作业15 学业质量水平测试-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|0<log4x<2},B={x|ex-3≤1},则A∩(∁RB)= (　　) A.(3,16)　　　　　 B.(3,8) C.(1,3] D.(1,+∞) 2.某林场有树苗300 00棵,其中松树苗4 000棵,为调查树苗的生长情况,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为 (　　) A.30　　B.25　　 C.20　　D.15 3.函数y=+x的大致图象是 (　　) 4.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01,02,…,33组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从如下随机数表中的第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为 (　　) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A.23 B.20 C.04 D.17 5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　　) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 6.已知正数x,y满足+=3,则x+y的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.6 7.设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 8.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1,第二名为2,以此类推且没有并列名次情况)不大于3,则称该同学为该班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据,推断一定不是尖子生的是 (　　) A.甲同学:平均数是2,中位数是2 B.乙同学:平均数为2,方差小于1 C.丙同学:中位数是2,众数是2 D.丁同学:众数是2,方差大于1 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 (　　) A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0 B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R C.a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0 D.a+b≥2成立的条件是ab>0 10.下列计算正确的是 (　　) A.= B.()(-3)÷=-9a(a>0,b>0) C.= D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2 11.在某次高中学科知识竞赛中,对4 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是 (　　) A.成绩在[70,80)的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75分 12.定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有 (　　) A.f(x)=,且0<f(1)<g(2) B.∀x∈R,总有[g(x)]2-[f(x)]2=1 C.∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0 D.∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数f(x)=+log2(x-2)的定义域为　　　　.  14.若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.(第一空2分,第二空3分)  15.若函数f(x)=(m-1)xa是幂函数,则函数g(x)=loga(x-m)(其中a>0,a≠1)的图象过定点的坐标为　　　　.  16.甲、乙两人独立破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,则该密码被破译的概率为　　　　.  四、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 已知函数f(x)=2x+. (1)证明:函数f(x)是奇函数; (2)证明:函数f(x)在[1,+∞)上单调递增. 18.(本小题满分12分) 已知集合A为函数f(x)=log2(1-x)+的定义域,集合B为函数g(x)=-3的值域. (1)求A∩B; (2)若C={x|a-1<x<1-2a},且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分) 某购物中心举行抽奖活动,顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个球的抽奖箱中,每次取出1个球,记下编号后放回,连续取两次(假设取到任何-个小球的可能性相同).若取出的两个小球号码相加之和等于5,则中一等奖;若取出的两个小球号码相加之和等于4,则中二等奖;若取出的两个小球号码相加之和等于3,则中三等奖;其他情况不中奖. (1)求顾客中三等奖的概率; (2)求顾客未中奖的概率. 20.(本小题满分12分) 某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分)如下:56,58,62,63,63,65,66,68,69,71,72,72,73,74,75,76,77,78,79,,90,95,由于保存不利,其中[80,90)内的成绩被墨水覆盖.根据该数据绘制的频率分布直方图(如图)也被墨水覆盖了部分区域 (　　) (1)求成绩在区间[50,60)内的频率及抽样人数; (2)求成绩在区间[80,90)内的频数,并计算频率分布直方图中区间[80,90)对应的小矩形的高; (3)试估计全班成绩在82分以下的学生比例. 21.(本小题满分12分) 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台? (2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几? 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数. (1)求实数k的值. (2)若关于x的方程f(x)=+a没有实数根,求实数a的取值范围. (3)若函数g(x)=+m·2x-1,x∈[0,log23],是否存在实数m,使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由. 作业15　学业质量水平测试 1.C　(∁UA)∪B={0,4}∪{2,4}={0,2,4}. 2.D　全称量词命题的否定是存在量词命题,不等号要改变,选D. 3.B　∵logx16=2,∴x2=16.又x>0且x≠1,∴x=4.故选B. 4.D　∵cos α===x, ∴x=0或2(x2+5)=16,∴x=0或x2=3, ∴x=0(∵α是第二象限角,∴舍去)或x=(舍去)或x=-.故选D. 5.B　由不等式的性质及已知,可得|a|>|b|,a2>b2,>成立,假设>成立,∵a<b<0,∴a-b<0,∴>⇒a(a-b)·>·a(a-b)⇒a>a-b⇒b>0,与已知矛盾,故B不成立,选B. 6.A　∵y=f(x)是奇函数,且f(3)=6,∴f(-3)=-6, ∴9-3a=-6,解得a=5.故选A. 7.D　函数图象的对称轴为直线x=,根据二次函数的性质可知≤0或≥1,解得a≤0或a≥2. 8.D　原式===.故选D. 9.C　由题意可知,a>1,且m-1<-1,所以a>1,且m<0. 10.B　由题中图象可知loga3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B. 11.A　不等式可变为->-,又f(x)=-在R上是减函数,所以x<y. 12.A　因为α∈,所以2α∈,又∵sin 2α>0,∴<2α<π,故cos 2α=-.又β∈,所以β-α∈,故cos(β-α)=-.所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2α·cos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,且α+β∈,故α+β=.故选A. 13.(x+5)(x+7)<(x+6)2　因为(x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0. 所以(x+5)(x+7)<(x+6)2. 14.log32　由⇒x=log32,⇒x=-2不符合,故应填log32. 15.-1　因为sin=-, 所以cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x==sin=-1. 16.②③　因为f(x)=lg x,且x1≠x2, 所以f(x1+x2)=lg(x1+x2)≠lg x1·lg x2. 所以①不正确. f(x1·x2)=lg(x1·x2)=lg x1+lg x2=f(x1)+f(x2). 因此②正确. 因为f(x)=lg x是增函数, 所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号. 所以>0.因此③正确. 因为f>, 因此④是不正确的.综上,填②③. 17.解析:∵a,b,c都是正实数, ∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0. ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc. 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc, 当且仅当a=b=c时,等号成立. 18.解析:(1)由题易知A={x|x是小于6的正整数}={1,2,3,4,5},B={1,2}, ∴A∩B={1,2},A∪B={1,2,3,4,5}. (2)∵B∩C=C,∴C⊆B. 当C=⌀时,m=1,符合题意; 当C≠⌀时,m≠1,此时C={x|x=}. ∵C⊆B,∴=1或=2,解得m=2或m=. 综上所述,实数m的取值集合M={1,2,}. 19.解析:(1)原式=sin2α·+cos2α·+2sin αcos α= ===. (2)∵右边= = = = ==左边, ∴原等式成立. 20.证明:(1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2为方程的两根),所以ac<0. (2)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2为方程的两根). 所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号, 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 21.解析:(1)∵f(x)=+cos 2x-sin 2x=-sin 2x, ∴当sin 2x=-1时,f(x)max=, 此时2x=2kπ-(k∈Z),x=kπ-(k∈Z), ∴x的取值集合为. (2)∵f=-sin C=-, ∴sin C=, ∵C为锐角,∴C=. 由cos B=,得sin B==, ∴sin A=sin =cos B+sin B=. 22.解析:由题意知a+b+c=0,且->1,a<0且>1, ∴ac>0, ∴对于方程ax2+(a-b)x-c=0,有Δ=(a-b)2+4ac>0, ∴函数y=f(x)必有两个不同的零点. (2)∵函数f(x)的两个零点分别为m,n, ∴ax2+(a-b)x-c=0的两根为m,n, ∴m+n=,mn=-, ∴|m-n|2=(m+n)2-4mn=+4·, ∵b=-(a+c),∴|m-n|2=+8·+4. 由不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,t)可知, 方程ax2+bx+c=0的两个根分别为1和t(t>1), 由根与系数的关系,知=t, ∴|m-n|2=t2+8t+4, ∴|m-n|=,t∈(1,+∞), ∴|m-n|>, ∴|m-n|的取值范围为(,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $