作业10 函数的应用(二)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

几种常见的函数模型 　(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0). (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0). (3)一元二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 注意　一元二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的函数模型,常常用于处理最优、最省等问题,在高考的应用题中最为常见. (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1). 指数型函数在实际问题中的应用比较广泛,主要有以下两类: ①平均增长率问题:若原来产值的基数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y=N(1+p)x; ②储蓄中的复利问题:若本金为a,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x. (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1). (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1). (7)“对勾”函数模型:f(x)=ax+(a>0,b>0). (8)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题;或者将定义域上变化复杂的函数分成几段来研究,在每一段上函数有各自的变化规律,根据函数的具体变化,再分段选择相应的函数模型. 　　【例题】　某工厂拟建一座平面图(如图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造费用为每米400元,中间两条隔墙建造费用为每米248元,池底建造费用为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,高度一定,且池无盖). (1)写出总造价y(单位:元)与污水处理池长x(单位:米)的函数关系式,并指出其定义域; (2)求污水处理池长和宽各为多少时,污水处理池总造价最低?并求出最低总造价. 【思路点拨】　 【解析】　(1)由污水处理池的长为x米,池底面积为200平方米,得宽为米, 则总造价y=400+248××2+80×200=800+16 000. 由题设条件得解得12.5≤x≤16. 故y=800+16 000,定义域为[12.5,16]. (2)先研究函数y=f(x)=800+16 000在[12.5,16]上的单调性. 对于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=800=800(x2-x1). ∵12.5≤x1<x2≤16,∴0<x1x2<324,∴>1,即1-<0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0, 即f(x2)<f(x1),故函数y=f(x)在[12.5,16]上单调递减. ∴当x=16时,y取得最小值,ymin=800×+16 000=45 000,==12.5. 综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,为45 000元. 【名师点睛】　解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的应用题时,需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减,在和上单调递增)、值域和图象等.也可以通过变形构造,利用基本不等式求最值. 一、选择题 1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足 (　　) A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 2.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式:y=alog3(x+2),观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2024年冬越冬白鹤有 (　　) A.4 000只　　　　　B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只 3.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为 (　　) A.60安 B.240安 C.75安 D.135安 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按3元/m3收费;用水超过10 m3的,超过的部分按5元/m3收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水 (　　) A.13 m3 B.14 m3 C.15 m3 D.16 m3 5.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 (　　) A.125 B.100 C.75　 D.50 6.把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) (　　) A.1.78 B.2.77 C.2.89 D.4.40 7.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则的值所在的区间为 (　　) A.(1,2)　　　　 B.(5,6) C.(7,8) D.(15,16) 二、填空题 8.2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为6%,那么2025年年底该地区的农民人均年收入约为　　　　元.  9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.当销售单价为6元时,日均销售量为480桶.根据数据分析,销售单价在进价基础上每增加1元,日均销售量就减少40桶.为了使日均销售利润最大,销售单价应定为　　　　元.  三、解答题 10.有l米长的钢材,要做成如图所示的窗框:上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,通过窗户的光线最多?并求出窗户面积的最大值. 11.我们知道,人们对声音有着不同的感觉,这与它的强度有关系,声音的强度用I(W/m2 )表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下公式:L1=10lg (单位为分贝,L1≥0,其中I0=1×10-12,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题: (1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平; (2)某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下.试求声音强度I的范围. 作业10　函数的应用(二) 1.C　对于选项A,y=|x|是偶函数,与题意不符;对于选项B,y=2x2-3是偶函数,与题意不符;对于选项C,y=x3-x是奇函数,且存在零点x=-1,0,1,与题意相符;对于选项D,y=是奇函数,但不存在零点,与题意不符.故选C. 2.A　当x=1时,y=100,得a=100,故当x=7时,y=100log28=300. 3.B　由Δ>0,得4-4(k+3)>0,解得k<-2.故选B. 4.D　本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解.四种函数模型中,只有对数函数型模型具有初期增长迅速、后来增长越来越慢的特点.故选D. 5.C　画出数据点如图所示. 由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图象不是直线,排除选项D;此函数的图象不符合对数函数的图象,排除选项B. 6.B　∵函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,∴,即,∴g(x)=6x2-5x-1,∴g(x)的零点为1和-,故选B. 7.D　指数函数增长最快.故选D. 8.C　在同一坐标系中作出函数y=2x,y=lox的图象,由图象可知,当0<x0<a时,有<lox0,即f(x0)<0.故选C. 9.1　函数f(x)单调递增且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点. 10.y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m)　成本经过x年降低至y元,则y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m). 11.(0,3)　分析知m≠0,由二次函数的图象,知或,解得0<m<3. 12.解析:(1)根据题意知,空闲率是,故y关于x的函数关系式是y=kx·,0<x<m. (2)由(1)知,y=kx·=-x2+kx=+,0<x<m.则当x=时,ymax=,所以,鱼群年增长量的最大值为. 13.解析:(1)当m+6=0时,f(x)=-14x-5,显然有零点; 当m+6≠0时,由Δ=4(m-1)2-4(m+6)·(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-, ∴当m≤-,且m≠-6时,函数f(x)有零点. 综上,实数m的取值范围为. (2)由题目条件知m+6≠0,设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点, 则有x1+x2=-,x1x2=. ∵+=-4,即=-4, ∴-=-4,解得m=-3. 又当m=-3时,Δ>0,符合题意, ∴m=-3. 14.A　令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=x2-5x+4-m.由题意,可知h(x)在[0,3]上有两个不同的零点,故有,即,解得-<m≤-2,故选A. 15.e6-1　当v=12 000时,2 000·ln=12 000, ∴ln=6.∴=e6-1. 16.解析:设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数f1(x)=40(x∈N+)进行描述;方案二可用函数f2(x)=10x(x∈N+)进行描述;方案三可用函数f3(x)=0.4×2x-1(x∈N+)进行描述. 作出以上三个函数在[0,+∞)上的图象,如图所示. 由图象可知,每天所得回报,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一、二同样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多. 我们再看累计回报数,列表如下: 方案天数回报/元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 从上表可知,投资7天以内(不含7天),应选择第一种投资方案;投资7天,选择第一、二种方案均可;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天以上(含11天),应选择第三种投资方案. 学科网（北京）股份有限公司 $