寒假作业(十二) 等差数列-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业(十二) 等差数列 2.已知等差数列{a。)满足a。十a=4,a 一温一故一知=新 a=10,则它的前10项的和S。=( ) A.138 1.等差数列的定义 B.135 C.95 如果一个数列第2项起,每一项与它的 D.23 常数,那么这 前一项的差等于 3.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织 九匹三丈,”其意思为:现有一善于织布 等差数列的 ,通常用字母 的女子,从第2天开始,每天比前一天多 表示. 织相同量的布,第1天织了5尺布,现在 2.等差数列的通项公式 一月(按30天计算)共织390尺布,记该 已知等差数列a。的首项为a,公差 女子一月中的第n天所织布的尺数为 为d. a。,则au+a+a十a的值为 ) A.55 递推公式 通项公式 B.52 C.39 0t D.26 -d(n二2) (nEN*) 4.数列a为等差数列,它的前n项和为 S.,若S.一(n十1)十,则的值是 3.等差数列的前项和公式 ( ) 首项,公差 A.-2 已知量首项,末项与项数 B.-1 与项数 C.0 D.1 选用 5.在等差数列a。中,若a三84,a。-80,则 公式 ( 使a二0,且a<0的n为 ) A.21 B.22 一精一典一题-练一 C.23 D.24 1.等差数列(a.的公差d<0,且a·a=12, 6.已知等差数列a.满足3a。三4a,则该数 ( 列中一定为零的项为 a.十a一8,则数列a.)的通项公式是 ) A.d _ B.d ) C.ds D.d。 A.a.-2n-2(n N*) 7.(多选)下面是关于公差d>0的等差数 B.a.-2n+4(nEN) ( 列a。的四个命题,正确的是 ) C.a.--2n+12(nN) A.数列a。是递增数列 D.a.=-2n+10(n-N*) B. 数列n 是递增数列 ·35· C.数列{## 1 是递增数列 D. 数列a十+3nd是递增数列 8.(多选)已知数列a为等差数列,其前 项和为S,若S=S(nEN'目n 13),有以下结论,则正确的结论为 ( A.S-0 B.a7-0 C. a. 为递增数列 D.a-0 9.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富 的数学名著,书中有如下问题:“今有女 不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织 一尺,今共织九十尺,问织几日?”其中 12.已知数列a.)为等差数列,且a=5. “日减功迟”的具体含义是每天比前一天 a-13. 少织同样多的布,则每天比前一天少织 (1)求数列a。的通项公式; 布的尺数为 10.已知等差数列{a)满足a.三32,a。十a。 =40,则(a。的前12项和为 32 11.已知函数f(x)= 3数列x。)的通 项由x.=f(x-)(n2且nEN*) 确定. 1# (1)求证: 是等差数列; (2)若数列满足a.一log.b,求数列 (6。)的前n项和T。 · 36· 13.等差数列a。)中,a。=30,a=50 (2)若S.-242,求n. (1)求数列的通项公式 ·37·当n=5时，0=1=8.2. .n=2或3时am有最小值且a2=a3, .最小值为22-5×2十4=-2. 所以直=5时号取得最小值，最小值为号] 13.解：)a,=1+a+2n-Dn∈N,a∈R,且 1 10.[数列a}中，a1=: a≠0)， a=1-1(m≥2)， 又a=-7a,=1+2gmeN an-1 可得ag=-3:a=青a=子所以数列的 4 结合面数f)=1十2g的单调性，可知 1>a1>a2>g>a4,a5>a6>a7>…>an>l(n 周期为3，a0=a673x1=a1=子] ∈N+). 11.解：设fm)=9m2-9n+2 .数列{am}中的最大项为a5=2,最小项为 9n2-1 a4=0. =(3m-1)(3n-2)_3n-2 1 (3-1)(3n+1)3n+1 1 (2)um=1 =1十 a+2(n-1) 2-a （会=10，得第10项a0=10-器 n （2)个a号-器得9m=30. 已知对任意的n∈N·,都有am≤a6成立，结 1 此方程无正婆量解，所以器不是该数列中 合函数f(.x)=1十 的单调性， 2-a 的项， （3)证明：”a, 3n-23n+1-3 3n十13n十1 可如5<222<6，脚-10<a<-8 即a的取值范围是（一10，一8）. 3 =1一3m+1' 高二数学寒假作业（十二）等差数列 温故知新 又n∈N", 1.同一个公差d .023m+7下1. 2.an-an-1 a1+(n-1)d .0<am<1. 3.n(a1+a) na+unDd 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 2 2 12.解：(1)由n2-5n十4<0，解得1<n<4. 精典题练 ,n∈N, 1.D[由a2·a4=12,a2+a4=8,且d<0,解 ∴.n=2,3. 得a2=6,a4=2,所以d=4a2=2,6=-2. 2 2 数列中有两项是负数。 (2)法-：am=n2-5n+4 则an=a2+(n-2)d=6-2(n-2)=-2n+ =a-8- 10.故选D.] 5 一星，可知对称轴方程为n= 2.C[ata4=4, =2.5. a3+a5=10, 又n∈N“,故n=2或3时，am有最小值， a十2=2，ja=-4. 且a2=ag,其最小值为22-5×2十4=-2. a1+3d=5,d=3, 法二：设第n项最小， ∴S10=10a1+10X9×4=-40+135=95.] 2 anan+1, 由 3.B[由题意可得{am}为等差数列，a1=5, an≤an-1 (n2-5n+4≤(n+1)2-5(n+1)+4, 530=30×5+30X294=390, 2 得P-5n十4<(n-1D2-5(n-1D+4 解不等式组，得2≤n≤3， 解得d=16 ·57· .a14十a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+ 10.304[因为a2+a3=2a1十3d=64+3d=40 a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58× →d=-8,所以am=40-81, =52.] 40-8n,n≤5， 29 所以|am=|40-8n= 8n-40,n>5, 4.B[等差数列前n项和Sm的形式为Sm=an 所以前12项之和为 +bm,∴.a=-1.] 5×(32+0)+7×(8+56) 5.B[公差d=a2-a1=-4, 2 2 ∴.am=a1+(n-1)d=84+(n-1)(-4) 80+224=304.] =88-4n, 11.解：(1)证明：xm=f（xn-1)= am≥0， (88-4n≥0， 令 即 →21< 3xm-1 am+1<0, 88-4(n+1)<0 xn-1+3n≥2且n∈N), n≤22. 1=。-1+3-1+1 又.n∈N*,∴.n=22.] En 3xm-1 3 In-1 6.B[.3a3=4a4, 1-1=(m≥2且m∈N ∴.3a3=4(a3+d)=4a3+4d, In In-1 3 .a3=-4d,∴.an=ag十(n-3)·d=-4d+ “侣是等差数到 (n-3)d=(n-7)d.∴.a7=0.故选B.] 7.AD[在等差数列(am}中，：d>0,∴数列 (2)由(1)知=+(m-1×号=2+”写 3 {an}为递增数列，A正确；令an=dn十b,则an =n+5 =dn2十bn,当b0时，可能是先减后增，B错 3 误受--合+d当6>0时，数列侣}运 1 2015+5_2020 x2015 3 3 减，C错误：an十3md=4d十b,:d>0,∴.是递 .x2015 3 2020 增数列，D正确.故选AD.] 8AB[时A.5s=13@a=13a,=0,故 12.解：(1)设an=a1十(n-1)d, 2 a1+2d=5, 则 解得a1=1,d=2. A正确， a1+6d=13, 对B,由题意，Sm=S13-m,令n=7有S,=S6 所以{am}的通项公式为am=1十(n一1)X2 →S7一S6=0→a7=0,故B正确. =2n-1. 对C,当am=0时满足Sm=S13-n=0,故{am} (2)依题意得bn=4“,=42m-1, 为递增数列不一定正确，故C错误 对D,由A,B项，可设当an=7一n时满足S 国为- 42m-可=16， =S13-,但a13=-6,故D错误. 所以{bn}是首项为b1=41=4,公比为16的 故选AB.] 等比数列，所以{bn}的前n项和Tn= [设第n天织布的尺数为am,可知数列 4XA0=6-D. 1-16 {am}为等差数列，设等差数列{an}的公差为 13.解：(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d. d,前n项和为Sm,则a1=5,an=1,Sn=90, 则 a1o=a1+9d=30, 则S,=na1十a）=3m=90,解得m=30. a20=a1+19d=50, 2 a1=12, 解得 ∴.a30=a1十29d=5+29d=1,解得d=- 4 29 d=2, 因北，年天比育一天少织本的尺餐为务] .am=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10 +2n. ·58· (2)由S=m+n2D1以及a=12,d=2。 2 5.C[,a3=1,a6= gg==4 S=242,得方程242=12m+n(n21D×2, ∴.a1a2=8, 2 即m2十11n一242=0，解得n=11 00=g2=1 an-1an 4 或n=-22(舍去)，故n=11. “数列{a,0+1)是以8为首项，子为公北的 高二数学寒假作业（十三）等比数列与数学 归纳法 等比数列 温故知新 a12十a2a3++a+1=321-4.] 3 1.同一个常数公比92.等比数列 ab 6.B[由S2=3a2十2，S4=3a4+2得a3+a4= 3. a1-2(g≠1) 1-q a1一a9(g≠1) 1-q 3a4-3a2,即q十q2=3q2-3,解得q=-1 精典题练 (合)减9=号将g=号代入s影=3a十2中释 1.A[a2十a6=34,a2·a6=64, 3 .a7=64,且a2>0, 4十号0=3X名a+2解得a=-L故选B] a6>0,∴.a4=a2g2>0(g为公比)， 7.ABC[因为数列{am}为等比数列，又a·a4 a4=8.] =32,所以a2·a3=32,又a2十a3=12, 2.C[由题意，知S3,Sg,S27成等比数列， a2=4, a2=8, 所以S号=S3XS27, 所以a=8,或0=4·又公比q为整数， 1 3(a+a3)、27(a1+a2m) q=2, 2 2 2' 整理得81a号=3a2×27a14,所以(a1十4d)2= fa2=4, (a1+d)(a1+13d),解得d=2a1, 则a3=8, _9(a+ag）÷3(a+a32=9a q=2, 所以5 2 3a2 即an=2,S,=2X02）=2+1-2. 3(a1十4d)_27a1=9.故选C.] 1-2 a+d 3a1 对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确； 3.A[设公差为d,则a1(a1+5d)=(a1十 对于选项B,S十2=2+1， Sn+1+2_2m+2 S+22m7=2, 22,起a=2代入可解得d=号 则数列{Sm十2}是等比数列，即选项B正确： a=2+a-Dx-2+2 对于选项C,S8=29一2=510，即选项C 正确； ++ 对于选项D,lgan+1-lgan=(n+1)lg2-nlg2 '.Sm -+故选A门 =lg2,即数列{lgam}是公差为lg2的等差数 2 列，即选项D错误.故选ABC.] 4C[固为当m=时，左瑞=1-专十号一号 8.AB[由数列{an}为等比数列可知， 十十2欢永：当=6+1时，左孩=1 an -=q,9≠0)， 4- +-号+…+2品+欢中 1 1 对于A,匠=，故A正确：对于B, ai-1 2十2所以，左端应在n=k的基础上加上 aan+L=an出=g2≠0，故B正确；对于C an-1an an-1 1 1 2k+12k+2J lga,-lga-1=lg0”=g,为等差数列， ”a-1 ·59·