寒假作业01 一元二次方程及应用13大必刷题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 一元二次方程及应用 1、 一元二次方程的概念 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2.一元二次方程解法的灵活运用 （1） 因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值． 求根公式： （3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． （4） 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为： ． 所以方程就转化为，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 三、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 2.根的判别式用来判别根的个数情况： （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 3.一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况． 四、根与系数的关系——韦达定理 1、设一元二次方程的两个根为，则两个根满足： 2、韦达定理的重要推论 推论1：如果方程的两个根是，那么． 推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程有如下重要的结论： （1）若两根互为相反数，，得； （2）若两根互为倒数，则 ，得；若两根互为负倒数，则，得； （3）若有一个根是零，则，得； （4）若两根都为零，则，，得； （5）若有一根为1，则；若有一根为-1，则． 4.几个常见转化 (1) (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7) 五、用一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决实际问题的核心思路是“建模转化→求解验证→回归实际”，即通过分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，求解后验证解的合理性（排除不符合实际的根），最终得到实际问题的答案，常考的类型有下面几种： 1、增长率问题 2、销售利润问题 3、面积问题 4、循环赛问题 5、一元二次方程与几何 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•盐都区期中）下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 2．（2025春•邗江区校级月考）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　　 ． 3．（2025秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 题型二 一元二次方程的解 4．（2025秋•天宁区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的一个根是x＝1，则2029+a﹣b的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 5．（2025秋•工业园区校级期中）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2025的值为（　　） A．﹣1999 B．3 C．2025 D．4047 6．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 题型三 一元二次方程的解法 7．（2025•盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　　 ． 8．（2025春•海安市月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 9．（2025春•南通校级月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 10．（2025秋•南京月考）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） 11．（2024秋•建邺区期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2﹣2a（x﹣m）＝0有实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则m的取值范围是 　 　 ． 题型四 解一元二次方程 12．（2025秋•苏州月考）如果方程x2﹣5x+6＝0的两个根分别是Rt△ABC其中的两边长，Rt△ABC中最小的角为∠A，那么sinA的值为　 ． 13．（2025•绥化校级开学）解方程 （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（2x﹣1）2﹣9＝0； （3）x（2x+3）＝5（2x+3）； （4）8x2+5＝0． 14．（2025秋•忻州期中）用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝98； （2）2x2+5x﹣3＝0． 15．（2025•日照校级开学）解方程： （1）x2﹣3x﹣28＝0； （2）2x（5x﹣1）＝15x﹣3； （3）x2﹣7x+11＝0； （4）3x2+5x+7＝0． 题型五 根的判别式 16．（2025秋•丹徒区月考）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 17．（2025秋•苏州校级期中）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a﹣1）x0有两个相等的实数根，则a＝　　 ． 18．（2025秋•建邺区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），下列条件：①ac＜0；②abc＞0；③2a﹣b+c＝0；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．（2024秋•濮阳期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 20．（2025秋•隆阳区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 题型六 根与系数的关系 21．（2025秋•南京期中）设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝2，则k的值为　　 ． 22．（2022秋•沭阳县校级月考）设x1，x2是方程2x2+3x﹣6＝0的两个实数根，则的值 为 　 　 ． 23．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为（　　） A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024 24．（2025秋•大同期中）关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+1＝0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＝1﹣k，求k的值． 25．（2024春•建邺区校级期末）已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值． 26．（2025春•宜秀区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2，x1x2，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因为，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若x1、x2是方程x2+2x﹣2007＝0的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2007 ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2007）＝4+4014＝4018． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝　 　 ，x1•x2＝　 　 ． （2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，求下列各式的值： ①x2+x1 ②x1﹣x2 （3）关于x的方程x2﹣（k+1）xk2+1＝0的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求k的值． 题型七 一元二次方程的应用--增长率问题 27．（2025秋•武进区校级期中）电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）2＝30 B．（1+x）2＝30 C．4+4x+4x2＝15 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝30 28．（2025秋•泗洪县期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 题型八 一元二次方程的应用--销售利润问题 29．（2025秋•江阴市校级月考）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（　　） A．（x﹣3）（x﹣47）＝2975 B．（x+3）（x﹣47）＝2975 C．（x+3）（x+47）＝2975 D．（x﹣3）（x+47）＝2975 30．（2024秋•思明区校级期中）网购的普及标志着我国零售业进入了电商时代．某淘宝网店购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若某天该网店店主销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值． 31．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 题型九 一元二次方程的应用--面积问题 32．（2025秋•天宁区校级期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 33．（2025秋•江阴市校级月考）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A．（12﹣x）（10﹣x）＝12×10 B．（12﹣2x）（10﹣x）＝12×10 C．（12﹣x）（10﹣2x）＝12×10 D．（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10 34．（2025秋•梁溪区月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20﹣x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝32×20﹣540 C．（20﹣2x）（32﹣2x）＝540 D．（20﹣2x）（32﹣2x）＝32×20﹣540 35．（2025秋•新沂市校级月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352 C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352 36．（2025秋•盐都区校级月考）如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 37．（2025秋•无锡校级月考）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长18m，宽12m的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为176m2．若设小路的宽度为xm，则根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣x）（12﹣2x）＝176 B．（18﹣2x）（12﹣x）＝176 C．2x（12﹣x）＝176 D．x（18﹣2x）＝176 38．（2024•武威三模）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 39．（2025秋•包河区校级期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2． （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 题型十 一元二次方程的应用--循环赛问题 40．（2024秋•锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 41．（2025秋•新吴区期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x+1）＝30 D．x（x﹣1）＝30 42．（2025秋•徐州校级月考）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　6　 名同学． 题型十一 一元二次方程与几何 43．（2025秋•宿城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是（　　） A．10s或15s B．10s C．15s D．20s 44．（2025秋•沭阳县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 45．（2025秋•海州区期中）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　） A．5m B．（5）m C．（5+3）m D．（5+5）m 46．（2025秋•扬州期中）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　　 ． 47．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 48．（2023秋•连山县校级期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 49．（2025秋•安丘市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 50．（2025秋•安泽县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 题型十二 一元二次方程的综合应用 51．（2025秋•盐都区期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了　　 行． 52．（2024秋•扬中市校级月考）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 53．（2025秋•丹徒区月考）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此（x+x+5）2＝81，所以x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣2x﹣8＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 54．（2025春•宝应县月考）对于结论“周长一定的长方形，当长和宽相等时面积最大”，某同学通过如图所示的图形割补，用特例进行了说明：将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由图1与图2的面积相等可得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 　 　 ． 55．（2025秋•太和县月考）综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为①米，根据摊位总面积可列方程②，从而求得人行过道的宽为③米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为④个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程⑤求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为⑥元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①　 　 ；②　 　 ；③　 　 ；④　 ； ⑤　 ；⑥　　 ． 56．（2025秋•南海区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）花圃的面积为 　 　 米2（用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？ 57．（2025春•长沙期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 ，x3＝　 ； （2）拓展：用“转化”思想求方程x的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 58．（2025秋•龙华区校级期中）荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为 　 　 cm．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 题型十三 新定义问题 59．（2025秋•丹阳市校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 60．（2025秋•新吴区期中）对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 61．（2025秋•梁溪区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程x2+9x+14＝0是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“特根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，则k的值为2或﹣1； ③若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 62．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ． 63．（2024秋•东台市期中）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　 　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 64．（2025秋•南京月考）对于方程x3+3x﹣1＝0的根的情况，下列判断中正确的一项是（　　） A．该方程有且仅有一个实数根 B．该方程有且仅有两个实数根 C．该方程有且仅有三个实数根 D．该方程无实数根 65．（2025秋•邗江区期中）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝⋯，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＜0，则x3+1的值为（　　） A． B． C． D． 66．（2025秋•永川区期中）已知多项式M＝2x2﹣3x﹣2，多项式N＝x2﹣ax+3，则下列结论正确的有（　　） ①若M＝0，则代数式的值为﹣10； ②当a＝﹣3，x≥5时，代数式M﹣N的最小值为﹣10； ③当a＝0时，若M•N＝0，则关于x的方程有两个实数根； ④当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 67．（2024秋•苏州校级期中）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 68．（2025•沭阳县三模）已知x、y满足3x+y＝1，（x＞0，y＞0），则的最小值为 　 ． 69．（2025•启东市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　 　 s． 70．（2025春•永康市期中）如图，线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是 　 　 ，此时线段BQ的最小值为 　 　 ． 71．（2025•锦江区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点，△APB与△ABC的面积比为． （1）若PB＝3PC，则 　 　 ； （2）的最小值为 　 ． 72．（2025春•淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），点E是AD边上一定点，且AE＝2．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 　 　 ． 73．（2025秋•梁溪区月考）如图，平行四边形ABCD中，点O为线段AC与BD的交点，若AB＝AC＝8，BC＝m，点E为线段AB上一点，且BE＝1，P点是线段BC上的一点．若在线段BC上有且只有两个点P使得△BEP与△COP相似，则m的值为　 　 ． 74．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　 　 ． 75．（2025春•徐汇区校级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：（1，1）、、都是“倒数点”． （1）如果直线l1：y＝﹣x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线l1的解析式以及点P的坐标； （2）求直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标； （3）如果直线l3：y＝kx+1上有两个“倒数点”，记作点T1，T2点O为坐标原点，当∠T1OT2为锐角时，求k的取值范围． 76．（2025秋•深圳期中）【定义新运算】对于非零实数a、b，定义运算“⊗”，满足． （1）计算：　　 ；关于x的方程2⊗（3x2）＝x+k有两个相等的实数根，则k＝　 　 ； 【探究新运算】材料1、解关于x的一元二次方程：mx2＝2m（m≠0）， ∵m≠0，由等式的性质得：x2＝2，∴． （2）结合材料1，如果运算“⊗”满足（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c），求a的值． 【应用新运算】 （3）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，∠AEB+∠D＝180°，若BC＝a、BE＝c、CE＝b，求的值． 77．（2025秋•南安市月考）阅读与应用：同学们，你们已经知道（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）． 阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a﹣2b≥0，∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）． 阅读2：若函数y＝x（m＞0，x＞0，m为常数）．由阅读1结论可知：x即x∴当x即x2＝m，∴x（m＞0）时，函数y＝x的最小值为2 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：若函数y＝a（a＞1），则a＝　　 时，函数y＝a（a＞1）的最小值为　　 ． 问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x），求当x＝　　 时，矩形周长的最小值为　　 ． 问题3：求代数式（m＞﹣1）的最小值． 问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？ 78．（2024秋•深圳期末）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以﹣1，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作…得到了如下运算记录表： 选定小于1的正数 0.7 0.5 0.3 第1次运算结果 0.547722558 0.707106781 0.836660027 第2次运算结果 0.672515756 0.541196100 0.404153403 第3次运算结果 0.572262390 0.677350648 0.771911003 … … … … 第38次运算结果 0.618061094 0.617997417 0.617932544 第39次运算结果 0.618012059 0.618063575 0.618116054 第40次运算结果 0.618051729 0.618010053 0.617967593 根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：　 　 （保留3位小数）． ②随着运算次数的增加，C （从下列选项中选择）． A．运算结果越来越大 B．运算结果越来越小 C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为 　 　 ，根据规律②可以构造一个方程： （保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成x2+x＝1，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：S1＝ ，S2+S3＝ x ，S4＝ 　　 ，整个正方形的面积S＝S1+S2+S3+S4，所以 　 　 ，注意，开方后解得x＝ 　　 ． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：，，）． 79．（2025春•北碚区校级月考）阅读下面材料：聪明的小张在学习完完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2后发现，当a＞0，b＞0时，，∵，∴a﹣2b≥0，∴a+b，当且仅当a＝b时，a+b取最小值． 例如：当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时，取最小值2．请利用上述结论解决以下问题： （1）若x＞0，当x＝ 　　 时，式子有最小值为 　　 ：若x＜0，求当x取何值时，式子3x有最大值，最大值为多少？ （2）若x＞1，当x取何值时，有最小值，请求出这个最小值； （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝CD，AC＝BD，当△AOB的面积为5时，求四边形ABCD面积的最小值，并直接写出此时四边形ABCD的形状． 3 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 一元二次方程及应用 1、 一元二次方程的概念 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2.一元二次方程解法的灵活运用 （1） 因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值． 求根公式： （3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解． （4） 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为： ． 所以方程就转化为，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 三、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 2.根的判别式用来判别根的个数情况： （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根． （3）方程没有实数根． 3.一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况． 四、根与系数的关系——韦达定理 1、设一元二次方程的两个根为，则两个根满足： 2、韦达定理的重要推论 推论1：如果方程的两个根是，那么． 推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程有如下重要的结论： （1）若两根互为相反数，，得； （2）若两根互为倒数，则 ，得；若两根互为负倒数，则，得； （3）若有一个根是零，则，得； （4）若两根都为零，则，，得； （5）若有一根为1，则；若有一根为-1，则． 4.几个常见转化 (1) (2)； (3) (4)； (5)； (6) (7) 五、用一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决实际问题的核心思路是“建模转化→求解验证→回归实际”，即通过分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型，求解后验证解的合理性（排除不符合实际的根），最终得到实际问题的答案，常考的类型有下面几种： 1、增长率问题 2、销售利润问题 3、面积问题 4、循环赛问题 5、一元二次方程与几何 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 一元二次方程的定义 1．（2024秋•盐都区期中）下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可． 【解答】解：A．x2﹣xy＝1只含有2个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．x2﹣2x+3＝0，含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题意； C．为分式方程，故该选项不符合题意； D．2（x+1）＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025春•邗江区校级月考）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义，可知m﹣3≠0且|m﹣1|＝2，由此即可求得m的值． 【解答】解：由题意可知，m﹣3≠0且|m﹣1|＝2， 解得：m≠3，且m＝3或m＝﹣1， ∴m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 3．（2025秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【答案】A 【分析】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案． 【解答】解：根据题意可得： ， 解得k＝﹣2． 故选：A． 题型二 一元二次方程的解 4．（2025秋•天宁区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的一个根是x＝1，则2029+a﹣b的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【分析】把x＝1代入方程得a﹣b＝﹣4，然后利用整体代入的方法计算2029+a﹣b的值． 【解答】解：把x＝1代入方程ax2﹣bx+4＝0中得：a﹣b+4＝0， ∴a﹣b＝﹣4， ∴2029+a﹣b ＝2029+（﹣4） ＝2029﹣4 ＝2025． 故选：C． 5．（2025秋•工业园区校级期中）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2025的值为（　　） A．﹣1999 B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m﹣2022＝0，等式的两边同时×m，可得出m3+3m2﹣2022m＝0，再将其代入原式＝（m3+3m2﹣2022m）﹣（m2+3m﹣2022）+3中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2022＝0， 等式的两边同时×m得：m3+3m2﹣2022m＝0， ∴原式＝（m3+3m2﹣2022m）﹣（m2+3m﹣2022）+3＝0+0+3＝3． 故选：B． 6．（2024秋•邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025 【答案】C 【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1， ∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程， ∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2， ∴原式 ＝﹣1﹣2024 ＝﹣2025． 故选：C． 题型三 一元二次方程的解法 7．（2025•盐城一模）用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　3x2+5x+1＝0　 ． 【答案】3x2+5x+1＝0 【分析】根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 8．（2025春•海安市月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含a的代数式表示出y，即可得出结论． 【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜5， ∴0＜a＜5； 故选：B． 9．（2025春•南通校级月考）如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　） A．线段AE的长 B．线段BE的长 C．线段CE的长 D．线段AC的长 【答案】C 【分析】首先求出一元二次方程的解为x＝2或8，然后由矩形的性质得到BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，利用勾股定理求出，进而得到CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2，即可求解． 【解答】解：x2+6x﹣16＝0， （x﹣2）（x+8）＝0， x﹣2＝0或x+8＝0， 解得x＝2或﹣8； ∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3， ∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2． ∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长． 故选：C． 10．（2025秋•南京月考）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 11．（2024秋•建邺区期中）若关于x的一元二次方程a（x﹣m）2﹣2a（x﹣m）＝0有实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则m的取值范围是 　﹣1＜m＜1　 ． 【答案】﹣1＜m＜1 【分析】先解一元二方程，再代入x1＜1＜x2列不等式组求解． 【解答】解：解方程得：x1＝m，x2＝m+2， ∵x1＜1＜x2， ∴m＜1，且m+2＞1， 解得：﹣1＜m＜1， 故答案为：﹣1＜m＜1． 题型四 解一元二次方程 12．（2025秋•苏州月考）如果方程x2﹣5x+6＝0的两个根分别是Rt△ABC其中的两边长，Rt△ABC中最小的角为∠A，那么sinA的值为　或　 ． 【答案】或． 【分析】解方程求出两根，①当直角边为2，3时，②当斜边为3，由正弦函数即可求解．注意：最小的角A所对的边为最短边． 【解答】解：原方程分解因式可得： （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3， ①当直角边为2，3时，斜边为，； ②当斜边为3，另一直角边为，； 故答案为：或． 13．（2025•绥化校级开学）解方程 （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（2x﹣1）2﹣9＝0； （3）x（2x+3）＝5（2x+3）； （4）8x2+5＝0． 【答案】（1），； （2）x1＝2，x2＝﹣1； （3），x2＝5； （4）方程无解． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用根的判别式判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 则， 所以，； （2）（2x﹣1）2﹣9＝0， （2x﹣1）2＝9， 则2x﹣1＝±3， 使用x1＝2，x2＝﹣1； （3）x（2x+3）＝5（2x+3）， x（2x+3）﹣5（2x+3）＝0， （2x+3）（x﹣5）＝0， 则2x+3＝0或x﹣5＝0， 使用，x2＝5； （4）8x2+5＝0， Δ＝02﹣4×8×5＝﹣160＜0， 所以原方程无解． 14．（2025秋•忻州期中）用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝98； （2）2x2+5x﹣3＝0． 【答案】（1）x1＝8，x2＝﹣6； （2）． 【分析】（1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）两边除以2，得（x﹣1）2＝49， 开平方，得x﹣1＝±7， ∴x1＝8，x2＝﹣6． （2）原方程分解因式，得（2x﹣1）（x+3）＝0， ∴2x﹣1＝0，x+3＝0， ∴． 15．（2025•日照校级开学）解方程： （1）x2﹣3x﹣28＝0； （2）2x（5x﹣1）＝15x﹣3； （3）x2﹣7x+11＝0； （4）3x2+5x+7＝0． 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣4； （2），； （3），； （4）无解． 【分析】（1）运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可； （3）运用公式法解一元二次方程即可； （4）运用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣28＝0， （x﹣7）（x+4）＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣4； （2）2x（5x﹣1）＝15x﹣3， 2x（5x﹣1）﹣3（5x﹣1）＝0， （5x﹣1）（2x﹣3）＝0， 解得：，； （3）a＝1，b＝﹣7，c＝11， b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×11＝5， ， 解得：，； （4）a＝3，b＝5，c＝7， b2﹣4ac＝52﹣4×3×7＝﹣59＜0， ∴方程无解． 题型五 根的判别式 16．（2025秋•丹徒区月考）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【答案】C 【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：由已知得：， 解得：a≥1且a≠5． 故选：C． 17．（2025秋•苏州校级期中）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a﹣1）x0有两个相等的实数根，则a＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合一元二次方程的定义即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（a﹣1）x0有两个相等的实数根， 所以Δ＝（a﹣1）2﹣4×（a﹣1）×（）＝0， 解得a1＝1，a2＝﹣1， 又因为a﹣1≠0， 所以a≠1， 所以a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 18．（2025秋•建邺区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），下列条件：①ac＜0；②abc＞0；③2a﹣b+c＝0；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】逐个判断每个条件是不是满足b2﹣4ac是不是大于等于0． 【解答】解：∵ac＜0， ∴﹣4ac＞0， ∵b2≥0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）一定有实数根，故①正确； abc＞0只能说明a，b，c都是正数或者一个为正数两个为负数，不能保证ac一定为负数， ∴b2﹣4ac不一定大于等于0，故②错误； ∵2a﹣b+c＝0， ∴b＝2a+c， ∴b2﹣4ac ＝（2a+c）2﹣4ac ＝4a2+4ac+c2﹣4ac ＝4a2+c2， ∵a≠0， ∴4a2＞0， ∵c2≥0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0）一定有实数根，故③正确； 故选：B． 19．（2024秋•濮阳期末）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2， 所以BC的值是． 20．（2025秋•隆阳区期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4， ∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2， ∴m、n的值分别为2、4， ∴△ABC的周长为10； 当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2， 此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上可知△ABC的周长为10． 题型六 根与系数的关系 21．（2025秋•南京期中）设x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝2，则k的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝k，结合x1+x2＝2，即可得出k的值． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2k， 又∵x1+x2＝2， ∴k＝2． 故答案为：2． 22．（2022秋•沭阳县校级月考）设x1，x2是方程2x2+3x﹣6＝0的两个实数根，则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2＝﹣3，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+3x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2，x1x2＝﹣3， ∴ ． 故答案为：． 23．（2024秋•宝应县期末）已知方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为（　　） A．﹣2024 B．﹣1 C．1 D．2024 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2024m+1＝0，再根据根与系数的关系得到mn＝1，最后代入求值即可． 【解答】解：方程x2﹣2024x+1＝0的两根分别为m、n， ∴m2﹣2024m+1＝0，mn＝1， ∴m2＝2024m﹣1，， ∴， 故选：B． 24．（2025秋•大同期中）关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x+1＝0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）如果x1+x2﹣x1x2＝1﹣k，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可知，一元二次方程有两个实数根，故△≥0，且方程为一元二次方程，可知二次项系数不为0，据此解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2，x1x2，根据x1+x2﹣x1x2＝1﹣k列出等式，解答即可． 【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×（k+1）×1＝﹣4k， ∵方程有实数根， ∴△≥0，且k+1≠0， 解得k≤0， k的取值范围是k≤0，且k≠﹣1； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2，x1x2， x1+x2﹣x1x2＝1﹣k， 得 1﹣k， 解得k1＝2，k2＝﹣2， 经检验，k1、k2是原方程的解， 又由（1）k≤0，且k≠﹣1， 故k的值为﹣2． 25．（2024春•建邺区校级期末）已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1﹣x2|＝2，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）分k＝0与k≠0两种情况进行分类讨论； （2）先用k表示出x的值，再根据|x1﹣x2|＝2即可得出k的值． 【解答】（1）证明：k＝0时，方程为x﹣2＝0，方程有实数根． k≠0时，方程为一元二次方程， Δ＝（3k﹣1）2﹣8k（k﹣1） ＝k2+2k+1＝（k+1）2 ∵（k+1）2≥0， ∴一元二次方程有实根， ∴无论k为任何实数，方程总有实根． （2）解方程 kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）＝0 得：x，即x1＝2，x2． ∵|x1﹣x2|＝2， ∴22或2＝2， ∴k＝1或k． ∴k的值为1或． 26．（2025春•宜秀区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0），如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2，x1x2，一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540﹣1603）发现的，因为，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 例：若x1、x2是方程x2+2x﹣2007＝0的两个根，不解方程，求的值． 解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣2007 ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2007）＝4+4014＝4018． 根据上面材料，解答下列问题： （1）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根，则x1+x2＝　　 ，x1•x2＝　2　 ． （2）设x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，求下列各式的值： ①x2+x1 ②x1﹣x2 （3）关于x的方程x2﹣（k+1）xk2+1＝0的两实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2，根据提公因式法、完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （3）分x1＞0和x1＜0两种情况，根据根与系数的关系计算即可． 【解答】解：（1）x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0的两根， 则x1+x2，x1•x2＝2， 故答案为：；2； （2）x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根， 则x1+x2＝3，x1•x2， ①x2+x1x1x2（x1+x2）； ②x1﹣x2＝±±±； （3）∵方程x2﹣（k+1）xk2+1＝0的两实数根x1，x2， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2k2+1， Δ＝（k+1）2﹣4×（k2+1）＝2k﹣3， 2k﹣3≥0， 解得，k， 当x1＞0时，x1＝x2，即（k+1）2﹣4×（k2+1）＝0， 解得，k； 当x1＜0时，x1+x2＝0，即k+1＝0， 解得，k＝﹣1， ∵﹣1， ∴方程无实根 ∴k的值为． 题型七 一元二次方程的应用--增长率问题 27．（2025秋•武进区校级期中）电影《哪吒之魔童降世》上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，第一天的票房约4亿元，以后每天的票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入约达30亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）2＝30 B．（1+x）2＝30 C．4+4x+4x2＝15 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝30 【答案】D 【分析】根据增长率模型计算各天票房并累加前三天的总和，从而列出方程． 【解答】解：根据题意可得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝30． 故选：D． 28．（2025秋•泗洪县期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设这个降价率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 题型八 一元二次方程的应用--销售利润问题 29．（2025秋•江阴市校级月考）《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（　　） A．（x﹣3）（x﹣47）＝2975 B．（x+3）（x﹣47）＝2975 C．（x+3）（x+47）＝2975 D．（x﹣3）（x+47）＝2975 【答案】D 【分析】这匹锦的长为x尺，则一尺锦的价格为（x+47）文，利用总价＝单价×数量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：这匹锦的长为x尺，则一尺锦的价格为（x+47）文， 根据题意得：（x﹣3）（x+47）＝2975． 故选：D． 30．（2024秋•思明区校级期中）网购的普及标志着我国零售业进入了电商时代．某淘宝网店购进一种成本为100元/件的新商品，在试销中发现：销售单价x（元）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若某天该网店店主销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于k、b的关系式，求出k、b的值即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得：． 故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）由题意得：（﹣x+180）（x﹣100）＝1200， 解得：x＝120，或x＝160． 31．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系： 每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40 每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180 已知y与x之间的函数关系是一次函数． （1）求y与x的函数解析式； （2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？ （3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了m%，同时水蜜桃的进货成本下降了10%，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了2m%（m＜100），7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案； （3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系是：y＝kx+b， 根据题意可得：， 解得：， 故y与x之间的函数关系是：y＝﹣5x+380； （2）由题意可得：（x﹣40）（﹣5x+380）＝1600， 解得：x1＝56，x2＝60， 顾客要得到实惠，售价低，所以x＝60舍去，所以x＝56， 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元； （3）在（2）的条件下，x＝56时，y＝100， 17号开始，到31号共计15天，由题意得到方程： ∴1600×16＝[56×（1﹣m%）﹣40×（1﹣10%）]×100×（1+2m%）×15+7120， 解得：m1＝20，m2（舍去）， 答：m的值为20． 答：若某天该网店店主销售该产品获得的利润为1200元，则销售单价为120元或160元． 题型九 一元二次方程的应用--面积问题 32．（2025秋•天宁区校级期中）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 【答案】A 【分析】根据题意，设宽为x步，则长为（60﹣x）步，利用矩形面积公式即可列出方程． 【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x（60﹣x）＝864， 故选：A． 33．（2025秋•江阴市校级月考）如图，在长为12m，宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A．（12﹣x）（10﹣x）＝12×10 B．（12﹣2x）（10﹣x）＝12×10 C．（12﹣x）（10﹣2x）＝12×10 D．（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10 【答案】D 【分析】设花卉带的宽度为xm，根据草坪的面积为总面积的，即可列出关于x都一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设花卉带的宽度为xm， 根据题意得：（12﹣2x）（10﹣2x）＝12×10． 故选：D． 34．（2025秋•梁溪区月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（20﹣x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝32×20﹣540 C．（20﹣2x）（32﹣2x）＝540 D．（20﹣2x）（32﹣2x）＝32×20﹣540 【答案】A 【分析】设小路宽为xm，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）m2，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解：利用平移，可得如下列图形： 设小路的宽为xm， 根据题意可列方程如下：（20﹣x）（32﹣x）＝540． 故选：A． 35．（2025秋•新沂市校级月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．（40﹣x）（19﹣x）＝352 B．（40+x）（19+x）＝352 C．（40﹣2x）（19﹣2x）＝352 D．（40+2x）（19+2x）＝352 【答案】A 【分析】根据停车场的长、宽及车道的宽度，可得出停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（19﹣x）米的长方形，根据停车位的占地面积为352平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为（40﹣x）米，宽为（19﹣x）米的长方形． 根据题意得：（40﹣x）（19﹣x）＝352． 故选：A． 36．（2025秋•盐都区校级月考）如图，小红想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的面积为600m2时，AB的长为多少米？设矩形ABCD的边AB＝xm，根据题意所列的方程是（　　） A．x（62﹣2x）＝600 B．x（60﹣2x）＝600 C．x（58﹣2x）＝600 D．x（60﹣x）＝600 【答案】A 【分析】根据题意用含x的代数式表示出BC长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【解答】解：由题意得，BC＝60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， 根据羊圈的面积为600m2，得x（62﹣2x）＝600， 故选：A． 37．（2025秋•无锡校级月考）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长18m，宽12m的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为176m2．若设小路的宽度为xm，则根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣x）（12﹣2x）＝176 B．（18﹣2x）（12﹣x）＝176 C．2x（12﹣x）＝176 D．x（18﹣2x）＝176 【答案】B 【分析】设小路宽为xm，根据“基地的使用总面积为176m2”，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【解答】解：由题意可得：（18﹣2x）（12﹣x）＝176， 故选：B． 38．（2024•武威三模）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，可知AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，且有AD＝BC＝x，整理即可得出用含x的代数式表示矩形的长AB的式子； （2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时x的值即可． 【解答】解：（1）∵AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，AD＝BC＝x， ∴AB＝﹣2x+44； （2）由题意得﹣2x+44＞x， 解得x， 由题意得（﹣2x+44）•x＝192， 即2x2﹣44x+192＝0， 解得x1＝6，x2＝16， ∵x2＝16（舍去）， ∴AD＝6， ∴AB＝﹣2×6+44＝32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 39．（2025秋•包河区校级期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2． （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比45米2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式． （2）根据（1）的函数关系式，将S＝45代入其中，求出x的值即可． （3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案． 【解答】解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米 这时面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x． （2）由条件﹣3x2+24x＝45化为x2﹣8x+15＝0 解得x1＝5，x2＝3 ∵0＜24﹣3x≤10得x＜8 ∴x＝3不合题意，舍去 即花圃的宽为5米． （3）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48（x＜8） ∴当时，S有最大值48﹣3（4）2＝46 故能围成面积比45米2更大的花圃．围法：24﹣310，花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米． 题型十 一元二次方程的应用--循环赛问题 40．（2024秋•锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【分析】利用每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 41．（2025秋•新吴区期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x+1）＝30 D．x（x﹣1）＝30 【答案】D 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝30． 故选：D． 42．（2025秋•徐州校级月考）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会　6　 名同学． 【答案】见试题解答内容 【分析】设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【解答】解：设1人每次能手把手教会x名同学． 根据题意列一元一次方程得，1+x+（x+1）x＝49， 整理得，x2+2x﹣48＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 题型十一 一元二次方程与几何 43．（2025秋•宿城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是（　　） A．10s或15s B．10s C．15s D．20s 【答案】B 【分析】本题已知了 P、Q的速度，设x秒后，△PCQ的面积等于450m2，根据路程 ＝速度×时间，可用时间 x表示出 CP和CQ的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°， 设x秒后，△PCQ的面积等于450m2， ， ∴x2﹣25x+150＝0， ∴x1＝15，x2＝10， 当x1＝15时，CQ＝3x＝3×15＝45＞BC＝40，即x1＝15不合题意，舍去． 所以10秒后，△PCQ的面积等于450m2． 故选：B． 44．（2025秋•沭阳县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 45．（2025秋•海州区期中）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（　　） A．5m B．（5）m C．（5+3）m D．（5+5）m 【答案】D 【分析】分析题目先设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m；接下来根据面积关系可得π（x+5）2＝2πx2，然后解方程即可得出符合条件的解． 【解答】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，根据题意可得 π（x+5）2＝2πx2， 解得x＝5+5或x＝5﹣5（不合题意，舍去）， 故选：D． 46．（2025秋•扬州期中）☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意构造图形，则AC＝6，，AD＝m，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【解答】解：根据题意，构造图形如图所示： 则AC＝6，， ∵AD＝2BD， ∴AD＝m， 即m就是x2+mx＝36的一个正根， ∴m2+m2＝36 解得 （负值已舍）． 故答案为：． 47．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则 （5﹣x）×2x＝6， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x＝2或x＝3． 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2． （2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则 （5﹣x）×2x＝8， 整理得：x2﹣5x+8＝0， Δ＝25﹣32＝﹣7＜0， 所以，此方程无解， 故△PQB的面积不能等于8cm2． 48．（2023秋•连山县校级期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．点P停止运动时点Q也停止运动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据矩形和正方形的性质，利用梯形面积的求算方法，找出等量关系列出方程求解即可； （2）作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【解答】解：（1）依题意得 AP＝3t， BP＝AB﹣AP＝16﹣3t， CQ＝2t， DQ＝DC﹣CQ＝16﹣2t， 故S梯形PBCQ（CQ+PB）•BC． 又∵S梯形PBCQ＝33， ∴（2t+16﹣3t）×6＝33， 解得t＝5． 答：P、Q两点出发后5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点P作PE⊥CD交CD于E． QE＝DQ﹣AP＝16﹣5t， 在Rt△PQE中， PE2+QE2＝PQ2， 可得：（16﹣5t）2+62＝102， 解得t1＝4.8（舍去），t2． 答：P、Q两点从出发开始 s时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 49．（2025秋•安丘市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S． （1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由． （2）点D运动至何处时，SS△ABC？ 【答案】（1）存在某一时刻t秒，使DE∥AB；理由见解答； （2）CD＝3cm．理由见解答． 【分析】（1）通过三角形内平行线分线段成比例，列式计算，再判断得到的t值是否符合题意，来判断即可； （2）设运动时间为t时，△ADE的面积为S＝S△ACE﹣S△DCES△ABC，计算t的值，再判断值是否符合题意． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 假设存在某一时刻t，使DE∥AB， ∴， ∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t， ∴， ∴t，符合题意（t最大为8÷2＝4秒）， ∴存在某一时刻t秒，使DE∥AB； （2）设运动t秒时，SS△ABC， 根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCES△ABC， ∵S△ABCAC•CB6×8＝24平方厘米， S△ACEAC•CE6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米， S△DCECD•CEt（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米， ∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米， ∴SS△ABC， ∴t2﹣10t+2424， 解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3， ∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4， ∴t＝3秒符合题意， ∴此时CD＝3（cm）， ∴CD＝3cm时，SS△ABC． 50．（2025秋•安泽县月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值； （2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧． 以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可； ②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵P，N重合， ∴2x+x2＝20， ∴，（舍去）， ∴当时，P，N重合； （2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2， 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20， 解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4， 当x＝4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 题型十二 一元二次方程的综合应用 51．（2025秋•盐都区期中）在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了　3　 行． 【答案】3． 【分析】设增加了x行数，则增加了x列，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设增加了x行数，则增加了x列， 根据题意得：（3+x）（4+x）＝3×4+30． 解得：x1＝﹣10（不符合题意，舍去），x2＝3， 即增加了3行， 故答案为：3． 52．（2024秋•扬中市校级月考）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x（x+6）＝72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得．小明用此方法解关于x的方程x（3x﹣n）＝24，其中3x﹣n＞x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】参照已知方法，求得大正方形的边长为10，得到n＝4x﹣10，再根据小正方形的边长和面积，求出x＝4，即可得到n的值． 【解答】解：由题意可知，将四个长为3x﹣n，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是3x﹣n+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵x（3x﹣n）＝24，小正方形的面积为4， ∴大正方形的面积为4×24+4＝100， ∴大正方形的边长为10， ∴3x﹣n+x＝4x﹣n＝10， ∴n＝4x﹣10， ∵小正方形的边长为3x﹣n﹣x，即10﹣2x， ∴（10﹣2x）2＝4， ∴10﹣2x＝±2， ∵10﹣2x＞0，∴x＝4， ∴n＝4×4﹣10＝6， 故选：C． 53．（2025秋•丹徒区月考）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例说明，记载的方法是：构造如图面积是（x+x+5）2的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52＝81，因此（x+x+5）2＝81，所以x＝2．则在下列四个构图中，能正确说明方程x2﹣2x﹣8＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】仿造例题，构造出（x+x﹣2）2＝36，解之可得出x的值，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0， ∴x（x﹣2）＝8． 构造面积是（x+x﹣2）2的大正方形， 同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×8+22＝36， ∴（x+x﹣2）2＝36， ∴x＝4， ∴构图如图所示． 故选：B． 54．（2025春•宝应县月考）对于结论“周长一定的长方形，当长和宽相等时面积最大”，某同学通过如图所示的图形割补，用特例进行了说明：将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由图1与图2的面积相等可得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 　32　 ． 【答案】32． 【分析】先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出（10﹣x）（x+6）的最大值，进而求出的最大值． 【解答】解：依题意有， 当﹣6＜x＜6时，如图，阴影部分是边长为（2﹣x）的正方形， ∴（10﹣x）（x+6）＝82﹣（2﹣x）2， 当6＜x＜10时，如图，阴影部分是边长为（x﹣2）的正方形， ∴（10﹣x）（x+6）＝82﹣（2﹣x）2， 当x＝2时，该长方形为边长是8的正方形， ∴边长是（10﹣x）和（6+x）的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为， 故答案为：32． 55．（2025秋•太和县月考）综合与实践 【项目主题】 某数学实践小组准备用一元二次方程的相关知识为某小型夜市的升级改造提供方案． 【项目准备】 （1）布局知识学习：在一块矩形夜市场地中，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道． （2）布局方式构建：如图，已知矩形夜市场地的长为60米，宽为30米，摊位总面积为1000平方米．设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为①米，根据摊位总面积可列方程②，从而求得人行过道的宽为③米． 【项目分析】 （3）租金调整商讨：夜市通过改善环境，融入地方特色，对摊位每月的租金进行适当的调整，最终决定上涨租金． ①项目条件：该夜市共有60个摊位对外出租，每个摊位的月租金为5000元时，摊位刚好全部租完． ②基本约定： （ⅰ）所有横向或纵向人行过道平行，三排摊位之间也平行； （ⅱ）租金单价统一． （4）方案论证：通过调查后发现每个摊位的月租金每上涨100元，就会少租出1个摊位，设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为④个，已知升级改造后夜市的月租金收入的总金额为302500元，可列方程⑤求出a的值，最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为⑥元． 【项目实施】 根据以上分析，选用升级改造方案，并确认摊位的租金（略）． 请将上述材料横线上所缺内容补充完整： ①　（60﹣2x）　 ；②　（30﹣2x）（60﹣2x）＝1000　 ；③　5　 ；④　　 ； ⑤　　 ；⑥　5500　 ． 【答案】项目准备：人行过道的宽为5米； 项目分析：最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为5500元． ①（60﹣2x）；②（30﹣2x）（60﹣2x）＝1000；③5；④； ⑤；⑥5500． 【分析】项目准备：设人行过道宽为x米，则阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（30﹣2x）米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个，根据题意列出一元二次方程方程，解方程，即可求解． 【解答】解：项目准备：设人行过道宽为x米，则摊位的长可表示为（60﹣2x）米， ∴（30﹣2x）（60﹣2x）＝1000， ∴x1＝5，x2＝40， 当x＝40时，30﹣2x＝30﹣2×40＝﹣50＜0，不合题意舍去； 当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞0，符合题意； ∴人行过道的宽为5米； 项目分析：设升级改造后每个摊位的月租金上涨a元，则改造后夜市可以租出去的摊位数量为个， ∴， ∴a1＝a2＝500， ∴5000+500＝5500元， 答：最终得出升级改造后每个摊位的月租金定为5500元． 故答案为：①（60﹣2x）；②（30﹣2x）（60﹣2x）＝1000；③5；④； ⑤；⑥5500． 56．（2025秋•南海区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）花圃的面积为 　（4a2﹣200a+2400）　 米2（用含a的式子表示）； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可； （3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值． 【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣200a+2400． 故答案为：（4a2﹣200a+2400）； （2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的，则 4a2﹣200a+2400＝60×40， 解方程得：a1＝5，a2＝45（不符合题意，舍去） 即此时通道宽为5米； （3）当a＝10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）＝800（平方米） 即此时花圃面积最少为800（平方米）． 根据图象可设y1＝mx，y2＝kx+b， 将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有 1200m＝48000，解得：m＝40 ∴y1＝40x且有， 解得：， ∴y2＝35x+20000． ∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣200a+2400， ∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）＝﹣4a2+200a ∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）＝105920 解得a1＝2，a2＝48（舍去）． 答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元． 57．（2025春•长沙期末）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解． （1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　﹣2　 ，x3＝　1　 ； （2）拓展：用“转化”思想求方程x的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0， x（x2+x﹣2）＝0， x（x+2）（x﹣1）＝0 所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1； 故答案为：﹣2，1； （2）x， 方程的两边平方，得2x+3＝x2 即x2﹣2x﹣3＝0 （x﹣3）（x+1）＝0 ∴x﹣3＝0或x+1＝0 ∴x1＝3，x2＝﹣1， 当x＝﹣1时，1≠﹣1， 所以﹣1不是原方程的解． 所以方程x的解是x＝3； （3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m 设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m 因为BP+CP＝10， BP，CP ∴10 ∴10 两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣209+x2 整理，得54x+9 两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0 即（x﹣4）2＝0 所以x＝4． 经检验，x＝4是方程的解． 答：AP的长为4m． 58．（2025秋•龙华区校级期中）荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为 　（150﹣80）　 cm．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】见试题解答内容 【分析】任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：设裁掉正方形的边长为mcm，根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，设底面正六边形的边长为acm，纸盒的高为bcm，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形AGHF为矩形，可得GH＝AF＝a，从而得到，即可求解． 【解答】解：任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为x，根据题意得： 250（1+x）2＝360， ∴（1+x）2＝1.44； ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意舍去）， 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为20%； 任务2：设裁掉正方形的边长为mcm，根据题意得： （75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300， 解得：m1＝10，m2（不符合题意舍去）， 答：此时纸盒的高为10cm； 任务3：如图，记底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H， 设底面正六边形的边长为acm，纸盒的高为bcm， ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°， ∴△ABC为顶角为120°的等腰三角形，∠ABC＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， 由正六边形的性质可得BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AGB＝90°， ∴直角三角形ABG中，BGa，AGa， 同理直角三角形FHE中，HEa， ∵CG＝AGa，b+AG+GC+b＝75， ∴2ba＝75①， ∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°， ∴左侧小三角形为边长b的等边三角形， 根据图形的上下对称可得MN与长方形纸板的左右两边垂直， ∴BM为等边三角形的高， ∴BMb， 同理可得，EN＝BMb， ∵四边形AGHF为矩形， ∴GH＝AF＝a， ∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80， ∴2ab＝80②， 联立①②式可得b＝150﹣80， 故答案为：（150﹣80）． 题型十三 新定义问题 59．（2025秋•丹阳市校级期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0，且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　1或2　 ． 【答案】1或2． 【分析】根据题意得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，再结合“同伴方程”的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a+2b+c＝0， 所以此方程的两个实数根为x1＝1，x2＝2． 又因为该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”， 且方程（x+2）（x﹣n）＝0的两个实数根为x＝﹣2或x＝n， 则n＝1或2． 故答案为：1或2． 60．（2025秋•新吴区期中）对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据新定义得（2x）⊗1＝4x2﹣2x﹣1＝1，则2x2﹣x﹣1＝0得出或x＝1，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b＝﹣5，ab＝3，则（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得x2﹣5＝±（x+b），根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【解答】解：①由题意得，（2x）⊗1＝4x2﹣2x﹣1＝1， ∴2x2﹣x﹣1＝0， ∴（2x+1）（x﹣1）＝0， ∴或x＝1，故①正确； ②a⊗b＝a2﹣ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）﹣ab， ∵方程x2+5x+3＝0的解为a、b， ∴a+b＝﹣5，ab＝3， ∴a⊗b＝a2﹣ab﹣b2＝﹣5（a﹣b）﹣3， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝13，则 当时，， 当时，， ∴a⊗b的值为或，故②不正确； ③∵|2⊗（x﹣1）|＝|22﹣2（x﹣1）﹣（x﹣1）2|＝|﹣x2+5|，方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解， ∴x2﹣5＝±（x+b）， 当x2﹣5＝x+b时， ∴x2﹣x﹣（5+b）＝0， ∴Δ＝1+4（5+b）＝21+4b＞0， ∴． 当x2﹣5＝﹣（x+b）时， ∴x2+x﹣（5﹣b）＝0， ∴Δ＝1+4（5﹣b）＝21﹣4b＞0， ∴． ∴， 故③不正确； 综上，正确的有①，共1个． 故选：B． 61．（2025秋•梁溪区校级期中）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若x1＜x2＜0，且34，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论： ①方程x2+9x+14＝0是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0是“特根方程”，且方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝﹣1，则k的值为2或﹣1； ③若关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x﹣2m＝0是“特根方程”，则m有且只有一个整数解． 这三个结论中判断正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据“特根方程”的定义，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由方程x2+9x+14＝0得， x1＝﹣7，x2＝﹣2， 因为， 所以， 所以方程x2+9x+14＝0是“特根方程”． 故①正确； 因为x1、x2是一元二次方程2x2+（k+7）x+k2+3＝0的两个根， 则． 因为x1+x2+x1x2＝﹣1， 所以， 解得k＝﹣1或2． 当k＝﹣1时， 方程为2x2+6x+4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝﹣1， 所以， 则方程2x2+6x+4＝0不是“特根方程”， 所以k＝﹣1不满足题意． 故②错误； 由x2+（2﹣m）x﹣2m＝0得， 方程的两个根为﹣2和m． 当m＜﹣2时， ， 解得﹣8＜m＜﹣6， 则整数m的值为﹣7． 当﹣2＜m＜0时， ， 解得， 不存在整数m的值， 所以m有且只有一个整数解． 故③正确． 故选：C． 62．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　2或5　 ． 【答案】2或5． 【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【解答】解：x2﹣（n+4）x+3n+3＝0， （x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0， x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0， 解得：x1＝3，x1＝n+1， ∵y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×n＞0， 解得n， ∵n是正整数， ∴n＝1，2，3，4，5，6， ∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”， ∴3能被n+1整除或n+1能被3整除， ∴n＝2或5． 故答案为：2或5． 63．（2024秋•东台市期中）阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第15页，我们把b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用△表示，即Δ＝b2﹣4ac如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数． 例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x＝1，x2不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即Q（a，b，c）；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是 　　 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为 　﹣1或3　 ． （2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①； ②﹣1或3； （2）该方程的“关爱码”为或； （3）m﹣n＝2． 【分析】（1）①当m＝2 时，方程为x2﹣3x+2＝0，求得，于是得到结论； ②根据题意得到求得，解方程即可得到结论； （2）求得b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29，得到45＜4m+29＜89，其中完全平方数有49、64和81，解方程即可得到结论； （3）由于方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”是，方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码是，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）①当 m＝2 时，方程为 x2﹣3x+2＝0， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得m1＝﹣1，m2＝3 则当m＝﹣1或3时，若该全整根方程的“关爱码”是﹣1， 故答案为：﹣1或3； （2）∵x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0， ∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣3）]2﹣4×1×（m2﹣4m﹣5）＝4m+29， ∵4＜m＜15， ∴45＜4m+29＜89， 其中完全平方数有49、64和81， 当4m+29＝49 时，m＝5， 当4m+29＝64时， （不合题意）， 当4m+29＝81时，m＝13， 当m＝5时，原方程为x2﹣7x＝0， 则， 当m＝13时，原方程为x2﹣23x+112＝0， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； （3）方程 x2+（1﹣m）x+m+4＝0 的“关爱码”， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“关爱码， 由题意得：， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∴m+n＝0 或 m﹣n＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＝0不合题意， ∴m﹣n＝2． 64．（2025秋•南京月考）对于方程x3+3x﹣1＝0的根的情况，下列判断中正确的一项是（　　） A．该方程有且仅有一个实数根 B．该方程有且仅有两个实数根 C．该方程有且仅有三个实数根 D．该方程无实数根 【答案】A 【分析】先把三元一次方程转化为二次函数和反比例函数问题，根据交点情况得结论． 【解答】解：方程x3+3x﹣1＝0， 移项，得x3+3x＝1． 两边都除以x，得x2+3． ∵x2+3＞0， ∴0，x＞0． ∵y的图象在一、三象限，y＝x2+3的图象在第一、二象限内， ∴两个函数图象只有一个交点． 即方程x3+3x﹣1＝0有一个实数根． 故选：A． 65．（2025秋•邗江区期中）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝⋯，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣2x﹣1＝0，且x＜0，则x3+1的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用x2＝2x+1，得2x2+x+1＝2（2x+1）+x+1＝5x+3，结合x＜0，用一元二次方程求根公式得x＝1，从而代入计算可以得解． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，x＜0， ∴x1，且x2＝2x+1， ∴x3+1＝x•x2+1 ＝x（2x+1）+1 ＝2x2+x+1 ＝2（2x+1）+x+1 ＝5x+3， ∴x3+1＝5（1）+3 ＝8﹣5． 故选：B． 66．（2025秋•永川区期中）已知多项式M＝2x2﹣3x﹣2，多项式N＝x2﹣ax+3，则下列结论正确的有（　　） ①若M＝0，则代数式的值为﹣10； ②当a＝﹣3，x≥5时，代数式M﹣N的最小值为﹣10； ③当a＝0时，若M•N＝0，则关于x的方程有两个实数根； ④当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①把M＝0代入解方程； ②把a＝﹣3代入，再配方求最小值； ③把0代入求解； ④根据绝对值的意义求解． 【解答】解：①∵M＝2x2﹣3x﹣2＝0， 解得：x＝2，或x， ∴的值为：﹣10； 故①是正确的； ②当a＝﹣3时， M﹣N＝（2x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3） ＝x2﹣6x﹣5 ＝（x﹣3）2﹣14， ∴当x＝5时，M﹣N的最小值为﹣10， 故②是正确的； ③由题意得：MN＝（2x2﹣3x﹣2）（x2+3）＝0， 解得x＝2或x， 故③是正确的； ④当a＝3时， |M﹣2N+2|+|M﹣2N+15| ＝|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+2|+|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+15| ＝|3x﹣6|+|3x+7| ＝13， ∴， 解得：x≤2， 故④是错误的； 故选：C． 67．（2024秋•苏州校级期中）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【答案】A 【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：acb2，即可求解． 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝MEDEb， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°∠BAC， ∴∠BMC＝90°∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：acb2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 68．（2025•沭阳县三模）已知x、y满足3x+y＝1，（x＞0，y＞0），则的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】设k＝x，由x＞0，y＞0，可得出k＞0，由3x+y＝1，可得出y＝1﹣3x，将y＝1﹣3x代入k＝x，整理后可得出关于x的一元二次方程，由该方程有解，可得出Δ＝40k2﹣24k≥0，解之可得出k的取值范围，再取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：设k＝x， ∵x＞0，y＞0， ∴k＞0， ∵3x+y＝1， ∴y＝1﹣3x， 将y＝1﹣3x代入k＝x得：k＝x， 整理得：9x2+（2k﹣6）x+1﹣k2＝0， ∵关于x的一元二次方程9x2+（2k﹣6）x+1﹣k2＝0有解， ∴Δ＝（2k﹣6）2﹣4×9×（1﹣k2）＝40k2﹣24k≥0， ∵k＞0， ∴40k﹣24≥0， 解得：k， 即x， ∴x的最小值为． 故答案为：． 69．（2025•启东市一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，P是AB的中点．点M从A点出发以2cm/s向点C运动，点N从C点出发以2cm/s向点B运动，点Q是MN的中点，连接PQ．点M，N同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．当PQ的长是时，点M的运动时间为 　（2）　 s． 【答案】（2）． 【分析】以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），由点P是AB的中点，可得出点P的坐标为（4，3），当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点Q的坐标为（t，3﹣t），根据PQ＝2，可列出关于t的无理方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：以CB为x轴，CA为y轴，构造直角坐标系，则点B的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），如图所示， ∵点P是AB的中点， ∴点P的坐标为（4，3）． 6÷2＝3（秒），8÷2＝4（秒）， 当运动时间为t（0≤t≤3）秒时，点N的坐标为（2t，0），点M的坐标为（0，6﹣2t），点Q的坐标为（t，3﹣t）， 根据题意得：2， 整理得：t2﹣4t+2＝0， 解得：t1＝2，t2＝2， 经检验，t1＝2，t2＝2是所列方程的解，t1＝2符合题意，t2＝2不符合题意，舍去， ∴点M的运动时间为（2）s． 故答案为：（2）． 70．（2025春•永康市期中）如图，线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是 　（0，1）　 ，此时线段BQ的最小值为 　　 ． 【答案】（0，1），3． 【分析】证明△AOP≌△PTQ，得到Q（﹣t，t2），求出BQ，即可求解． 【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x＝2或4， ∵线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根， ∴OA＝2，OB＝4， ∴A（﹣2，0），B（﹣4，0），AB＝2， 设P（0，t），过点Q作QT⊥y轴于点T．则△AOP≌△PTQ， ∴OP＝QT＝t，OA＝PT＝2， ∴Q（﹣t，t+2）， ∵B（﹣4，0）， ∴BQ， ∵2＞0， ∴t＝1时，BQ的值最小，最小值为3，此时P（0，1）． 故答案为（0，1），3． 71．（2025•锦江区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点，△APB与△ABC的面积比为． （1）若PB＝3PC，则 　　 ； （2）的最小值为 　　 ． 【答案】； 【分析】（1）由三角形面积公式得S△APBPB•AC，S△ABCBC•AC，进而得S，再根据△APB与△ABC的面积比为得，则PB＝AC，设PC＝a，则PB＝AC＝3a，BC＝4a，由勾股定理分别求出AB＝5a，AP，据此可得的值； （2）设PC＝x，PB＝kx，则x＞0，k＞0，则BC＝kx+x，由（1）知PB＝AC＝kx，由勾股定理分别求出AB，AP，进而得，设，整理得（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0，显然这个关于k的一元二次方程有实数根，因此判别式（2y）2﹣4（2y﹣1）（y﹣1）≥0，整理得y2﹣3y+1≤0，解此不等式得，由此得y的最小值为，据此即可得出AP/AB的最小值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点， ∴S△APBPB•AC，S△ABCBC•AC， ∴， 又∵△APB与△ABC的面积比为， ∴， ∴PB＝AC， 设PC＝a， ∴PB＝3PC＝3a， ∴PB＝AC＝3a， ∴BC＝PB+PC＝4a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB5a， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP， ∴， 故答案为：； （2）设PC＝x，PB＝kx，其中x＞0，k＞0， ∴BC＝PC+PB＝kx+x， 由（1）可知：PB＝AC＝kx， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP， ∴， 设， 整理得：（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0， 显然关于k的一元二次方程（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0有实数根， ∴判别式（2y）2﹣4（2y﹣1）（y﹣1）≥0， 整理得：y2﹣3y+1≤0， 解此不等式得：， ∴y的最小值为， ∴的最小值为：． 故答案为：． 72．（2025春•淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝m（m＞2），点E是AD边上一定点，且AE＝2．在线段AB上找一点F，使△AEF与△BCF相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 　2＜m＜8且m≠6　 ． 【答案】2＜m＜8且m≠6． 【分析】根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 【解答】解：延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1，连接CE，以CE为直径作⊙O交AB于点F2、F3，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△AE′F1∽△BCF1， 由轴对称的性质可得：△AEF1≌△AE′F1， ∴△AEF1∽△BCF1， 当m＝4时， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝8， ∴ED＝AD﹣AE＝6， ∴CE10， 即图中⊙O的直径为5，作OG⊥CD于点G， 根据垂径定理，得CG＝DG， ∴OG∥AD，OGDE＝3， ∴此时图中所作⊙O的圆心到AB的距离为8﹣3＝5，等于⊙O的半径， 此时F2，F3重合， 此时△AEF2∽△BCF2，即当m＝4时，符合条件的F有2个，为F2，F1； 当m＞8时，图中所作⊙O和AB相离，此时F2，F3不存在了，即此时符合条件的F只有1个，为F1， 当m＝6时，且△AEF∽△BFC时， ∴， 设AF＝x， ∵AB＝8，BC＝6（m＞1），AE＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴， 解得x1＝2，x2＝6； 当△AEF∽△BCF时， ∴， 设AF＝x， ∵AB＝8，BC＝m（m＞1），AE＝2， ∴BF＝AB﹣AF＝8﹣x， ∴， 解得x＝2， 故m＝6时，符合题意的点F有两个， 故当2＜m＜8且m≠6有3个， 故答案为：2＜m＜8且m≠6． 73．（2025秋•梁溪区月考）如图，平行四边形ABCD中，点O为线段AC与BD的交点，若AB＝AC＝8，BC＝m，点E为线段AB上一点，且BE＝1，P点是线段BC上的一点．若在线段BC上有且只有两个点P使得△BEP与△COP相似，则m的值为　4或5　 ． 【答案】4或5． 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，当△BEP与△COP相似时，分或时，再结合一元二次方程根的情况即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴当或时，△BEP与△COP相似， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 设BP＝x，则PC＝m﹣x， 当时，， ∴x2﹣mx+4＝0， 当时，， ∴， ∵有且只有两个点P， ∴有两种情况， 第一种情况：x2﹣mx+4＝0有两个相等的实数根， ∴m2﹣16＝0． ∴m＝4或m＝﹣4． 又m＞0， ∴m＝4； 第二种情况：x2﹣mx+4＝0有两个不相等的实数根，且是它的一个根， ∴代入得：，又因为m＞0， ∴m＝5， 综上可知：m的值为4或5． 故答案为：4或5． 74．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线yx上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】先求出点A坐标，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0），可得△BNC∽△CMA，设点B（4m，3m），则OB＝5m，列出即，整理出方程x2﹣（4﹣4m）x+9m＝0，利用判别式确定m的取值范围，根据AB＝5﹣5m确定最值． 【解答】解：如图，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥x轴，垂足为N，设点C（x，0）， ∵点A在函数yx图象上，且点A的横坐标为4， ∴y3， ∴A（4，3）， OA＝5， 设点B（4m，3m），则OB＝5m， ∴AB＝5﹣5m， NC＝x﹣4m ∵∠ACB＝90°， ∴△BNC∽△CMA， ∴即， 整理得：x2﹣（4+4m）x+25m＝0， 点C在x轴上，方程必有实数解， ∴Δ＝（4+4m）2﹣100m≥0，即16m2﹣68m+16≥0， ∴4m2﹣17m+4≥0， 解得m≥4（舍去）或m， ∴m取最大值为， ∴AB＝5﹣5m＝5． （附加用解析法）点C是AB为直径的圆与x轴的交点，当圆与x轴相切时，半径最小，即AB最小， 5t+3t＝OA＝5，解得t， AB＝6t． 75．（2025春•徐汇区校级期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：（1，1）、、都是“倒数点”． （1）如果直线l1：y＝﹣x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”，记作点P，求直线l1的解析式以及点P的坐标； （2）求直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标； （3）如果直线l3：y＝kx+1上有两个“倒数点”，记作点T1，T2点O为坐标原点，当∠T1OT2为锐角时，求k的取值范围． 【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+2；P（1，1）； （2）直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标为（﹣1，﹣1），（，3）； （3）k的范围是k＜0． 【分析】（1）在y＝﹣x+b中，令y得：x+b，故x2﹣bx+1＝0，根据y＝﹣x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”，知x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，可得（﹣b）2﹣4＝0，解得b＝2或b＝﹣2（舍去），从而有直线l1的解析式为y＝﹣x+2；解x2﹣2x+1＝0，得x1＝x2＝1，知P（1，1）； （2）在y＝3x+2中，令y得：3x+2，解得x1＝﹣1，x2，可知直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标为（﹣1，﹣1），（，3）； （3）在y＝kx+1中，令y得：kx+1，去分母整理得：kx2+x﹣1＝0，而直线l3：y＝kx+1上有两个“倒数点”，故1+4k＞0，k；设kx2+x﹣1＝0的两根为α，β，则α+β，αβ，因α与同号，β与同号，∠T1OT2为锐角，可知T1（α，），T2（β，）都在第一象限或都在第三象限，当T1（α，），T2（β，）都在第一象限时，α+β＞0，αβ＞0，故0，解得k＜0，此时k的范围是k＜0；当T1（α，），T2（β，）都在第三象限时，α+β＜0，αβ＞0，这种情况不存在． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+b中，令y得：x+b， 去分母整理得：x2﹣bx+1＝0， ∵y＝﹣x+b（b＞0）上有且只有一个“倒数点”， ∴x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（﹣b）2﹣4＝0， 解得b＝2或b＝﹣2（舍去）， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2； 当b＝2时，x2﹣bx+1＝0即为x2﹣2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1， 经检验，x1＝x2＝1是x+2的解， ∴P（1，1）； （2）在y＝3x+2中，令y得：3x+2， 去分母整理得：3x2+2x﹣1＝0， 解得x1＝﹣1，x2， 经检验，x1＝﹣1，x2都是3x+2的解， ∴直线l2：y＝3x+2上的“倒数点”坐标为（﹣1，﹣1），（，3）； （3）在y＝kx+1中，令y得：kx+1， 去分母整理得：kx2+x﹣1＝0， ∵直线l3：y＝kx+1上有两个“倒数点”， ∴kx2+x﹣1＝0有两个不相等的实数解， ∴Δ＞0，即1+4k＞0， 解得k； 设kx2+x﹣1＝0的两根为α，β，则α+β，αβ， 不妨设T1（α，），T2（β，）， ∵α与同号，β与同号， ∴T1（α，），T2（β，）在第一象限或第三象限， ∵∠T1OT2为锐角， ∴T1（α，），T2（β，）都在第一象限或都在第三象限， 当T1（α，），T2（β，）都在第一象限时，α+β＞0，αβ＞0， ∴0， ∴k＜0， ∴此时k的范围是k＜0； 当T1（α，），T2（β，）都在第三象限时，α+β＜0，αβ＞0， 这与α+βαβ矛盾，这种情况不存在； 综上所述，k的范围是k＜0． 76．（2025秋•深圳期中）【定义新运算】对于非零实数a、b，定义运算“⊗”，满足． （1）计算：　　 ；关于x的方程2⊗（3x2）＝x+k有两个相等的实数根，则k＝　　 ； 【探究新运算】材料1、解关于x的一元二次方程：mx2＝2m（m≠0）， ∵m≠0，由等式的性质得：x2＝2，∴． （2）结合材料1，如果运算“⊗”满足（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c），求a的值． 【应用新运算】 （3）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，∠AEB+∠D＝180°，若BC＝a、BE＝c、CE＝b，求的值． 【答案】（1），； （2）a＝±1或a为任意实数； （3）1． 【分析】（1）第一个空直接根据新定义计算可得，第二个空根据Δ＝0，解关于k的方程可得； （2）利用新定义分别计算等号两边即可； （3）利用条件推出相似的三角形，根据相似三角形的对应边成比例，结合新定义，得出所求的值． 【解答】解：（1）⊗3， 2⊗（3x2）＝x+k， x+k， x﹣k＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k）＝0， ∴k， 故答案为：，； （2）∵（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）， ∴⊗c＝a⊗， ∴， ∴ac， ∴a2c＝c， 当c≠0时，a2＝1，a＝±1； 当c＝0时，a为任意实数； （3）∵在菱形ABCD中， ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠ABE＝∠BEC，∠C+∠D＝180° ∵∠AEB+∠D＝180°， ∴∠AEB＝∠C， ∴△ABE∽△BEC， ∴ 若BC＝a、BE＝c、CE＝b，所以AB＝BC＝a， ∴， ∴c2＝ab， 原式1． 77．（2025秋•南安市月考）阅读与应用：同学们，你们已经知道（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0．所以a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号）． 阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0，∵（）2≥0，∴a﹣2b≥0，∴a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）． 阅读2：若函数y＝x（m＞0，x＞0，m为常数）．由阅读1结论可知：x即x∴当x即x2＝m，∴x（m＞0）时，函数y＝x的最小值为2 阅读理解上述内容，解答下列问题： 问题1：若函数y＝a（a＞1），则a＝　4　 时，函数y＝a（a＞1）的最小值为　7　 ． 问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x），求当x＝　2　 时，矩形周长的最小值为　8　 ． 问题3：求代数式（m＞﹣1）的最小值． 问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】1、根据阅读材料内容解决问题即可； 2、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解； 3、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解； 4、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解． 【解答】解：1、由阅读1结论可知：把a﹣1看成一个整体， 当a＝4时，函数y＝a﹣11（a＞1）的最小值为7． 故答案为4、7． 2、设矩形周长为y，由题意，得y＝2（x）， ∵x2∴x4，当x即x2时，函数y＝2（x）的最小值为2×28． 故答案为2、8． 3、设y（m＞﹣1），（m+1）， 当m+1即m＝1时，y＝4． 答：代数式（m＞﹣1）的最小值为4． 4、根据题意，得 长方体的宽为米，∴y＝x•1202×2×80+80×2×2x＝480+320（x） 当x即x＝2时，函数y＝480+320（x）的最小值为1760， 答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1760元． 78．（2024秋•深圳期末）综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以﹣1，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作…得到了如下运算记录表： 选定小于1的正数 0.7 0.5 0.3 第1次运算结果 0.547722558 0.707106781 0.836660027 第2次运算结果 0.672515756 0.541196100 0.404153403 第3次运算结果 0.572262390 0.677350648 0.771911003 … … … … 第38次运算结果 0.618061094 0.617997417 0.617932544 第39次运算结果 0.618012059 0.618063575 0.618116054 第40次运算结果 0.618051729 0.618010053 0.617967593 根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：　0.618　 （保留3位小数）． ②随着运算次数的增加，C （从下列选项中选择）． A．运算结果越来越大 B．运算结果越来越小 C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为 　　 ，根据规律②可以构造一个方程：x　 （保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解．某小组成员将方程转化成x2+x＝1，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：S1＝ x2 ，S2+S3＝ x ，S4＝ 　　 ，整个正方形的面积S＝S1+S2+S3+S4，所以 　　 ，注意，开方后解得x＝ 　　 ． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：，，）． 【答案】【发现规律】0.618，C； 【验证规律】，x2，x，，，； 【应用规律】2.414，过程见解析． 【分析】【发现规律】①观察选的3个数第40次运算结果趋近的数为0.618；②多次运算的结果接近输入数； 【验证规律】输出的值构造方程为转化为x2+x＝1，构造正方形解得； 【应用规律】构造方程，即x2﹣2x＝1，构造正方形，解得，约2.414． 【解答】解：【发现规律】 ①选0.7的第40次运算结果0.618051729≈0.618， 选0.5的第40次运算结果0.618010053≈0.618， 选0.3的第40次运算结果0.617967593≈0.618， 任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：0.618； ②由①知，随着运算次数的增加，输入和输出的值越来越接近，选C； 故答案为：①0.618；②C； 【验证规律】 多次运算后某次运算输入值为x，则输出值为根据规律②可以构造一个方程：规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解， 某小组成员将方程转化成x2+x＝1，构造如图1的图形，利用面积来解方程， 计算4块区域的面积：，S2+S3xx＝x，， 整个正方形的面积S＝S1+S2+S3+S4， ∴x2＝1﹣x， ∴x2+x＝1， ∴， ∴， ∴， ∴， 取， 故答案为：，x2，x，，，； 【应用规律】 构造方程：，即x2﹣2x＝1， 构造图形： ，S2+S3＝2（x﹣1）＝2x﹣2，S4＝1， 整个正方形的面积S＝S1+S2+S3+S4， ∴x2＝（x﹣1）2+2x﹣1， ∴（x﹣1）2＝x2﹣2x+1＝2， ∴， ∵x＞0， ∴， ∴． 79．（2025春•北碚区校级月考）阅读下面材料：聪明的小张在学习完完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2后发现，当a＞0，b＞0时，，∵，∴a﹣2b≥0，∴a+b，当且仅当a＝b时，a+b取最小值． 例如：当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时，取最小值2．请利用上述结论解决以下问题： （1）若x＞0，当x＝ 　3　 时，式子有最小值为 　6　 ：若x＜0，求当x取何值时，式子3x有最大值，最大值为多少？ （2）若x＞1，当x取何值时，有最小值，请求出这个最小值； （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝CD，AC＝BD，当△AOB的面积为5时，求四边形ABCD面积的最小值，并直接写出此时四边形ABCD的形状． 【答案】（1）x＝3时最小值为6；当时，最大值为； （2）时，最小值为； （3）最小值为20，此时四边形为矩形． 【分析】（1）根据示例，得到4x+≥4，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，（x+2）+≥2，得到最小值； （3）设S△COB＝m，利用△COB与△COD中OB和OD边上的高相等，△AOB与△AOD中OB和OD边上的高边上的高相等，得到：，最后利用（2）的结论，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意，当x＞0时，， ∴当且仅当，即x＝3时取最小值6； 当x＜0时，设t＝﹣x（t＞0）， ∴． 又∵， ∴当且仅当，即时取最小值， ∴原式最大值为，此时； 故答案为：3，6； （2）由题意，设t＝x﹣1（t＞0）， ∴x＝t+1， ∴， 又∵， ∴当且仅当，即时取最小值，此时，最小值为； （3）∵AC＝BD，AB＝CD，AD＝DA， ∴△ABD≌△DCA（SSS）， ∴S△ABD＝S△DCA， ∴S△AOB＝S△DOC， ∵S△AOB＝5， ∴S△COD＝5， 设S△COB＝m， 根据题意可得：， ∴， 解得S△AOD， ∴S四边形ABCD＝5+5+m10+m， 由（2）可知，m210， 当m时，即m＝5， 此时，S△COB＝S△COD＝S△AOD，即OA＝OB＝OC＝OD， ∴S四边形ABCD≥10+10＝20， ∴四边形ABCD面积的最小值为20； 此时，S△COB＝S△COD＝S△AOD，即OA＝OB＝OC＝OD， 此时四边形ABCD为矩形． 4 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $