作业2 等差数列-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于　　　　,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的　　　,公差通常用字母　　　表示.  2.等差数列的通项公式an=　　　　　　　　　　.  3.等差中项 在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则M称为a与b的　　　　.  4.等差数列{an}的前n项和的公式 (1)Sn=　　　　　　　　.  (2)Sn=　　　　　　　　.  【例题】　若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q=　　　　.  【解析】　方法一　设{an}的公差为d,∵ap=aq+(p-q)d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d. ∵p≠q,∴d=-1. ∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. 方法二　∵数列{an}为等差数列,∴点(n,an)在一条直线上.不妨设p<q,记点A(p,q),B(q,p),则直线AB的斜率k==-1.如图所示,由图易知|OC|=p+q,即点C的坐标为(p+q,0),故ap+q=0. 【答案】　0 【思维升华】　利用一次函数的性质解等差数列问题的思路 1.等差数列的图象是同一条直线上的一系列孤立的点,因此涉及等差数列中的项、过两点的直线的斜率及数列的单调性的问题,利用多点共线可快速求解. 2.若a,b,c成等差数列,公差为d(d≠0),且(a,l),(b,m),(c,n)三点共线,则==k(k为常数),所以m-l=n-m=kd,那么l,m,n成等差数列.反之,若a,b,c;l,m,n两组数都成等差数列,则点(a,l),(b,m),(c,n)必共线. 一、选择题 1.若a、b、c成等差数列,则 (　　) A.2b=a+c　　　　　B.2b=ac C.b2=a+c D.b2=ac 2.已知等差数列中,a1=2,S3=9, 则该数列的公差为 (　　) A.-2 B.1 C.-2或 1 D. 3.已知数列是等差数列,a6=5,a3+a8=15,则a9的值为 (　　) A.15 B.-15 C.10 D.-10 4.设Sn是数列的前n项和,若Sn=n2+2n,则a5= (　　) A.-21 B.11 C.27 D.35 5.设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则 (　　) A.d<0 B.d>0 C.a1d>0 D.a1d<0 6.《算法统宗》是中国古代数学名著,书中有这样一个问题:九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次弟,孝和休惹外人传.意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第二个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明,使孝顺子女的美德外传.据此,前五个孩子共分得的棉花斤数为 (　　) A.362 B.430 C.495 D.645 7.如果等差数列{an}中,a1=-11,-=2,则S11= (　　) A.-11 B.10 C.11 D.-10 8.(多选)数列是递增的等差数列,前n项和为Sn,满足a2=4a5,则下列选项正确的是 (　　) A.a1<0 B.a6<0 C.S2=S9 D.Sn>0时,n的最小值为11 二、填空题 9.已知a1=0,an+1=an+2n-1,则通项an=　　　　.  10.已知等差数列满足a1=5,公差d=-2,则当的前n项和最大时,n=　　　　　　　　.  11.已知3个等差数列{an},{bn},{cn},其中数列{cn}的前n项和记为Sn,已知an·bn=Sn,写出一组符合条件的{an}与{bn}的通项公式　　　　　　　　　　　　.  三、解答题 12.在等差数列中,a4-a1=6,3a2+2a3=19,Sn为的前n项和. (1)求的通项公式; (2)求Sn. 13.已知是等差数列,a4+a6=8,其前5项和S5=40. (1)求的通项公式an; (2)求前n项和Sn的最大值. 14.设数列是等差数列,已知a1=1,公差为d,Sn为其前n项和,且S1,S3,S9成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设bn=,证明:数列的前n项和Tn<. 作业2　等差数列 知识梳理 1.同一个常数　公差　d　2.a1+(n-1)d　3.等差中项 4.(1)　(2)na1+d 知能训练 1.A　因为a、b、c成等差数列,则b-a=c-b,可得2b=a+c.故选A. 2.B　设公差为d,∵等差数列中,a1=2,S3=9, ∴3×2+×d=9,d=1.故选B. 3.D　a6+a5=a3+a8=15,故可得a5=10,所以公差d=a6-a5=-5,因此a9=a6+3d=5-15=-10.故选D. 4.B　由Sn=n2+2n得S5=52+2×5=35,S4=42+2×4=24,所以a5=S5-S4=35-24=11.故选B. 5.D　依题意,数列是公差为d的等差数列,数列为递减数列,所以a1an>a1an+1,a1an>a1,a1an>a1an+a1d,a1d<0.故选D. 6.C　设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列, 由题意知公差d=17, 又a1+a2+a3+…+a8=8a1+×17=996,解得a1=65, 故a1+a2+a3+a4+a5=5a1+d=5×65+×17=495.故选C. 7.A　由Sn=na1+, 得=a1+, 由-=2, 得a1+d-=2, ∵a1=-11,解得d=2, ∴=a1+d=-11+5×2=-1,∴S11=-11.故选A. 8.AC　设等差数列的公差为d,则d>0,因为a2=4a5,则a1+d=4,可得a1=-5d<0,A对;a6=a1+5d=0,B错;S9-S2=a3+a4+…+a9==7a6=0,则S2=S9,C对;Sn=na1+=-5dn+=>0,∵n∈N*,∴n≥12,即当Sn>0时,n的最小值为12,D错.故选AC. 9. 解析:∵ an+1=an+2n-1,即an+1-an=2n-1, ∴ a2-a1=1,a3-a2=3 ,a4-a3=5,…,an-an-1=2n-3 , 以上各式相加得an-a1=1+3+5+7+…+==, 又a1=0,所以an=, 而a1=0也适合上式,∴an=. 10.3 解析:因为等差数列a1=5,d=-2,所以Sn=n2+(a1-)n=-n2+6n=-(n-3)2+9,当n=3时,Sn取到最大值. 11.an=n,bn=n+1(答案不唯一). 解析:例如:cn=n,Sn=n(n+1),an=n,bn=n+1. 12.解析:(1)设等差数列的公差为d,则3d=a4-a1=6,解得d=2,由3a2+2a3=19,得3+2=19,解得a1=1,所以an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)Sn===n2. 13.解析:(1)∵为等差数列,S5=40,∴S5=5a3=40,a3=8.又a4+a6=8,即a3+d+a3+3d=8,解得d=-2,故an=a3+d=8-2=-2n+14,即an=-2n+14. (2)因为an=-2n+14,随着n的增大而减小,且a7=0,a8=-2<0,故当n=6或n=7时,Sn有最大值S7=7a4=7=42. 14.解析:(1)在等差数列中,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,∴S1=a1=1,S3=3+3d,S9=9+36d, 又S1,S3,S9成等比数列,∴=S1S9, 即=9+36d,由于d≠0,解得d=2, ∴an=1+2=2n-1. (2)证明:由(Ⅰ)知an+1=2n+1, ∴bn====, 则Tn=×=, ∵n∈N*,∴>0,1-<1, ∴Tn=·<. 学科网（北京）股份有限公司 $