作业(6) 椭圆及其方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则点P到另一个焦点的距离为 (　　) A.5 B.6 C.4 D.1 2.若方程+=-1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是 (　　) A.(2,6) B.(4,6) C.(2,4] D.(2,4) 3.在平面直角坐标系内有两个定点A,B和一个动点P,则“动点P到两定点A,B的距离之和为定值”是“动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”的 (　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 (　　) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 5.焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为的椭圆的标准方程是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 6.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.8 7.已知椭圆C:+=1,其左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一动点,则满足∠F1PF2为45°的点P有 (　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 8.如图,A1,A2分别为椭圆+=1的长轴的左、右端点,O为坐标原点,S,Q,T为椭圆上不同于A1,A2的三点,直线QA1,QA2,OS,OT围成的一个平行四边形OPQR,则|OS|2+|OT|2= (　　) A.5 B.3+ C.9 D.14 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 10.某人造卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则 (　　) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n D.b= 11.如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则下列结论正确的是 (　　) A.a1+c1>2(a2+c2) B.a1-c1=a2-c2 C.a1c2>a2c1 D.e1= 12.椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以下说法正确的是 (　　) A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C上存在点P,使得·=0 C.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则△ABF1的周长为8 D.若P为椭圆C:+y2=1上一点,Q为圆x2+y2=1上一点,则点P,Q的最大距离为2 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.已知椭圆的焦点在y轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为　　　　　.  14.已知A(2,)是椭圆+=1上一点,F是椭圆的右焦点,设点F到直线x=4的距离为d,则=　　　　　.  15.已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)上异于点A(-a,0),B(a,0)的一点,C的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为　　　　　.  16.设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是其左、右焦点,O为坐标原点,若|PF1|·|PF2|=8,则|OP|=　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2); (2)离心率为,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26. 18.已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点(0,1),(,). (1)求椭圆E的方程; (2)若直线l:x-y-1=0交椭圆E于两个不同的点A,B,O是坐标原点,求△AOB的面积S. 作业(六)　椭圆及其方程 1.A　解析:由椭圆的标准方程知a=5,点P到两个焦点的距离之和为2a=10.因为点P到一个焦点的距离为5,所以点P到另一个焦点的距离为10-5=5,故选A. 2.D　解析:将方程+=-1化为+=1,因为它表示焦点在x轴上的椭圆,所以,解得2<m<4.故选D. 3.A　解析:根据椭圆的定义可知,若点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,则动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数).反之,若动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),当2a≤|AB|时,点P的轨迹不是椭圆.所以“动点P到两定点A,B的距离之和为定值”是“动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”的必要不充分条件.故选A. 4.B　解析:由题意得,=,∴=,又a2=b2+c2, ∴=,=,∴4b2=3a2.故选B. 5.C　解析:由题意,知2b=8,得b=4,所以b2=16=a2-c2.又e==,所以c=3,a=5.又焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1,故选C. 6.C　解析:由题意,知F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+3(1-)=(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值6,故选C. 7.D　解析:根据题意,椭圆C:+=1中,a=2,b=,则c==1,则F1(-1,0),F2(1,0).设M为椭圆的上顶点,则其坐标为(0,),连接MF1,MF2,在△MF1F2中,|MF1|=|MF2|=a=2,|F1F2|=2c=2,则∠F1MF2=60°,P为椭圆的任意一点,则∠F1PF2=∠F1MF2=60°,所以满足∠F1PF2为45°的点P有4个.故选D. 8.D　解析:由题意得QA1∥OT,QA2∥OS,A1(-3,0),取Q(0,),设S(x1,y1),则T(-x1,y1).由OT∥A1Q,得9=5,又+=1,所以=,=,所以|OS|2+|OT|2=2(+)=14,故选D. 9.AC　解析:由题意,知当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,该椭圆为“对偶椭圆”.四个选项中只有A,C中b=c,符合题意,故选AC. 10.ABD　解析:由题意可得(*),∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正确;(*)中两式相加得m+n=2a-2R,得2a=m+n+2R,故C不正确;由(*)可得,两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2. ∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R), ∴b=,故D正确.故选ABD. 11.ABD　解析:由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,可得2a2=a1,由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,可得a2+c2=c1.因为a1+c1=2a2+a2+c2,且a2>c2,所以a1+c1=2a2+a2+c2>2(a2+c2),所以A正确;因为a1-c1=2a2-(a2+c2)=a2-c2,所以B正确;因为a1c2=2a2c2,a2c1=a2(a2+c2)=+a2c2,所以a1c2-a2c1=2a2c2--a2c2=a2(c2-a2)<0,所以C错误;因为e1===,所以D正确.故选ABD. 12.BC　解析:对于选项A,因为a2=4,b2=1,所以c2=4-1=3,即c=,所以离心率e==,故A错误;对于选项B,设点P(x,y)为椭圆C:+y2=1上任意一点,则点P的坐标满足+y2=1,且-2≤x≤2,又易得F1(-,0),F2(,0),所以=(--x,-y),=(-x,-y),因此·=(--x)(-x)+y2=x2+1--3=-2,令·=-2=0,可得x=±∈[-2,2],故B正确;对于选项B,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,因此△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,故C正确;对于选项D,设点P(x,y)为椭圆C:+y2=1上任意一点,由题意可得点P(x,y)到圆x2+y2=1的圆心的距离|PO|===,因为-1≤y≤1,所以|PQ|max=|PO|max+1=+1=3,故D不正确.故选BC. 13.+x2=1　解析:由题意知,2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,∴椭圆的标准方程为+x2=1. 14.　解析:A(2,)是椭圆+=1上一点,代入可得,+=1,解得m=8,∴c==2,∴F(2,0), ∴|AF|==,点F到直线x=4的距离d=2,∴=. 15.-　解析:设P(x0,y0),有+=1.又=,得===,所以kAP·kBP=·===-. 16.　解析:不妨设点P在第一象限,P(x,y).由题意,知|PF1|+|PF2|=6.因为|PF1|·|PF2|=8,所以|PF1|=4,|PF2|=2,易知F1(-2,0),F2(2,0),则,得, 所以|OP|==. 17.解:(1)由焦距是4可得c=2,又焦点在y轴上,所以焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义,知2a=+=8, 所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12. 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)由题意,知2a=26,即a=13,又e==, 所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定, 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. 18.解:(1)由题意得,解得, 所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)记A(x1,y1),B(x2,y2), 由,消去x得5y2+2y-3=0. 所以y1,2=-1或, 直线l与x轴的交点为(1,0),记为点P, 则S=|OP||y1-y2|=. 学科网（北京）股份有限公司 $