作业13 三角恒等变换-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　《易经》是中国传统文化中的精髓,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每卦由三根线组成(“” 表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为　　　　.  【解析】　记八卦分别为1,2,3,4,5,6,7,8,则从八卦中任取两卦,可能情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8),共28种取法. 若两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线,可按取得卦的阳、阴线的根数分类计算: 当有一卦阳、阴线的根数为3,0时,另一卦阳、阴线的根数为0,3,共有1种取法. 当有一卦阳、阴线的根数为2,1时,另一卦阳、阴线的根数为1,2,共有3×3=9(种)取法. 所以两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的取法有1+9=10(种). 则从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为P==. 【答案】　 【名师点睛】　1.求解古典概型“四步法” 2.列表法求解样本点个数的思路 列表法就是利用表格的形式列出所有的样本点,通常用来解决试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果比较多的问题.表格的行与列分别代表不同的元素,根据试验的要求直接在表格中标出相应的结果,这种方法直观、简洁、不易出错. 3.用坐标系来表示样本点多用于二维或三维问题,并且往往表达含有顺序问题的样本点,但要求元素不宜过多. 一、选择题 1.(多选)下列对概率的说法错误的是 (　　) A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90% 2.下列现象是必然事件的是 (　　) A.某路口单位时间内通过的车辆数 B.正n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3) C.某同学竞选学生会主席成功 D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数 3.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;B=“恰好两枚正面朝上”;C=“恰好两枚正面朝下”;D=“至少一枚正面朝上”;E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是 (　　) A.A与B　　　　　 B.C与D C.B与C D.C与E 4.若随机事件A,B互斥,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为 (　　) A.(,] B.(1,] C.(,) D.(,) 5.2020年春节期间,一场突如其来的新型冠状病毒肺炎自武汉开始迅速向全国蔓延,随之而来的是医疗物资的紧缺,由于武汉医务人员和医院床位严重不够,国家领导人当机立断,仅仅用了十多天时间建成两座医院,名为“火神山”“雷神山”,全国人民如同一家人,纷纷捐款捐物,全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路,纷纷驰援武汉.假设火神山医院有2名志愿者医生来自湖南湘雅医院,有2名志愿者医生来自广州中山医科大学附属医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为 (　　) A. B. C. D. 7.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 (　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 二、填空题 8.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为　　　,拨号不超过3次而接通电话可表示为　　　　　　　　　　　.  9.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有如图所示图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是　　　　.  三、解答题 10.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购 物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件及 以上 顾客数(天) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 11.甲,乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率. (2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率. 作业13　三角恒等变换 1.C　原式=cos(44°-14°)=cos 30°=. 2.B　原式=·=-=-cos=-. 3.A　由题意可得sin α=,cos α=, cos=coscos α+sinsin α =×+×=. 4.A　∵2sin α=cos α, ∴====3.故选A. 5.D　|AB|= = ===1. 6.B　由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=1-2sin2α+1,即2sin αcos α=1-sin2α.因为α∈,所以cos α=,所以2sin α=1-sin2α,解得sin α=,故选B. 7.A　由题可得,sin(α+β)=,cos=,∴sin=sin=sin(α+β)cos-cos(α+β)sin=×-×=,故选A. 8.C　∵α,β∈,∴α-β∈,2α∈(0,π), sin(α-β)=-,sin 2α=, ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) =×+×=-, ∵α+β∈(0,π),∴α+β=. 9.　(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-sin 2α=,即sin 2α=1-=. 10.0　∵α为第三象限角, ∴cos α<0,sin α<0, ∴- =- =-=0. 11.-　= ===-. 12.证明:∵左边= = == =tan+=右边, ∴原等式成立. 13.解析:(1)因为α,β∈,所以α-β∈, 又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<. 所以sin α==, cos(α-β)==, sin(2α-β)=sin[α+(α-β)] =sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β) =×+×=. (2)sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =×-×=. 又因为β∈,所以β=. 14.C　①式化简后为f(x)=sin 2x+1,③式化简后为f(x)=2sin,①④中振幅不同,平移后不能重合,②③振幅、周期相同,平移后可以重合. 15.　原式=sin220°+sin(60°+20°)·sin(60°-20°) =sin220°+(sin 60°cos 20°+cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°-cos 60°sin 20°) =sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220° =sin220°+cos220°-sin220° =sin220°+cos220°=. 16.解析:在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α,在Rt△OAD中,=tan=,所以OA=DA=BC=sin α,所以AB=OB-OA=cos α-sin α. 设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=·sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-=-=sin-. 由0<α<,得<2α+<,所以当2α+=,即α=时,S取得最大值,最大值为-=. 因此,当α=时,矩形ABCD的面积最大,且最大面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $