作业8 椭圆-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.定义:平面上到两个定点F1,F2的　　　　　　　　的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的　　,　　　　　　　　　　　　叫作焦距.  2.标准方程: (1)焦点在x轴上: 　. (2)焦点在y轴上: 　. 3.椭圆+=1(a>b>0)的几何性质: (1)范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b. (2)对称性:①对称轴:　　　　.  ②对称中心:　　　　.  (3)顶点:　　　　.  (4)离心率:e=　　　　.  【例题】　已知椭圆+=1中,点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的焦点,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为　　　　.  【思路点拨】　 椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF1|,|PF2|的方程→联立求解|PF1|→求三角形的面积 【解析】　由+=1可知a=2,b=,所以c==1,从而|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2, 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|　①. 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4　②. 联立①②可得|PF1|=. 所以=|PF1||F1F2|sin∠PF1F2=××2×=. 【答案】　 【思维升华】　 　关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式,进一步探究可求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等. 一、选择题 1.椭圆+=1的长轴长是 (　　) A.3　　B.6 C.9 D.4 2.已知F1,F2是两个定点,且=2a(a是正常数),动点P满足+=a2+1,则动点P的轨迹是 (　　) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线 3.已知椭圆+=1的离心率为,则= (　　) A. B. C. D. 4.已知椭圆C:+=1(a>0)的短轴长和焦距相等,则a的值为 (　　) A.1 B. C. D. 5.已知曲线C:+=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F1作椭圆的弦AB,若△AF2B的周长为8,椭圆的离心率e=,则椭圆的方程是 (　　) A.+=1 B.+x2=1 C.+y2=1 D.x2+=1 7.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　) A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个 8.(多选)已知椭圆M:+=1的左右焦点分别为F1、F2,左右顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任意一点,则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2周长为10 B.△PF1F2面积最大值为10 C.存在点P满足∠F1PF2=90° D.若△PF1F2面积为4,则点P横坐标为± 二、填空题 9.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=120°,则椭圆离心率的取值范围为　　　　.  10.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　.  11.已知椭圆的焦距是8,椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16,则椭圆的标准方程是 　 　.  三、解答题 12.求以坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和B(,)的椭圆的标准方程. 13.设①离心率e=,②椭圆C过点,③△PF1F2面积的最大值为,在这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,并作答. 问题:设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,已知椭圆C的短轴长为2,　　　　,求椭圆C的方程.  14.已知椭圆的两个焦点坐标分别是,,并且经过点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,M为AB中点,求直线OM斜率. 作业8　椭圆 知识梳理 1.距离之和为常数(大于|F1F2|)　焦点　两个焦点之间的距离|F1F2|　2.(1)+=1(a>b>0)　(2)+=1(a>b>0)　3.(2)①坐标轴　②原点　(3)(±a,0),(0,±b)　(4) 知能训练 1.B　由椭圆方程知a=3,故长轴长为6.故选B. 2.C　因为a2+1≥2a (当且仅当a=1 时,等号成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,当a>0 且a≠1 时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时动点P的轨迹是椭圆;当a=1 时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时动点P 的轨迹是线段F1F2.故选C. 3.D　因为e===,则8a2=9b2,所以=.故选D. 4.A　由题设易知b=c,即有a2+1-a2=a2,可得a=1.故选A. 5.C　若曲线C是椭圆,则有 ,解得a>0,且a≠2, 故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.故选C. 6.D　由椭圆的定义知++=4a=8,所以a=2,又因为e==,所以c=,b2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为x2+=1.故选D. 7.D　由题意可得>2,即m2+n2<4, ∴点P(m,n)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点, ∵椭圆的长半轴为3,短半轴为2, ∴圆m2+n2=4内切于椭圆,∴点P是椭圆内的点, ∴过点P(m,n)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选D. 8.BD　由题意a=5,b=2,c=,F1(-,0),F2(,0),短轴一个端点B2(0,2), 由题知+=2a=10,故△PF1F2周长为10+2,故A错误; 利用椭圆的性质可知△PF1F2面积最大值为10,故B正确; 因为tan∠OB2F2===<1,所以0°<∠OB2F2<45°,从而∠F1B2F2=2∠OB2F2<90°,而P是椭圆上任一点时,当P是短轴端点时∠F1PF2最大,因此不存在点P满足∠F1PF2=90°,故C错误; 因为==·=4,=4, 则+=1,xP=±,故D正确.故选BD. 9.≤e<1 解析:设α=∠F1PF2,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 由余弦定理,得:cosα==-1=-1. 又·≤=a,当且仅当==a时,·取最大值, 于是cosα≥-1, 所以cos120°=-≥-1⇒≤⇒e2=1-≥ 又0<e<1,∴≤e<1. 10.∪ 解析:因为方程+=1表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以有3>m2-2m>0,解得-1<m<0,或2<m<3. 11.+=1或+=1 解析:由题设,2c=8,2a=16,则a=8,c=4,而b2=a2-c2=48,所以椭圆的标准方程是+=1或+=1. 12.解析:令椭圆方程为+=1,所以,可得,故椭圆的标准方程为x2+=1. 13.解析:由题设,2b=2,即b=, 选①:则,可得a=2,则椭圆方程为+=1; 选②:则+=+=1,可得a2=4,则椭圆方程为+=1; 选③:则,可得a2=4,则椭圆方程为+=1. 14.解析:(1)由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为+=1, 由椭圆定义知c=2, 2a=+=2,所以a=,所以b2=a2-c2=10-4=6, 所求椭圆标准方程为+=1. (2)设直线与椭圆的交点为A,B, 联立方程,得8x2+10x-25=0, 得x1+x2=-,x1x2=-. 设AB的中点M坐标为,则x0==-,y0=,所以kOM=- . 学科网（北京）股份有限公司 $