寒假作业(九) 三角恒等变换-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高一数学寒假作业

高一数学寒假作业（九）三角恒等变换 知=识-巩固 (3)已知tana-）=号，则tana= 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(a-:cos(a-B)= 【解析】 (2)Ca+B:cos(a十B)= (1)2tan0-tan(g+T）- (3)S+a:sin(a+)= (4)S-:sin(a-B)- 2tan 0- 1十tan9=7,解得tan0=2.故选D 1-tan 0 (5)Ta+:tan(a+B)= (6)Ta-:tan(a-β)= (2)cos2-sinsin cos 0+sin 0 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 1-tan0 (1)S2o sin 2a= 1+tan20' 把an0=一号代入，原式= (2)C2a:cos 2a= 故选D. 1-2sin2a= (3)本题主要考查两角差的正切公 (3)T2a:tan 2a- 3.函数f(a)=acos a+bsin a(a,b为常 式 数)，可以化为f(a)=√a+bsin(a十p) tana-tan 5 5 4- tan a-1= 或f(a)=√a2+bcos(a-),其中g可 tan 4 1十tanatan4 1+tan a 由a,b的值唯一确定. 解得tana= 1 精=典例一析 3 ()已知2iam0-tan(0+F）=7,则 【答案】(1)D (2)D(3) tan 0= ( A.-2 B.-1 精典题一练 C.1 D.2 1.sin20°cos10°-cos160°sin10°= (2)若tan0=- 3则cos20- ( ( A.- 4 A.- 2 B. 2 5 C.5 D. 4 c-号 5 D.2 ·28· 2.函数f(x)=cos2x+6cos(受-x的最 6.已知a,3都是锐角，若sina= 5,sin B= 大值为 则a+A等于 A.4 B.5 C.6 D.7 A. 3.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有 C.平和 D.一平和一3 4 的点向左平移否个单位长度，再把所得 7.已知a∈(0，)tana=2,则co(。-)- 图象的点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)，得到的图象所表示的函 8.已知0是第四象限的角，且sin(0+不)- 数为 Ay=sim(2x-)x∈R ,则ang）= By=sn合若》∈R 9.若im±cos严=3，tan(x-y)=2,则 sin x-cos x tan(y-2x)= C.y=sim(2z+）x∈R 10.函数f(x)=sin2x+√3cosx D.y=sim(2x+）xeR (ce[o,])的最大值是 4.若tan0=-号，则cos20= 11.设0<0<5，向量a=(sin20,cos), b=(1,-cos0),若a·b=0,则tan0= A号 4 c l2.已知a3为锐角，tana=3,cos(a十B)= 5 5已知函数f()=sin受+ 2 sin wa- (1)求cos2a的值； 2o>0x∈R若fx)在区间(x,2) 内没有零点，则ω的取值范围是( A(o,8] (o,U[ c(o,] D.(o.[ ·29· (2)求tan(a-B)的值. (2若8+d-a=号tc,求1anB 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,且cosA+cosB_sinC b (1)证明：sin Asin B=sinC; ·30· 14.设函数f(x)=2cosx(cosx十√3sinx) (2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最 (x∈R). 大值. (1)求函数y=f(x)的周期和单调递 增区间； ·31·①由m-co-， 3 f()-(停)-()-2× ×(2) 得()=2 (2)由cos2x=cos2x-sinx与sin2x=2sin ccos x得 f(r)--cos 2.r-/3sin 2x--2sin(2) 所以f(x)的最小正周期是π. 由5+2km<2x+晋<5+2kx,k∈Z, 解得君十k≤<+m,∈Z 所以，(x)的单调递增区间是 [吾+m,号+x]k∈z. 高一数学寒假作业（九）三角恒等变换 知识巩固 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin a sin B (3)sin acos B+cos asin B (4)sin acos B -cos asin B 6" (6)tan a-tan B 1+tan atan B 2.(1)2sin a cos a (2)cos'a-sin'a 2cos'a-1 (3).2tana 1-tan'a 精典题练 1.Dsin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20° cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10) =sin30°=2.故选D 2.B f(x)=1-2sin'z+6sin x =-2(snx- )周为m6[-1,. 所以当sinx=1时，f(x)取得最大值，且 f（x)mx=5.故选B. 左移石 3.D y=sin x y=sin(x+晋) 横坐标伸长 到2倍 y=sin(2x+否故选D. /1 ·5 4.D方法一：（通性通法)由tan0=一 1 3 得sin0=-0 eos0=3或sing= 10 10, 00,所以c0s20=os10-5n0=4 cos0=-310 故选D. 方法二：（光速解法）cos29=cos0-sin0 cos 0+sin 0 1-tan0 1-（-3】 4 1+tan0 1+(-3) ·故选D. 5.D本题考查三角函数的性质、函数与方程，考 查考生的运算求解能力.函数f(x)=1一c0巡 2 +名nr+-号n(a)w>0.当e (,2m)时，uz-平∈(um-平，2元-平)(u>0), 则问题转化为函数y=sint在t∈ (um一平2一军)0<u<1上无零点， wx-≥0， 则 或 解得0K<名或≤≤客故选D 1 6.A由于a,B都为锐角，所以cosa=√1-sin2a -25s月1-m9-3Y 10 所以cosa+B)=cosa·cos月-sina·snB号， 所以a十=平故选A. 7.解析：国为a∈(0，受)，且ana==2,所 以sina=2cosa,又sina+cos'a=1, 所以sin&=25osa-=停则cos(e晋） w6o+nen子-9x9+25×9 >2 5 2 =310 10 答案四 8.解析：sin(0叶)= 巨×(sin0+cos0) 1 ∴.sin0+cos0= 30 5 :.2sin acos=-25 .0是第四象限角，∴.sin0<0,cos0>0, ÷n9-cos9=-1-2m9os9=4y@. 4 由①②得sin0=一2 ,cos0=72 10 ..tan 0=-1 3 答案：青 9.解析：由in十cos2=3, sin x-cos x 得anx十1 an-3,即anx=2 tan(y-x)=-tan(x-y)=-2, ..tan(y-2.x)= tan(y-x)-tan x -2-2 1+tan(y-x)tan x 1-4 、4 答案：号 10,解析：依题意，x)=sinx十cos一是 -osx+5cosz+-(9+1. 因为x∈[0，受]，所以cosx∈[0,1]，因此当 c0sr=号时，f）m=1. 答案：1 11.解析：因为a·b=0,所以sin20-cos0=0, 2 esin cos0=cosa因为0<0<5，所以 cos2incs 0tan 答案：日 12.解析：本题主要考查同角三角函数的基本关 系、两角差及二倍角的三角函数，考查考生的 运算求解能力， ·56 (1)因为tana= 3,tan a=sina cos a 4 所以sina=3cos. 因为sina+cos。=1,所以cosa=2号， cos 2a=2cos'a-1= (2)因为a,3为锐角，所以a十B∈(0，π). 又因为cos(a十)= 5 所以sin(a+B)=√/个-cos'(a+B=2 5， 因此tan(a十B)=-2. 因为an。=台，所以1am2么 2tan a- 1-tan'a _24 7 因此tan(a-B)=tan[2a-(a十B)] -tan 2a tan(a+B) 2 1+tan2atan(a十B)11 13.解：(1)证明：根据正弦定理，可设a b sin A sin B sin C(0). a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入osA+osB_sinC中，有 a b 十层如名·变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A 十B). 在△ABC中，由A+B+C=π， 得sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 所以sin Asin B=sinC. (2)由已知，6+6-。=号c,张据会弦定 理，有cosA=+c-a2=3 2bc Γ-5 所以sinA=√个-cos'A= 61 由(1)，sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以号nB=青cosB+音snB, 故tanB=sinB=4. cos B 14.解：(1)因为f(x)=2cosx(cosx十√3sinx)= 2m2x+君）+1T-2经= :2km-<2x+吾<2kπ十受， km一晋<≤x+晋，通数y=f)的单调 递增区间为[kx一晋x十否](k∈》， (2)x[0,] 2x+看∈[g], m(2x+）e[小， “f(x)=2sin(2x+晋）+1的最大值是3. 高一数学寒假作业（十）函数y=Asin(wx十o) 的图象及应用 知识巩固 1.(1)f(x+T)一f(x)(2)最小正周期 (3)2π 2π 3.A wx+o 9 Tol Tol 4.(1)左右9(2)伸长缩短】 (3)伸 长缩短A 精典题练 1.B将y=3sinx的图象上的所有，点的横坐标 缩短2倍得到y=3sin2x的图象，再将y 3sin2x的图象再向上平移1个单位长度即得 y=3sin2x十1的图象.故选B. 2.B本题考查了余弦型函数的单调区间，余弦 型函数的周期. 令2k≤ar-至<2kx十元(k∈Z, 6 2kx+ ∠∠ 2kr千6(（k∈Z), 因为函数()在（受x)上单调递减， 2kπ十6≤， 所以 其中k∈Z, 2x+ ·5 解得4+3<w<2+名(k∈Z, 又因为函数f()在（受元）上单调递减，所以 T≥r→w≤2， 又w>0,所以k=0,故有号<w≤行故选B. 3.D由周象可知-晋一香-牙T=, ∴m二=2，故排除A.C,把x=吾代入检验 知，选项D符合题意.故选D. 4.A函数的解析式：f(x)=sinx十√3cosx= 2sin(+5） 逐一考查所给的选项： A.9=晋a=2,向左平移g(g>0)个单位， 得到函教y=2sin(z+晋+号）=2cosx的解 析式， 再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的 a倍，纵坐标不变， 得到函数y=2cos2x的解析式， 即g(x)=2cos2x,符合题意； B.p=受a=向左平移g(g>0)个单位， 得到函数y=2sm(+受+号）=2os(r+) 的解析式， 再将所得图象上每个，点的横坐标变为原来的 a倍，纵坐标不变， 得到函数y=20s(2x+5)的解析式， 即g(x)=20s(2x+),不合题意： C9=受，a=2,向左平移(p>0)个单位， 得到函数v=2n(x+受+5）=2os(x+5)的 解析式， 再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的 a倍，纵坐标不变， 得到画数y=20s(2十吾)的解折式， 即g)=2os(x十），不合题意： D.9=否a=2,向左平移p(p>0)个单位