作业5 函数的概念及其表示-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由. 【思路点拨】　(1)f(x+y)=f(x)+f(y)对一切x,y∈R均成立,令y=-x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x),因此,需先计算f(0);(2)应先研究函数f(x)在[-3,3]上的单调性,然后确定f(x)是否存在最值. 【解析】　(1)令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 令y=-x,则有0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数. (2)任取-3≤x1<x2≤3,则x2-x1>0. 由题意,得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在[-3,3]上单调递减. 所以函数f(x)在[-3,3]上有最值,最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=-6. 【名师点睛】　第(1)小问中利用“赋值法”得出f(x)是奇函数,这是一种较为常用的技巧,想到这样做是因为y=f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x),从形式上可以看出函数的奇偶性与x和-x有关,所以想到把式中的y去掉,且同时要出现x和-x,令y=-x就不难理解了.第(2)小问中f(x)是抽象函数,不可能求出具体的解析式来解决最值问题,因此考虑利用函数的单调性来解决. 【解题通法】　判断或证明抽象函数的奇偶性,需利用奇、偶函数的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形,找出f(x)与f(-x)的关系. 一、选择题 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　) A.f(x)=3-x　　B.f(x)=-x2-3x C.f(x)= D.f(x)=|x| 2.(多选)下列命题中为真命题的是 (　　) A.定义在(a,b)上的函数f(x),如果∃x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上单调递增 B.如果函数f(x)在区间I1上单调递减,在区间I2上也单调递减,那么f(x)在区间I1∪I2上就一定单调递减 C.∀x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当<0时,f(x)在(a,b)上单调递减 D.∀x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0时,f(x)在(a,b)上单调递增 3.函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是 (　　) A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 5.已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x-2,则f的值为 (　　) A.- B.- C. D. 6.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为 (　　) A.(1,2) B.(0,1)∪(2,3) C.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3) D.(-3,-2)∪(-1,1)∪(2,3) 7.若定义在R上的函数f(x)满足f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)-1,其中x1,x2∈R,则下列说法一定正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)+1为奇函数 C.f(x)为偶函数 D.f(x)+1为偶函数 二、填空题 8.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-x-1,那么当x<0时,f(x)=　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的减区间为　　　　.  三、解答题 10.判断函数f(x)=在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明. 11.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值. 作业5　函数的概念及其表示 1.B　要使f(x)=有意义,则需1-x≥0,即x≤1,所以M={x|x≤1},∁RM={x|x>1}. 2.ABD　由函数的概念,可知①②④能表示成函数y=f(x),③不能表示成函数y=f(x). 3.B　①中不是同一函数:f(x)==-x(x≤0)与g(x)=x(x≤0)的对应关系不同;②中不是同一函数:f(x)=x值域为R,g(x)==|x|,值域为[0,+∞),故不是同一函数;③中是同一函数:f(x)=x0=1的定义域为{x|x≠0},g(x)==1的定义域为{x|x≠0},对应关系也相同,是同一函数;④中是同一函数:f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,定义域相同,对应关系也相同,∴是同一函数. 4.A　f(2)==,故选A. 5.D　f=f=f.当-b<1,即b>时,3×-b=4,解得b=(舍).当-b≥1,即b≤时,2×=4,解得b=.故选D. 6.C　由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.故选C. 7.B　方法一(配凑法)　∵f=x2+=+2, ∴f(x)=x2+2(x≠0). 方法二(换元法)　令t=x-(x≠0),则t2==x2+-2,∴x2+=t2+2, ∴f(t)=t2+2(t≠0), ∴f(x)的表达式为f(x)=x2+2(x≠0). 8.A　已知f=2x+3,且f(m)=6,令-1=m,则x=2+2m, 则f(m)=2(2+2m)+3=7+4m=6, 解得m=-. 9.　4　由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,故f(f(2))=4. 10.2　由题表得f(0)=3,∴f(f(0))=f(3)=-1, ∴f(f(f(0)))=f(-1)=2. 11.{x|x>0或x<-4}　当x≥-2时,f(x)=x+2,由f(x)>2,得x+2>2,解得x>0,故x>0; 当x<-2时,f(x)=-x-2,由f(x)>2,得-x-2>2,解得x<-4,故x<-4. ∴x的取值范围是{x|x>0或x<-4}. 12.解析:(1)函数y的值域为{3,5,7}; (2)y=(x+1)2-1,x∈[-2,2],画出二次函数的图象,由图象,得函数y的值域为[-1,8]; (3)方法一:∵y=2+, ∴函数y的值域是{y|y≠2}. 方法二:由y=,得x=. ∵x存在,∴y≠2. ∴函数y的值域是{y|y≠2}. 13.解析:(1)解法一　(换元法)令t==+1,则x=(t≠1), 把x=代入f=+,得 f(t)=+=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1. ∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞). 解法二　(配凑法)∵f=+=-=-+1, ∴f(x)=x2-x+1. 又∵=+1≠1, ∴所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1(x≠1). (2)解法一　(换元法)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二　(配凑法)∵x+2=(+1)2-1, ∴f(+1)=(+1)2-1. 又∵+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1). (3)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=1,∴c=1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 整理得,2ax+(a+b)=2x.由恒等式性质知上式中对应项系数相等. ∴解得a=1,b=-1, ∴f(x)=x2-x+1. (4)(方程组法)在原式中用替换x, 得f-2f(x)=+2, 于是有 消去f,得f(x)=-x--2. 14.B　根据题图及题意分析可知①正确,②③错误. 15.　∵f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1, ∴令x=y=,得f(2)=f()+f()=1. ∴f()=. 16.解析:由f(x)=x,得=x,即ax2+(b-1)x=0. ∵方程f(x)=x有唯一解,∴Δ=(b-1)2=0,即b=1. 又∵f(2)=1,∴=1,∴a=. ∴f(x)==. ∴f(f(-3))=f(6)==. 学科网（北京）股份有限公司 $