寒假作业(十三) 等比数列与数学归纳法-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（十三） 等比数列与数学归纳法 3.设{am}是公差不为0的等差数列，a1=2, 温故知一新一 且a1,a3,a6成等比数列，则{an}的前n 1.等比数列的定义 项和Sn= 如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比都等于 ,那么这 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 C. D.n2+n 比数列的 ,通常用字母 4用数学归纳法证明1一号十兮十十 表示(q≠0). 1 11 1 2.等比中项 2n-12nn+1n+2 如果在a与b中间插入一个数G,使a, n=k+1时，左端应在n=的基础上加上 G,b成 ,那么G叫做a与b的等 比中项，此时，G= 1 1 A.2k+2 B.- 2k+2 3.等比数列的前n项和公式 1 1 首项a1,末项 C.2k+12k+2 D.2k+1+2k+2 已知量 首项a1与公比g am与公比q 5.已知{a,}是等比数列，ag=1,a,=8,则 na1(g=1). na1(q=1) a1a2十a2a3+…十aam+1等于 ( 公式 S= A.16(1-4") B.16(1-2-") c号1-4 n1-2 精典题练 6.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 1.等比数列{an}中，a2,a6是方程x2一34x n项和为Sm.若S2=3a2+2,S,=3a4十 +64=0的两根，则a1等于 2,则a1= B.-8 A.-2 B.-1 A.8 C.±8 D.以上选项都不对 c D号 2.已知等差数列{an}的公差不为零，其前n 7.(多选)在公比q为整数的等比数列 项和为Sn,若S,S4,S2,成等比数列，则 (an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若 S a1·a,=32,a2十43=12，则下列说法正 确的是 A.3 B.6 A.q=2 C.9 D.12 B.数列{S,十2}是等比数列 ·38· C.S8=510 (2②)一是否为该数列的项？若是，为 D.数列(lgan}是公差为2的等差数列 8.(多选)已知等比数列{an}的前n项和为 第几项？ Sn,下列数列中一定是等比数列的有 A.{a} B.(aa+ C.(g a D.SS2-SSsn-Szm 9.已知各项均不为0的等差数列{a},满足 2a3-a+2a1=0,数列(bn}为等比数列， 12.(1)用数学归纳法证明：1十2+3十…+ 且b2=a7,则b·b3= (n+3)=n+3)n+4)(m∈N): 2 10.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1, a+1=3S,(n≥1)，则a6= 11.在各项均为负的等比数列{an}中，2an 3a+1,且a·a,=27 (1)求数列{am}的通项公式. (2)用数学归纳法证明：1+1十1十… √23 +1<2m(n∈N). √1 ·39· 13.已知{xn}是各项 P (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依 均为正数的等比 次连接点P（x1,1),P（x2,2),…, 数列，且x1十x Pm+1（xn+1n十1)得到折线PP2… =3,x3一x2=2. P+1,求由该折线与直线y=0,x=x1, (1)求数列{x}的通项公式： x=xn+1所围成的区域的面积T ·40·(2)由s=m+n2D1以及a=12.d=2。 2 5.C[.a3=1,a6= gg==4 S=242,得方程242=12m+n(n21D×2, ∴.a1a2=8, 2 即n2十11n一242=0，解得n=11 :0@出=g2=1 ☑n-1an 4 或n=-22(舍去)，故n=11. “数列{a,0+1)是以8为首项，子为公北的 高二数学寒假作业（十三）等比数列与数学 归纳法 等比数列 温故知新 a12十a2a3+…+aa+1=321-4.] 3 1.同一个常数公比92.等比数列 ab 6.B[由S2=3a2十2，S4=3a4+2得a3+a4= 3. 1-2(g≠1) 1-q a1一a9(g≠1) 1-q 3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1 精典题练 (合)减9=号将g=号代入s:=3a十2中释 1.A[.a2十a6=34,a2·a6=64, 3 .a7=64,且a2>0, 4十号0=3X名a+2.解得a=-L故选B a6>0,∴.a4=a2q2>0(g为公比)， 7.ABC[因为数列{am}为等比数列，又a·a4 a4=8.] =32,所以a2·a3=32,又a2十a3=12, 2.C[由题意，知S3,Sg,S27成等比数列， a2=4, a2=8, 所以S号=S3XS27, 所以a=8,或0=4·又公比q为整数， 1 3(a+a3)、27(a+a2m) q=2, 2 2 2 g2' 整理得81a号=3a2×27a14,所以(a1十4d)2= (a2=4, (a1+d)(a1+13d),解得d=2a1, 则a3=8, 9(a+ag）÷3(a+a3=9a q=2, 所以5 2 3a2 即an=2,Sn-2X02）=2+1-2. 3(a1十4d)_27a1=9.故选C.] 1-2 a+d 3a1 对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确； 3.A[设公差为d,则a1(a1+5d)=(a1+ 对于选项B,Sn十2=2+1， n+1十2_2m+2 S+22m可=2， 22,起a=2代入可解得d=号 则数列{Sm十2}是等比数列，即选项B正确： a=2+a-Dx-2+2 对于选项C,S8=29一2=510，即选项C 正确； 安+2士进A 对于选项D,lgan+1-lgan=(n+1)lg2-nlg2 =lg2,即数列{lgam}是公差为lg2的等差数 2 列，即选项D错误.故选ABC.] 4C[周为当m=时，左瑞=1-专十号一号 8.AB[由数列{an}为等比数列可知， 十十2欢京：当=6十1时，左培=1 an 1 4-1 =q,9≠0)， +号-+…+2六+中 1 1 对于A,=g,故A正确：对于B, ai-1 2k十2所以，左端应在”=k的基础上加上 aan+L=an+中=g2≠0，故B正确；对于C, an-1an an-1 1 1 2k+12k+2J ga,-lgan-1=lg0”=gq,为等差数列， °-1 ·59· lga”不一定为常数，即lgam}不一定 但是1gan- ②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立， 为等比数列，故C错误；对于D,若anm=（一 中1+++2 1)”为等比数列，公比为一1，则S有可能为 那么当n=k十1时，左边=1十二十1十 0,不一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 9.16[各项均不为0的等差数列{am},2a一a 1∠2k+1 +2a11=0,.4a7-a号=0，∴.a7=4,b1·b13= +1 VR+i b房=a号=16.] 因为4k2十4k<4k2+4k+1,所以2√/R2+ 10.768[由am+1=3Sm,得Sm+1-Sm=3S, <2k+1, 即Sn+1=4Sm,所以数列{Sn}是首项为1，公 所以2√E十 1 2√k+1E+1 比为4的等比数列，所以Sn=4”-1,所以a6 √k+1 k+1 =S6-S5=45-44=3×44=768.] 2w2+k+12k+2=2√k+1. 11.解：(1)因为2am=3am+1, √k十1 √k+I 所以出=号教列a,是公比为导的等比 故当n=k十1时，不等式也成立. 综上，由①②可知1十十二十…+ 数列· 23 8 又a2·a5=27' 2n(n∈N). 13.解：(1)设数列{xm}的公比为q, 所以i(号)=（号），由于各项均为负， 由已知可得q>0. x1十x1q=3, 故41=一 a,=-(） 3 由题意得 x1q2-x1q=2, (2)设an=- 16 消去x1得3q2-5g-2=0. 因为q>0,所以q=2,x1=1, (号》”=（得》广=6,所以一是该列 因此数列{xn}的通项公式为xn=2n一 (2)过P1,P2,…,Pm+1向x轴作垂线，垂足 的项，为第6项。 分别为Q1,Q2,…,Qn+1(图略). 12.证明：(1)①当n=1时，左边=1十2十3十4 由(1)得xm+1-xn=2m-2m-1=2m-1, =10,右边=1+3)X1+)=10,左边 记梯形PnPm+1Qn+1Qn的面积为bm 右边. 由题意得，=m++D×2m-1=(2m十1) 2 ②假设n=k(k∈N)时等式成立，即1十2十 ×2-2, 3+…+(k+3)=(k+3)(k+4) 2 所以Tn=b1十b2十…十bn 那么当n=k+1时，1+2+3+…+(k+3) =3×2-1+5×20+7×21+·+(2n-1)× +(k+4)=h+3)+)+(k+4)= 2-3+(2n+1)×2”-2.① 2 又2Tm=3×20+5×21+7×22+…+(2n (k+4)(k+5),即当n=k+1时，等式成立 1)×2m-2+(2n+1)×2n-1.② ①-②得，-Tm=3×2-1+(2+22+…+ 综上，1十2+3+…十(n+3) (m+3)(n+42(m∈N). 2w-1)-(2m+1)×2m-1=3+2(1-2m-1) 2 1-2 2 -(2n+1)×2"-1. (2)①当n=1时，左边=1，右边=2，左边 右边，故当n=1时不等式成立. 所以Tn=(2n-1)×2m+1 2 ·60·