定义的理解、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 14．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【详解】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先去绝对值符号画出曲线C的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案. 【详解】曲线C：， 曲线， 当时，曲线可作图如下：   ， 此时交点个数为3，即； 当时， 若，则曲线，相当于将向上平移了k个单位； 若，则曲线，相当于将向下平移了k个单位； 因此曲线是的图象分别向上和向下平移k个单位得到的， 当k在增大的过程中，图象变化如下： 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：   ， 此时； 如下图所示：    ， 此时； 故答案为：. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知：抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由弦长求参数 【分析】 联立直线与抛物线方程，利用弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设抛物线的方程为， 联立，得， 则， 则，解得（负值舍去）， 此时，满足题意， 所以抛物线的方程为. 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 19．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线的方程求参数、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.45 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的参数范围问题 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，结合题意求出、，即可得解； （2）由（1）可得，则，根据得到，即可求出，再由弦长公式计算可得； （3）联立直线AB与抛物线的方程，利用求出的值域，进而得到的取值范围. 【详解】（1）设直线的方程为，由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以，即 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【难度】0.45 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 双曲线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质. 2.了解抛物线在实际问题中的初步应用.； 3.理解与掌握抛物线的几何性质； 4.通过对抛物线几何性质来解决与圆锥曲线有关的相关计算问题. 5.会解决与抛物线有关的弦、定点、定值与取值范围问题的处理. 知识点01．抛物线的定义 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点. 3、准线：直线l叫做抛物线的准线. 4、集合表示：. 5、注意事项： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02．抛物线的标准方程 1、推导过程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 2、抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 知识点03．抛物线的几何性质 标准方程 图象 ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) ( x y O F M P ) 焦点 准线方程 范围 顶点 原点 对称轴 轴 轴 通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 设为抛物线上一点 焦半径 设过焦点的直线与抛物线交于两点 焦点弦 离心率 知识点04．求抛物线方程的方法 1.由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。 2.直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. ( x y O F A B M N α )2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 知识点05．二级结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有 以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． （5）； （6）以弦为直径的圆与准线相切，以或者为直径的圆与轴相切； （7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上； （8）三点共线，三点共线． 4、抛物线中的点差法 已知直线与交于两点，中点 将两点代入抛物线方程，， ，即． 结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：； 结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）； 结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：． 结论④弦长公式： 结论⑤直线AB的方程为 考点01. 抛物线定义的理解. 1．（24-25高二下·上海长宁·期末）抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 4．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线的焦点为，在上有一点满足，则点到轴的距离为 . 5．（2016·上海浦东新·二模）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点02. 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值. 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 . 4．（2023·上海虹口·三模）已知是抛物线的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为 ． 5．（22-23高二下·上海静安·期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 考点03.抛物线的方程. 1．（24-25高二上·上海·期中）若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（2024·上海虹口·一模）已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是圆的圆心，则该抛物线的标准方程为 ． 4．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ． 5．（2023高二上·上海·专题练习）求与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程． 考点04. 抛物线的焦半径公式. 1．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，点A、B是抛物线C上不同的两点，且A、B中点的横坐标为2，则 . 3．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则 4．（20-21高二上·上海杨浦·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.若，则 ． 5．（23-24高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 考点05. 直线与抛物线交点相关问题. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）是关于的二次方程的两个不同实数根，则经过两点，的直线与抛物线公共点的个数是（    ） A．2 B．1 C．0 D．不确定 4．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线与直线交于A、B两点，直线过抛物线的焦点且斜率为 (1)当时，求线段的长度； (2)O为坐标原点，求的值. 考点06. 抛物线的对称性. 1．（22-23高二上·上海青浦·期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 3．（23-24高二下·上海·期末）已知抛物线：与抛物线：，则（    ） A．过与焦点的直线方程为 B．与只有1个公共点 C．与x轴平行的直线与及最多有3个交点 D．不存在直线与和都相切 4．（24-25高二上·上海·课前预习）二次函数顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 5．（21-22高二上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于，两点（其中），连接并延长交抛物线于点C，记直线l的斜率为k，直线的斜率为，则 . 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·单元测试）设是直线l的法向量，A、B为两个定点，，，P为一动点，若点P满足：，则动点P的轨迹是（    ）． A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 2．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于、，则为（   ） A．4 B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 二、填空题 5．（2024·上海虹口·二模）过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为 . 6．（高二上·上海青浦·阶段练习）以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为 ． 7．（22-23高二下·上海浦东新·期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 . 8．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则 . 9．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线经过抛物线的焦点且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 10．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点，点P在抛物线上运动，点B在曲线上运动，则的最小值是 ． 11．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为 . 12．（2023高二·上海·专题练习）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交于两点． （1）的准线方程为 （2）当时， （3）若的中点到准线的距离为4，则 13．（24-25高三上·上海·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 14．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 15．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 16．（23-24高二下·上海·期中）已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为 . 三、解答题 17．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知：抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线与抛物线相交于两点，且，求抛物线的方程． 18．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为2. (1)求p的值； (2)直线与抛物线C交于A，B两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值. 20．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 21．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$