作业11 任意角、弧度制、三角函数的概念、诱导公式-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　广东某高中开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表: 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 　　其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对这两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人.  【解析】　方法一　因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的,故“剪纸”社团的人数为800×=320. 因为“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为==, 所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×=96. 由题意知,抽样比为=,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×=6. 方法二　因为“ 泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的,故抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为50×=20. 又“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为==,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×=6. 【答案】　6 【名师点睛】　解决分层随机抽样中的容量问题,关键是求出抽样比,即样本容量与总体容量的比,由分层随机抽样的特点可知,样本中从各层抽取的样本数量与该层的个体数量之比等于抽样比,即抽样比==,这是求解分层随机抽样中有关容量问题的依据.如该题中可以先求出总体中“剪纸”社团的人数,然后按照各年级人数之比及抽样比求解样本中的相关数量(方法一);也可先求出样本中“剪纸”社团的人数,再根据各年级人数之比求解样本中的相关数量(方法二). 【解题通法】　分层随机抽样中有关抽样比的计算方法 对于分层随机抽样中的比值问题,常利用以下关系式求解: (1)=; (2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 对于分层随机抽样中求某层个体数或某层要抽取的个体数的问题,都可以通过上面两个等量关系求解. 一、选择题 1.某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩,从5 000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计,则下列表述正确的是 (　　) A.5 000名学生是总体 B.250名学生是总体的一个样本 C.样本容量是250 D.每一名学生是个体 2.现要完成下列3项抽样调查.①我校共有320名教职工,其中教师270名,行政人员20名,后勤人员30名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为32的样本.②某公司决定从公司内的800名员工中抽取25名调查他们对目前工作的满意程度.③从高二年级24个班级中抽取3个班进行卫生检查.较为合理的抽样方法是 (　　) A.①简单随机抽样,②分层随机抽样,③分层随机抽样 B.①简单随机抽样,②分层随机抽样,③简单随机抽样 C.①分层随机抽样,②简单随机抽样,③简单随机抽样 D.①分层随机抽样,②分层随机抽样,③简单随机抽样 3.(多选)已知下列抽取样本的方式,其中不是简单随机抽样的是 (　　) A.从无限个个体中抽取100个个体作为样本 B.盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 C.从20件玩具中逐个不放回地抽取3件进行质量检验 D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 4.某班由50个编号为01,02,03,…,50的学生组成,现在要选取8名学生参加合唱团,选取方法是从如下随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字,则该样本中选出的第8名同学的编号为 (　　) 49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　30 35　20　96　23　84　26　34　91　64　50　25 83　92　12　06　76　57　23　55　06　88　77 04　47　67　21　76　33　50　25　83　92　12 A.20　 　B.25　 　C.26　 　D.34 5.某学校高一、高二、高三共有学生3 500人,其中高三学生人数是高一学生人数的两倍,高二学生人数比高一学生人数多300,现在按的抽样比用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取高一学生的人数为 (　　) A.8 B.11 C.16 D.10 6.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区进行分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为 (　　) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 7.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本,选用简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本,在简单随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p1,某个个体被抽中的概率为p2;在分层随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p3,则 (　　) A.p2<p1<p3 B.p1=p2=p3 C.p2<p1=p3 D.p1,p2,p3没有关系 二、填空题 8.下列任务中,适合采用普查方式的是　　　　　　　.  ①了解一沓钞票中是否有假币;②了解一批炮弹的杀伤半径;③了解某天本校因病缺课的学生数;④调查某部电视剧在某市的收视率;⑤调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品. 9.为了落实“回天计划”,政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园.针对公园中的体育设施需求,某社区采用分层随机抽样的方法对21岁至65岁的居民进行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人,36岁至50岁的居民有700人,51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人,则这次抽样调查抽取的总人数是　　　　.  三、解答题 10.现有一批编号为10,11,…,99,100,…,600的元件,打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验,如何用随机数表法设计抽样方案? 11.某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的机会是0.18. (1)问高二年级有多少名女生? (2)现对各年级用分层随机抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生? 作业11　任意角、弧度制、三角 函数的概念、诱导公式 1.D　分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°×=-960°. 2.A　可以估算-1 485°介于-5×360°与-4×360°之间.∵0°≤α<360°,∴k=-5,则α=315°. 3.C　由S=|α|r2得=×α×12,所以α=. 4.D　由题意可知x=-4,y=3,r=5,所以cos α==-.故选D. 5.D　∵sin α=-,且α为第四象限角,∴cos α=, ∴tan α==-,故选D. 6.A　由三角函数定义可得Q,cos=-,sin=. 7.D　原式=+ =+=, ∵π<α<,∴原式=-.故选D. 8.D　∵A+B+C=π,∴A+B=π-C, ∴cos (A+B)=-cos C,sin (A+B)=sin C,故A,B错;∵A+C=π-B,∴=,∴cos=cos =sin,故C错;∵B+C=π-A,∴sin=sin=cos,故D正确.故选D. 9.-1　原式=sinπ+cos+cos π+1=-1+0-1+1=-1. 10.　由条件,知x=-4m,y=3m,r==5|m|=5m,∴sin α==,cos α==-,∴2sin α+cos α=. 11.　7　∵tan α+=3,∴+=3, 即=3, ∴sin αcos α=,tan2α+=-2tan α·=9-2=7. 12.证明:方法一(比较法——作差) ∵-===0, ∴=. 方法二(比较法——作商) ∵== ===1. ∴=. 13.解析:法1:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z), 原式= ===-1; 当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z), 原式= ===-1. 综上可得:原式=-1. 法2:由(kπ+α)+(kπ-α)=2kπ, [(k-1)π-α]+[(k+1)π+α]=2kπ,得: sin(kπ-α)=-sin(kπ+α), cos[(k-1)π-α]=cos[(k+1)π+α]=-cos(kπ+α), sin[(k+1)π+α]=-sin(kπ+α), 故原式==-1. 14.D　对于集合A, α=45°+k·180°=45°+2k·90°, 或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90° =45°+(2k+1)·90°,k∈Z. ∵k∈Z,∴2k表示所有的偶数,2k+1表示所有的奇数, ∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z}, 又集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z}, ∴A=B.故选D. 15.{-4,0,2}　由sin x≠0,cos x≠0知,x的终边不能落在坐标轴上, 当x为第一象限角时,sin x>0,cos x>0, sin xcos x>0,y=0; 当x为第二象限角时,sin x>0,cos x<0, sin xcos x<0,y=2; 当x为第三象限角时,sin x<0,cos x<0, sin xcos x>0,y=-4; 当x为第四象限角时,sin x<0,cos x>0, sin xcos x<0,y=2. 故函数y=+-的值域为{-4,0,2}. 16.解析:(1)设扇形的圆心角为θ,扇形所在圆的半径为R,依题意有解得θ=或6.即圆心角的大小为 rad或6 rad. (2)设扇形所在圆的半径为x cm,则扇形的圆心角为θ=,于是扇形的面积是 S=x2·=4x-x2=-(x-2)2+4. 故当x=2 cm时,S取到最大值. 此时圆心角θ==2 (rad), 弦长AB=2·2sin 1=4sin 1 (cm). 即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度,弦长AB为4sin 1 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $