作业13 二项式定理-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.二项式定理: (1)(a+b)n=　　　　　　　　　　　　;  (2)右边的多项式叫作(a+b)n的　　　　,一共有　　　　项;  (3)各项的系数　　　　(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数;  (4)式中的　　　　叫作二项展开式的通项,用　　　　表示,即通项为展开式的第r+1项,即　　　　.  2.二项式系数的性质: (1)对称性:关于直线r=　　　　对称;  (2)单调性和最大值:二项式系数先增后减,　　　　最大.  (3)二项式系数和:+++…+=　　　　.  【例题】　(1-)6(1+)4的展开式中含x的项的系数是 (　　) A.-4　　　　　　 　B.-3 C.3 D.4 【解析】　解法一　(1-)6的展开式的通项为Tm+1=(-)m=(-1)m,(1+)4的展开式的通项为Tn+1=()n=,则(1-)6(1+)4的展开式的通项为Tm+1Tn+1=(-1)m,其中m=0,1,2,…,6,n=0,1,2,3,4. 令+=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中含x的项的系数等于·(-1)0·+·(-1)1·+·(-1)2·=-3. 解法二　(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x). 于是(1-)6(1+)4的展开式中含x的项的系数为·1+·(-1)1·1=-3. 【答案】　B 【思维升华】　 　对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,避免重复或遗漏.注意解法二仅适用于幂指数较小的二项式乘积的展开式,而解法一的双通项法是解决此类问题的通法. 一、选择题 1.在(1-2x)4的展开式中,x的系数为 (　　) A.4 B.-4 C.8 D.-8 2.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,含x5的项的系数是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.11 3.已知x(x-2)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,则a0+a1+a2+…+a8= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等,则n为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 5.在的展开式中,所有二项式系数和为64,则n为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 6.设二项式的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为S,若P+S=272,则n= (　　) A.4 B.5 C.6 D.8 7.(多选)关于的展开式,下列判断正确的是 (　　) A.展开式共有8项 B.展开式的各二项式系数的和为128 C.展开式的第7项的二项式系数为49 D.展开式的各项系数的和为67 8.(多选)已知的展开式中二项式系数之和为1024,则下列说法正确的是 (　　) A.展开式中奇数项的二项式系数和为256 B.展开式的各项系数之和为1024 C.展开式中常数项为45 D.展开式中含x15项的系数为45 二、填空题 9.的展开式中常数项为　　　　(用数字作答).  10.在二项式 的展开式中, 系数为有理数的项的个数是　　　　.  11.(1+x)2(1+2y)3的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(2,1)+f(1,2)=　　　　.  三、解答题 12.已知=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值; (2)求a0+a1+a2+…+an的值. 13.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第3项与第4项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1024. 问题:在的展开式中,　　　　　　.  (1)求n的值; (2)求展开式中所有的有理项. 注:如果选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分. 14.已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240. (1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数; (2)求展开式中系数最小的项. 作业13　二项式定理 知识梳理 1.(1)an+an-1b+…+an-rbr+…+bn　(2)二项展开式　n+1　(3)　(4)an-rbr　Tr+1　Tr+1=an-rbr 2.(1)　(2)中间项　(3)2n 知能训练 1.D　由题意得x的系数为13=-8.故选D. 2.C　因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6中只有(1+x)5和(1+x)6中含x5的项,(1+x)5的含x5的项为x5,(1+x)6的含x5的项为x5,所以(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中含x5的项的系数是1+=7.故选C. 3.B　依题意,当x=2时,a0+a1+a2+…+a8=2×(2-2)7=0.故选B. 4.A　由已知可得=,所以n=1+5=6.故选A. 5.B　由题意可得2n=64,解得n=6.故选B. 6.A　令x=1可得展开式的各项系数的和为P=4n,二项式系数的和为S=2n,因为P+S=272,所以4n+2n=272,解得2n=16,即n=4.故选A. 7.ABD　展开式共有7+1=8项,故A正确.展开式的各二项式系数的和为27=128,故B正确.展开式的第7项的二项式系数为==7,故C错误.展开式的各项系数的和为=67,故D正确.故选ABD. 8.BCD　因为的展开式中二项式系数之和为1024, 所以2n=1024,得n=10,所以二项式展开式的通项为Tr+1==·,对于A,展开式中奇数项的二项式系数和为×1024=512,所以A错误;对于B,因为的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等,所以展开式的各项系数之和为1024,所以B正确;对于C,令20-r=0,解得r=8,所以展开式中常数项为=45,所以C正确;对于D,令20-r=15,解得r=2,所以展开式中含x15项的系数为=45,所以D正确.故选BCD. 9.15 解析:展开式的通项为Tr+1=x6-rx-2r=x6-3r.要求常数项,只需r=2,则有T3==15. 10.6 解析:二项展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,2,…,11,第r+1项的系数为,当11-r=0,2,4,6,8,10,即r=1,3,5,7,9,11时,系数为有理数,这样的项的个数为6. 11.30 解析:含有x2y的项为x2··=6x2y,则f(2,1)=6;含有xy2的项为x··=24xy2,则f(1,2)=24;则f(2,1)+f(1,2)=30. 12.解析:(1)由题意,结合二项式系数的性质可得,2n=32,解得n=5. (2)在展开式中令x=1,得-1=a0+a1+a2+…+an, 即a0+a1+a2+…+an=-1. 13.解析:(1)选条件①:由题意,前三项的二项式系数之和为++=16,即1+n+=16,故n2+n-30=0,因为n>0,故n=5. 选条件②:由题意,=,故=,解得n=5. 选条件③:令x=1有4n=1024,解得n=5. (2)由题意,的通项为Tr+1==3r·,故当r=2,5时为有理项,分别为T3=32·x6=90x6,T6=35·x10=243x10,故有理项有90x6与243x10. 14.解析:(1)令x=1,则展开式中各项系数之和为(5-1)n=4n,各二项式系数和为2n,则4n-2n=240,解得n=4. 二项式的展开式的通项为Tr+1=(5x)4-r=·54-r(-1)r,令4-∈Z,且r=0,1,2,3,4,解得r=0,2,4,则展开式中含x的有理项有3项. (2)由Tr+1=·54-r(-1)r(r=0,1,2,3,4)可知,只需比较r=1,3时系数最小即可,当r=3时,T4=·5·(-1)3=-20;当r=1时,T2=·53·(-1)·=-500,故展开式中系数的最小的项为T2=-500. 学科网（北京）股份有限公司 $