作业3 不等式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　已知a>b>0,求a2+的最小值. 【思路点拨】　待求式含有两个字母,但缺少定值条件,注意到待求式中的次数,一个是二次,一个是负二次,因此要向着ax+的结构方向发展,于是对目标式进行拆项. 【解析】　方法一　由于a2+中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,且a>b>0,则b(a-b)≤=,这样就消去了字母b,因此a2+≥a2+≥4,当且仅当b=a-b,a2=,即a=,b=时取等号,故a2+的最小值为4. 方法二　注意到b+(a-b)=a, 因此考虑用[b+(a-b)]2=a2,则a2+=[b+(a-b)]2+≥4b(a-b)+≥4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)=,即a=,b=时取等号. 故a2+的最小值为4. 方法三　令a-b=t,则t>0,则a2+=(b+t)2+≥4bt+≥2=4,当且仅当b=t,4bt=,即b=t=,a=时取等号. 故a2+的最小值为4. 【名师点睛】　多次应用基本不等式求最值时,要注意每次取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件一致,方可求其最值.也可以利用条件将所求式变形成只利用一次基本不等式即可求最值的形式. 一、选择题 1.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 (　　) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确 2.不等式x2+x-2>0的解集为 (　　) A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|x<-1或x>2} 3.已知a>b>0,c>d>0,则 (　　) A.<　　　　　 B.> C.≤ D.≥ 4.已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点且关于直线x=2对称,且在[0,2]上y随x的增大而增大,则y≥0的解集是 (　　) A.[0,+∞) B.(-∞,0) C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞) 5.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,再作关于x轴对称的图象,得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的方程是 (　　) A.y=-- B.y=-- C.y=-- D.y=-+ 6.已知不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2},则a+b= (　　) A.-4 B.0 C.2 D.4 7.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则 (　　) A.+的最大值为4 B.ab的最大值为 C.+的最大值为 D.a2+b2的最小值是 二、填空题 8.若当x>2时,不等式a≤x+恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  9.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为　　　　.  三、解答题 10.已知一元二次函数的图象经过(1,4),(2,1),(0,1)三点,求这个一元二次函数的解析式. 11.某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已经2021年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将2021年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数; (2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大? 作业3　不等式 【知能训练】 1.ACD　解析:因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“≤”表示,故选项A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故选项B错误;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2 ,故选项C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故选项D正确.故选ACD. 2.C　解析:由x2+x-2>0可得(x+2)(x-1)>0, 所以x<-2或x>1, 故不等式的解集为{x|x<-2或x>1},故选C. 3.B　解析:因为c>d>0, 所以>>0,又a>b>0, 所以>>0,则>. 4.C　解析:由已知得在[2,4]上,y随x的增大而减小,且x=4时,y=0,作出函数的大致图象,如图所示,由图可知,当0≤x≤4时,y≥0. 5.B　解析:y=x2+5x+6=-,函数图象的顶点坐标为,将函数图象作关于x轴的对称变换后,顶点坐标变为,开口方向向下,抛物线的形状没有发生变化. 因此,变换后的函数解析式为y=-+,再将其函数图象向下平移3个单位长度,得到y=--的图象. 6.A　解析:方法一　由不等式的解集为{x|-3<x<2}易知a<0,且方程ax2+bx+12=0的两根为x1=-3,x2=2,由根与系数的关系可得解得所以a+b=-4. 方法二　由已知可得x1=-3,x2=2为方程ax2+bx+12=0的两个实数根,且a<0,代入得解得所以a+b=-4. 7.BC　解析:+=+=2++≥4,当且仅当a=b=时等号成立,故A错误;ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立,故B正确;≤=,即+≤,当且仅当a=b=时等号成立,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,当且仅当a=b=时等号成立,故D错误. 8.(-∞,2+2]　解析:因为x>2,所以x-2>0,则x+=x-2++2≥2+2,当且仅当x=2+时等号成立,所以a≤2+2. 9.[4,12]　解析:∵2xy=6-(x2+4y2),且2xy≤,∴6-(x2+4y2)≤,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号). 又(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12. 10.解:设所求一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意,得解得 所以这个一元二次函数的解析式是y=-3x2+6x+1. 11.解:(1)由题意,可知当m=0,x=1,∴1=3-k,解得k=2,∴x=3-,又每件产品的销售价格为1.5×元,∴y=x(1.5×)-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0). (2)∵m≥0,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时等号成立, ∴y≤-8+29=21,∴ymax=21. 故该厂家2021年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元. 学科网（北京）股份有限公司 $