作业10 等比数列-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

　 一、选择题 1.有下列4种说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列的公式的取值范围是R;③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④22,42,62,82,…成等比数列.其中正确说法的个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则下列结论正确的是 (　　) A.数列{anan+1}是公比为q的等比数列 B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列 C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列 D.数列是公比为的等比数列 3.如果数列{an}是等比数列,那么 (　　) A.数列{}是等比数列 B.数列{}是等比数列 C.数列{lg an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 4.等比数列{an}的前n项和Sn=a·2n+1(n∈N*),其中a是常数,则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知等比数列{an}满足a3=4,a6=32,则其前6项的和为 (　　) A.31 B.63 C.127 D.128 6.在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为 (　　) A.2 B. C.2或 D.-2或 7.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若=2,则= (　　) A.512 B.32 C.8 D.2 8.已知等比数列{an},则下面对任意正整数k都成立的是 (　　) A.ak·ak+1>0 B.ak·ak+2>0 C.ak·ak+1·ak+2>0 D.ak·ak+3>0 二、填空题 9.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=　　　　.  10.一个等比数列中,前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有　　　　项.  11.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=,则=　　　　.  三、解答题 12.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 13.设数列{an}满足an+1=an+2,a1=4. (1)求证:{an-3}是等比数列,并求an; (2)求数列{an}的前n项和Tn. 14.(多选)已知数列{an}是首项为1的正项数列,an+1=2an+3,Sn是数列{an}的前n项和,则下列选项正确的是 (　　) A.a3=13 B.数列{an+3}是等差数列 C.an=2n+1-3 D.Sn=2n+2-3n-4 15.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”.若a1=2,数列{an}的“差数列”的通项公式为an+1-an=2n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  16.已知{an}是以a为首项,q为公比的等比数列,Sn为它的前n项和. (1)当S1,S3,S4成等差数列时,求q的值; (2)当Sm,Sn,Sl成等差数列时,求证:对任意自然数k,am+k,an+k,al+k也成等差数列. 作业10　等比数列 1.B　由等比数列的定义可知,等比数列是根据比值来定义的,故等比数列的每一项和公比都不能为零,故①②是错误的;一个非零的常数列,一定是等比数列,其公比为1,故③正确;由于≠,故不成等比数列,所以④错误.故选B. 2.D　对于A,由=q2(n≥2)知{anan+1}是公比为q2的等比数列;对于B,若q=-1,{an+an+1}各项均为0,不是等比数列;对于C,若q=1,数列{an-an+1}各项均为0,不是等比数列;对于D,==,所以数列是公比为的等比数列,故选D. 3.A　利用等比数列的定义验证即可.设{an}的公比为q(q≠0),bn=,则===q2,∴{bn}是等比数列,故A正确;=≠常数,故B错误;当an<0时,lg an无意义,故C错误;设cn=nan,则==≠常数,故D错误.故选A. 4.B　当n=1时,a1=S1=2a+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n+1-(a·2n-1+1),化为an=a·2n-1,对于上式n=1时也成立,∴2a+1=a,解得a=-1.故选B. 5.B　∵等比数列{an}满足a3=4,a6=32, ∴解得∴前6项的和S6==63. 6.C　设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵a1+a4=18,a2+a3=12,∴a1(1+q3)=18,a1(q+q2)=12,q≠-1,化为2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.故选C. 7.A　因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,所以==512. 8.B　根据题意,依次分析选项:对于A,当q<0时,ak与ak+1异号,则ak·ak+1<0,A错误;对于B,ak·ak+2=ak·ak·q2=(ak·q)2>0,B正确;对于C,ak·ak+1·ak+2=,则ak·ak+1·ak+2>0不一定成立,C错误;对于D,ak·ak+3=·q3,则ak·ak+3>0不一定成立,D错误. 9.16　解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,且b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16. 10.12　解析:设该等比数列为{an},由已知a1a2a3=2,an-2an-1an=4及等比数列的性质,得(a1an)3=8,所以a1an=2.又因为a1a2a3…an=64=26=(a1an)6,所以该数列有12项. 11.　解析:方法一　设数列{an}的公比为q(q≠0),∵=,∴q≠1,且=,即1+q5=3, ∴q5=2. ∴===. 方法二　由=可设S5=k,S10=3k(k≠0),由等比数列中S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等比数列,得S15-S10=4k,S20-S15=8k,解得S15=7k,S20=15k,即==. 12.解:(1)由题意可得a2=,a3=. (2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1). 因为{an}的各项都为正数, 所以=. 故{an}是首项为1,公比为的等比数列, 因此an=. 13.解:(1)∵an+1=an+2,a1=4,∴an+1-3=(an-3).∵a1-3=1≠0,∴{an-3}是首项为1,公比为的等比数列.an-3=,∴an=3+. (2)由(1)知,an=3+, 故Tn=3n+= 3n+=3n+-. 14.ACD　由an+1=2an+3,所以an+1+3=2(an+3),因为a1=1,可得a1+3=4,所以数列{an+3}是等比数列,所以B不正确;由B分析,可得an+3=4×2n-1,所以an=2n+1-3,所以C正确;因为an=2n+1-3,所以a3=24-3=13,所以A正确;因为an=2n+1-3,所以Sn=22-3+23-3+24-3+…+2n+1-3=22+23+24+…+2n+1-(3+3+3+…+3)=-3n=2n+2-3n-4,所以D正确.故选ACD. 15.2n+1-2　解析:∵an+1-an=2n, ∴当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n. a1=2满足上式,∴an=2n. ∴Sn==2n+1-2. 16.解:(1)由已知,得an=aqn-1,因此 S1=a,S3=a(1+q+q2),S4=a(1+q+q2+q3). 当S1,S3,S4成等差数列时,S4-S3=S3-S1, 可得aq3=aq+aq2, 化简得q2-q-1=0. 解得q=. (2)证明　若q=1,则{an}的各项均为a, 此时am+k,an+k,al+k显然成等差数列. 若q≠1,由Sm,Sn,Sl成等差数列可得Sm+Sl=2Sn, 即+=, 整理得qm+ql=2qn. 因此am+k+al+k=aqk-1(qm+ql)=2aqn+k-1=2an+k, 所以am+k,an+k,al+k成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $