作业(8) 抛物线及其方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线y2=4x的准线方程为 (　　) A.x=-1 B.y=-1 C.x=1 D.y=1 2.若抛物线C:y2=2px的准线经过双曲线-=1的左焦点,则抛物线C的焦点坐标为 (　　) A.(4,0) B.(-4,0) C.(0,-4) D.(0,4) 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与抛物线的交点为P,与y轴的交点为Q,且|PF|=|PQ|,则点P的坐标为 (　　) A.(2,4) B.(2,4) C.(4,4) D.(4,4) 4.已知点Q(0,2)及抛物线y2=4x上一动点P(x,y),则x+|PQ|的最小值为 (　　) A.4 B.2 C.6 D. 5.设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A,如果△APF为正三角形,那么|PF|= (　　) A.4 B.6 C.6 D.12 6.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴的切点为点Q,则点Q (　　) A.位于原点的左侧 B.与原点重合 C.位于原点的右侧 D.以上均有可能 7.已知F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若=4,则·= (　　) A.1 B. C.2 D. 8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为16,则抛物线的方程为 (　　) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20x 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.关于抛物线y=ax2(a≠0)的叙述,正确的是 (　　) A.抛物线开口向上 B.抛物线关于y轴对称 C.准线方程为y=- D.焦点坐标为(0,) 10.以下说法正确的是 (　　) A.在平面内,到定点F的距离等于到定直线l(不过点F)的距离的点的轨迹是抛物线 B.与抛物线的对称轴平行的直线一定与抛物线交于一点 C.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线的对称轴垂直的直线交抛物线于A,B两点,则|AB|=2p D.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=x1+x2+2p 11.已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是 (　　) A.抛物线的方程为y2=4x B.线段AB的长度为 C.∠MFN=90° D.线段AB的中点到y轴的距离为 12.已知过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则+的值可能为 (　　) A.3　　　B.4　　　　C.5　　　D.6 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.已知抛物线C:y2=2x上一点P到x轴的距离为2,则P到焦点的距离为　　　　　　　　　　.  14.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则=　　　　　　　　　.  15.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x-y+2=0上,则此抛物线方程为　　　　　.  16.已知F为抛物线C:y2=64x的焦点,过F且斜率为1的直线l交C于A,B两点,且|FA|>|FB|,则=　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程是x=-1. (1)求此抛物线的方程; (2)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求△OFM的面积. 18.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若=3,求|AB|. 作业(八)　抛物线及其方程 1.A　解析:∵y2=4x,∴2p=4,p=2,∴抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.故选A. 2.A　解析:易知双曲线-=1的右焦点坐标为(4,0).由题意知双曲线的右焦点就是抛物线C的焦点.故选A. 3.B　解析:由题意,设P(x0,4),代入抛物线C:y2=2px(p>0)中,可得x0=,所以|PQ|=.又|PF|=|PQ|,所以+=×,所以p=2,所以x0==2,点P的坐标为(2,4),故选B. 4.B　解析:设抛物线的焦点为F,则F(1,0),易知抛物线的准线为直线x=-1,设d为点P(x,y)到准线的距离,则x+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1≥|FQ|-1,∴x+|PQ|的最小值是|FQ|-1.∵Q(0,2),∴x+|PQ|的最小值是|FQ|-1=3-1=2,故选B. 5.C　解析:设准线l与x轴交于点B,则|BF|=3.因为△APF为正三角形,所以|AF|=|PA|=|PF|,∠PAF=60°,又PA⊥l,所以∠BAF=30°.在Rt△ABF中,sin∠BAF=,所以|AF|=6,所以|PF|=6,故选C. 6.B　解析:设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D,C,圆与直线l、直线PF分别切于点A,B,如图.由抛物线的定义,知|PC|=|PF|,由切线性质,知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DQ|,|BF|=|FQ|,所以 |DQ|=|FQ|,而|DO|=|FO|,所以O,Q重合,故选B. 7.D　解析:设点A的横坐标为m,因为=4,所以||=4||,所以=.又=,所以m=,所以||=+=,||=3,·=||·||=.故选D. 8.C　解析:设M(x0,y0),由|MF|=3|OF|,可得(x0-)2+=()2.又=2px0,所以(x0-)2+2px0=()2,即+px0-2p2=0,解得x0=p或x0=-2p(舍去),所以M(p,p)或M(p,-p),所以S△MFO=××p=16,解得p=±8,因为p>0,所以p=8.故选C. 9.BCD　解析:抛物线的方程可化为x2=y,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下,且抛物线关于y轴对称,抛物线的焦点在y轴上,准线方程为y=-,焦点坐标为(0,).故选BCD. 10.ABC　解析:由抛物线的定义知A正确;与抛物线的对称轴平行的直线一定与抛物线交于一点,B正确;若x=代入抛物线方程y2=2px(p>0),得y=±p,所以|AB|=2p,C正确;由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+p,D不正确.故选ABC. 11.BD　解析:不妨设点A在点B上方.直线l:x-y-=0经过点F(1,0),可得p=2,即抛物线C:y2=4x,A正确.由,可得3x2-10x+3=0,解得x=3或,可得A(3,2),B(,-),所以|AB|==,B错误.由M(-1,2),N(-1,-),F(1,0),可得kNF·kMF=·=-1,则MF⊥NF,即∠MFN=90°,C正确.线段AB的中点为(,),则线段AB的中点到y轴的距离为,D错误.综上可得A,C正确,B,D错误.故选BD. 12.BCD　解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,所以圆的半径r=1,圆心(1,0).由y2=4x,知焦点F(1,0).当过点F的直线的斜率不存在时,易知|PM|=|QN|=1,此时+=5.当过点F的直线的斜率存在时,可设该直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x并消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1.由抛物线的定义可知,|PM|+r=x1+1,|QN|+r=x1+1.因为r=1,所以|PM|=x1,|QN|=x2,所以|PM||QN|=x1x2=1,故+≥2=4,当且仅当|QN|=4|PM|时等号成立.故选BCD. 13.　解析:由题意得,抛物线y2=2x的准线方程为x=-,∵抛物线y2=2x上一点P到x轴的距离为2,则x=2,∴P到抛物线的准线的距离为2+=.由抛物线的定义得,点P到抛物线的焦点的距离为. 14.　解析:如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,再过点A作AC垂直BE于点C,设|BC|=a,由于直线AB的倾斜角为30°,因此|AB|=2a.由|AD|=|AF|,|BF|=|BE|,得|AD|=,则|AF|=,|FB|=,于是=. 15.y2=-8x或x2=8y　解析:直线x-y+2=0与x轴交于点A(-2,0),与y轴交于点B(0,2).①当抛物线的焦点为点A时,设方程为y2=-2px(p>0),可得=2,所以2p=8,抛物线方程为y2=-8x;②当抛物线的焦点为点B时,设方程为x2=2p'y(p'>0),可得=2,所以2p'=8,抛物线方程为x2=8y.综上所述,抛物线方程为y2=-8x或x2=8y. 16.3+2　解析:易知F(16,0),则直线l的方程为y=x-16.联立,得,得x2-96x+256=0,解得x==48±32,所以===3+2. 17.解:(1)因为抛物线的准线方程为x=-1,所以=1,得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. (2)设M(x0,y0),因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MF|=3, 所以可由抛物线的定义,得|MF|=x0+=3,得x0=2. 将(2,y0)代入方程y2=4x,得y0=±2, 所以△OFM的面积为|OF||y0|=×1×2=. 18.解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得F(,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=. 由,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-. 从而-=,得t=-. 所以l的方程为y=x-. (2)由=3可得y1=-3y2. 由,可得y2-2y+t=0. 所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3, 分别代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=. 学科网（北京）股份有限公司 $