作业14 导数与函数的极值、最值-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.如图为y=f(x)的导函数的图象,则下列判断正确的是 (　　) ①f(x)在(-3,1)上为增函数; ②x=-1是f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上为减函数,在(-1,2)上为增函数; ④x=2是f(x)的极小值点. A.①②③ B.②③ C.③④ D.①③④ 2.函数y=2-x2-x3的极值情况是 (　　) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值 3.下列四个函数中,在x=0处取得极值的是 (　　) ①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x. A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 4.设三次函数f(x)的导函数为f'(x),函数y=x·f'(x)的图象的一部分如图所示,则 (　　) A.f(x)极大值为f(),极小值为f(-) B.f(x)极大值为f(-),极小值为f() C.f(x)极大值为f(-3),极小值为f(3) D.f(x)极大值为f(3),极小值为f(-3) 5.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 (　　) A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 6.函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为 (　　) A.72 B.36 C.12 D.0 7.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是 (　　) A.0≤a≤21 B.a=0或a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21 8.(多选)已知函数f(x)=x3-2x2+x+1,则 (　　) A.f(x)的极小值为0 B.f(x)的极大值为 C.f(x)在区间,1上单调递增 D.f(x)在区间(-∞,0)上单调递增 二、填空题 9.函数f(x)=的极大值为　　　　.  10.函数y=在[0,2]上的最大值为　　　　.  11.函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为　　　　.  三、解答题 12.求下列函数的极值,并画出函数的草图: (1)f(x)=(x2-1)3+1; (2)f(x)=. 13.求函数y=f(x)=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 14.已知函数f(x)=kx2-ln x,若f(x)>0在定义域内恒成立,则k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 15.若函数f(x)=x3-3x+a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  16.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值. (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围. 作业14　导数与函数的极值、最值 1.B　当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,2)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-3,-1)上为减函数,在(-1,2)上为增函数,x=-1是f(x)的极小值点;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,所以f(x)在(2,4)上为减函数,x=2是f(x)的极大值点.故②③正确. 2.D　y'=-2x-3x2,令y'=0,得x1=-,x2=0.当x<-时,y'<0;当-<x<0时,y'>0;当x>0时,y'<0.故当x=-时,函数y有极小值;当x=0时,函数y有极大值.故选D. 3.B　由极值的定义,可得②③正确. 4.D　当x<-3时,y=xf'(x)>0,即f'(x)<0;当-3<x<3时,f'(x)≥0;当x>3时,f'(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3),f(x)的极小值是f(-3). 5.A　f'(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值. 6.D　因为y=x4-4x+3,所以y'=4x3-4.令y'=0,解得x=1.当x<1时,y'<0,函数单调递减;当x>1时,y'>0,函数单调递增,所以函数y=x4-4x+3在x=1处取得极小值0.而当x=-2时,y=27,当x=3时,y=72,所以当x=1时,函数y=x4-4x+3取得最小值0. 7.A　f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点. 8.BD　因为f(x)=x3-2x2+x+1,该函数的定义域为R,且f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),令f'(x)=0,可得x=或x=1,列表如下: x -∞, ,1 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值1 ↗ 所以,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,B,D正确,A,C错误.故选BD. 9.　解析:函数定义域为(0,+∞),f'(x)===,令f'(x)=0,得x=,且当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在x=处取得极大值f()=. 10.　解析:∵y'==, 令y'=0,得x=1∈[0,2]. ∴f(1)=,f(0)=0,f(2)=. ∴f(x)max=f(1)=. 11.(-∞,-1]　解析:f'(x)=2x+2a,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,∴x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即2x+2a≤0.∴a≤-x.∴a≤-1. 12.解:(1)y'=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2. 令y'=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1. 当x变化时,y',y的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y' - 0 - 0 + 0 + y ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时,y有极小值且y极小值=0. 函数的草图如图所示: (2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),且f'(x)=. 令f'(x)=0,解得x=e. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值. 函数的草图如图所示: 13.解:先求导数,得y'=4x3-4x. 令y'=0,即4x3-4x=0,解得x1=-1,x2=0,x3=1. x变化时,y',y的变化情况以及f(-2)、f(2)的值如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y' - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 极小值4 ↗ 极大值5 ↘ 极小值4 ↗ 13 从上表知,当x=±2时,函数有最大值13; 当x=±1时,函数有最小值4. 14.D　由f(x)=kx2-ln x(x>0), 得f'(x)=2kx-=. 当k≤0时,f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又当x→+∞时,f(x)→-∞,不满足f(x)>0在定义域内恒成立. 当k>0时,由f'(x)=0,解得x=±. 当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0, ∴f(x)在上为减函数,在上为增函数, ∴f(x)min=f=k-ln= -ln. 由-ln>0,得ln<,得k>, ∴k的取值范围是. 15.(-2,2)　解析:f'(x)=3(x2-1),所以x=1和x=-1是函数的两个极值点,由题意知,极大值为f(-1)=2+a,极小值为f(1)=-2+a,所以要使函数f(x)有三个不同的零点,则有2+a>0且-2+a<0,解得-2<a<2,即实数a的取值范围是(-2,2). 16.解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c. 得f'(x)=3x2+2ax+b, 因为f'(1)=3+2a+b=0,f'=-a+b=0, 解得a=-,b=-2, 所以f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0, 得x=-或x=1, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x - 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);单调递减区间为. (2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c, 当x=-时,f=+c为极大值, 因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)<c2在x∈[-1,2]时恒成立,只需c2>f(2)=2+c, 解得c<-1或c>2. 故实数c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $