寒假作业(八) 椭圆-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作 温故知=新 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F,,F2的距离的和 等于常数（大于|F,F2|)的点的轨迹叫做 椭圆.这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 一半称为 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 a b =1 =1 (a>b>0) (a>b>0) 图形 焦点 与 与 a,b,c 的关系 3.椭圆的简单几何性质 焦点的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 位置 B 图形 B6B2 B 23 业（八） 椭圆 标准 方程 (a>b>0) (a>b>0) 短轴长|B1B2|= ,长轴长 轴长 |A1A2= 焦点 焦距 |F1F2|=2C -a≤x≤a且 -b≤x≤b且 范围 -b≤y≤b a≤y≤a 对称轴为 ,对称中心 对称性 为 顶点 离心率 e=C(0<e<1) a 一精典题练 1.已知点M是平面a内的动点，F,F2是 平面a内的两个定点，则“点M到点F, F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹 是以F1,F2为焦点的椭圆”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.椭圆5十01的焦点坐标是( A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,士12) D.(士12,0) 3.若直线)=x十2与桶图需+苦-1有两 个公共点，则的取值范围是() A.(-∞，0)U(1,+∞) B.(1,3)U(3,+o) C.(-∞，-3)U(-3,0) D.(1,3) 4.已知P为椭圆C上一点，F,,F2为椭圆 的焦点，且|F,F2|=2√3，若|PF,|与 |PF,的等差中项为F,F2|,则椭圆C 的标准方程为 ) 吉+苦-1或号+=1 c+= _y2 4845 5.如图所示，把椭圆 P.PP.Psp +若=1的长轴AB 分成8等份，过每个 分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 P,,P2,…,P,七个点，F是椭圆的左焦 点，则PF+P,F十…+|P,F= ( A.35 B.30 C.25 D.20 6设e是稀圆宁+苦=1的离心率，且 e∈（分，l小，则实数的取值范围是 A.(0,3) B3) C.(0,3)U(9,+∞) D.(0,2) ·2 7.(多选)已知点M(1,0),A,B是椭圆 y2=1上的动点，当MA·BA取下列哪些 值时，可以使MA·MB=0 ( A.3 B.6 C.9 D.12 8.(多选)下列说法中错误的是 A.已知F1(一4,0)，F2（4,0),平面内到 F,F2两点的距离之和等于8的点的 轨迹是椭圆 B.已知F(一4,0)，F,(4,0),平面内到 F,,F,两点的距离之和等于6的点的 轨迹是椭圆 C.平面内到点F1(一4,0)，F2(4,0)两点 的距离之和等于点M(5,3)到F,,F 的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F（一4,0)，F2(4,0)距离 相等的点的轨迹是椭圆 9.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， 离心率为号，且过P(一5,4，则椭圆的 标准方程为 10过循阙号+誉-1的右焦点F作一条斜 4 率为2的直线与椭圆交于A,B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为 1.已知精圆兰+若=1(a>b>0)的焦点 分别是F(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b. (1)求椭圆的标准方程： (2)设点P在这个椭圆上，且PF,一 13.设五，R分别是椭圆E:三 PF2|=1,求∠FPF2的余弦值. 十方=1(a>6 >0)的左、右焦点，过点F,的直线交椭 圆E于A,B两点，AF|=3FB. (1)若|AB=4,△ABF。的周长为16， 求AF2; 12.设直线y=x+b与椭圆号十y=1相交 于A,B两个不同的点. (1)求实数b的取值范围； (2)若cos∠AF,B= ，求楷圆E的离 心率. (2)当b=1时，求AB. ·25·解得m=0, n=-1. 即C(0,-1) 故圆心C到直线3x十4y一11=0的距离 d=-4-1L=3, /9+16 所以圆C的半径的平方，2=2+AB 4 =18. 故圆C的方程为x2+(y+1)2=18. 12.解：设两圆的交点坐标分别为A(x1,y1), B(x2,y2), 则A,B的坐标是方程组 x2+y2=1, 的解， x2+y2-2x-2y+1=0 两式相减得x十y-1=0. 因为A,B两点的坐标满足x十y一1=0， 所以AB所在直线方程为x十y一1=0， 即C,C2的公共弦所在直线方程为x十y 1=0, 圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离 d=,由条件知，2-=25-号-23 √2 4241 所以直线AB被圆C3藏得的弦长为2X√2图 2 =√23. 13.解：(1).圆C:x2+y2-4x=0, .圆心C(2,0),r=2, 2 圆心C到直线距离d1= =1, 12+(-5)2 .|AB=2√r2-d=25. (2)①当直线为x=4时，与圆相切，符合 题意. ②当斜率存在时，设斜率为k, .直线方程为y一4=k(x一4)， 即kx-y十4-4k=0, 圆心C到直线距离d2= 12k+4-4k √Wk2+1 =12k-41 √k2+1 ,直线与圆相切， d2=,即2k二4=2k=3 W2+1 ∴.直线方程为3x一4y十4=0， ∴.综上可知，切线方程为x=4或3x-4y十4 =0. ·5 高二数学寒假作业（八）椭圆 温故知新 1.两个定点两焦点间的距离半焦距 2.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)a2- 3.2b2aF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c), F2(0,c)坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 精典题练 1.C[若，点M到点F1,F2的距离之和恰好为 F1,F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是 椭圆，所以前者不能推出后者.根据椭圆的定 义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数 2a,所以后者能推出前者，故前者是后者的必 要不充分条件，故选C.] 2.C[由标准方程知，椭圆的焦，点在y轴上，且 c2=169-25=144,∴.c=士12，故焦点为(0， 士12).] y=x+2, 8B法+号-1 消去y,整理得(3十m)x2十4mx十m=0. 若直线与椭圆有两个公共点， 3十m≠0， 则 △=(4m)2-4m(3+m)>0, 解得m≠-3， m<0或m>1. 由十1表示椭圆，知m>0且m≠3， 综上可知，m>1且m≠3，故选B.] 4.B[.2c=|F1F2|=23,∴.c=√3， .2a=|PF1|+|PF2|=2F1F2|=4√3， ∴.a=2√3. .b2=a2-c2=9. 故箱司C的标准方程是后+号=1成号+苦 =1.] 5.A[设椭圆右焦点为F(图略)，由椭圆的对 称性，知|P1F=P2F|,P2F|=P6F|, |P3F=|P5F|,所以原式=(|P?F|+ 1P?FI)+(IP6F|+IP6F1)+(|P5F|+ |P5F)+|P4F|=7a=35.] 6.C[当0<k<4时e=名- 写（合： 即2号1→1<4. 2 即0<k<3. 当>4时=-e(合，1， a√R <1→0<黄<子>9 综上，实数k的取值范围为(0,3) u(5+∞门 7.ABC[设A(xo,yo),且MA·MB=0. 因为MA·BA=MA·(BM+MA)=MA2+ MA.BM=MA2=(x0-1)2+y6, 将A点坐标代入桃国，得平+后=1， 所以6=1二，代入上式可得MA·BA日 a1+1- 2-2x0+2 -号}+号-2 所以Mi.Bim=号.(i·Bi=9, 对照选项，MA·BA可以取ABC.] 8.ABD[A中，|F1F2|=8,则平面内到F1,F2 两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段， 所以A错误；B中，到F1,F2两点的距离之和 等于6，小于|F1F2|,这样的轨迹不存在，所 以B错误；C中，点M(5,3)到F1,F2两点的 距离之和为√(5十4)2+32+√(5-4)2+32= 4√10>|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分 线，所以D错误.故选ABD.] +1[=后- a 5 、、2b之1 a2- 5 ∴.5a2-5b2=a2,即4a2=52. 设精圆的标准方程为兰+5y 7+7=1a>0. 椭圆过点P(一5,4)， 25+5X16=1. 4a2 ·51 解得。一4板占满周的标准方室为若+需 =1.] 10.3 [由已知可得直线方程为y=2x一2，联立 方程组 大f-1、 5 y=2x-2, 解得A0,-2,B(号号 .S△A0B= oa-8=号] 11.解：(1)由题意，知c2=1,又c2=a2-b2,且 3a2=4b2, 所以心a2=1,即=1， 所以a2=4,b2=3, 故箱围的标准方程为苦+号 4 =1. (2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|十PF2 =2a=2×2=4.又|PF1|-PF2|=1, 所以PF-号PF-多 又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得 +()-2 cos∠F1PF2 3 51 故∠F1PF的余弦值等于号 12.解：(1)将y=x+6代入 2+y2-1, 消去y并整理， 得3.x2+4hx+2b2-2=0.① 因为直线y=x+6与精圆号十2=1相交 于A,B两个不同的点，所以△=16b2-12 (2b2-2)=24-8b2>0, 解得-√3<b<√5. 所以b的取值范围为（一√3，W3) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当b=1时，方 程①为3x2十4x=0. 4 解得x1=0,x2=一 3 所以y1=1,y2=一 1 3 所以|AB|=√(x1一x2)2+(y1一y2)2 =4② 3 13.解：(1)由AF1=3F1B,AB=4, 得AF1=3,FB=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1+|AF2|=2a=8. 故AF2|=8-3=5. (2)设|F1B引=k,则k>0且|AF1|=3k, AB=4k. 由椭圆定义可得，AF2|=2a-3k,BF2|= 2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得， 1AB|2=|AF2|2+|BF212-2|AF2|· BF2|·cos∠AF2B, 即4k2=(2a3k2+(2u-2-号(2a 3k)·(2a-k). 化简可得(a十k)(a一3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此BF22=|F2A2+|AB2, 可得F1A⊥F2A, 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c三2、 所以椭圆E的离心率e=S=② a 2 高二数学寒假作业（九）双曲线 温故知新 1.(1)差的绝对值F1F2|(2)F1,F2 (3)两焦点间 2.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c) a2+2 3.x≤-ax≥aRy≤-ay≥aR 坐标轴原点A1(一a,0),A2(a,0)A1(0, -a),A2(0,a)A1A22aB1B22b a6名4，十∞）=士会=士8. 精典题练 1.D[由题意知，轨迹应为以A(一5,0)，B(5, 0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知 b2=16, 加点的锐花方红为号治-6≥.门 2.B[因为ab<0,方程可化为+y2=1, 5 :b<0,方程表示的曲线为焦点在y轴上的 a 双曲线，故选B.] 3.C[由题意得双曲线的离心率e=a+亘 a >1.01.11+3<2. .l<e<√2.故选C.] 4.A[双曲线C的渐近线方程为岩=0，又点 P2,D在C的近线上，所以号是=0，即 a2=4b2①. 又a2+b2=c2=25②. 由①②，得b2=5,a=20,所以双曲线C的方 程为号苦-1，故选A门 5.A[根据双曲线的方程得2a=2×5=10,由 定义知|PF1-12|=10,可解得|PF|=22 或2，故选A.] 6.B[由题意得：|PF2|=|F2F1I,P点满足 茶-1ay-0 c2_y2 ∴2c=2-a,由于C=√a2+6,即2ac= 6=2-,2=e-义e>0,te=1 +√2.] 7.BC[当0<0K受时，sin9>0,cos0>0,但当 0=平时，sin0=cos日>0表示圆，故A错误： 当日=受时，c0s=0,方程无意义，所以不表 示任何图形，故B正确：当受<Kx时，si血日 >0.0s00,所以不论受<0<经还是经<0 4 <π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所 以C正确，D错误，故选BC.] 8,BD两方程均化为标准方程为￥-{一】 2=1 和二-兰-1，这里均有2-4+9=13，所以有 9 4 相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在 y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐