4.5 增长速度的比较&4.6 函数的应用(二)-【新课程寒假作业】2024-2025学年高一数学（通用版）

夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. 函数 f （ x ） = x 姨 从 0 到 2 的平均变化率为 （ ） A. 2 姨 2 B. 1 C. 0 D. 2 2. 若函数 f （ x ） =x 2 +x ， 则函数 f （ x ） 从 x=-1 到 x=2 的平均变化率为 （ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 3. 函数 f （ x ） =2x 2 -1 在区间 （ 1 ， 1+Δx ） 上的平均变化率 Δy Δx 等于 （ ） A. 4 B. 4+2Δx C. 4+2 （ Δx ） 2 D. 4x 4. 物体按照 s （ t ） =3t 2 +t+4 的规律做直线运动 ， 则在 4 到 4+Δt 这段时间 内的平均速度 v 为 . 5. 已知函数 y＝x 3 －2 ， 当 x＝2 时 ， Δy Δx = . 6. 如图是函数 y＝f （ x ） 的图象 ， 则函数 f （ x ） 在区间 ［ 0 ， 2 ］ 上的平均 变化率为 . 7. 一质点做直线运动 ， 其位移 s 与时间 t 的关系为 s （ t ） ＝t 2 ＋1 ， 该质点在 2 到 2＋Δt （ Δt>0 ） 之间的平均速度不大于 5. 求 Δt 的取值范围 . 4.5 增长速度的比较 拓展 · 探究 能力 · 提升 夯实 · 基础 第 6 题图 4 3 2 1 -1 O 1 2 3 4 x y 39 第 周 年 月 日 寒 假 作 业 新课程 1. 2019 年 1 月 3 日 ， “ 嫦娥四号 ” 探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆 ， 我 国航天事业取得又一重大成就 . 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与 探测器的通信联系 . 为解决这个问题 ， 发射了 “ 嫦娥四号 ” 中继星 “ 鹊桥 ”， “ 鹊桥 ” 沿着围 绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行 ， L 2 点是平衡点 ， 位于地月连线的延长线上 . 设地球质量为 M 1 ， 月球质量为 M 2 ， 地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为 r ， 根据牛顿运动定律和万有引力 定律 ， r 满足方程 ： M 1 （ R+r ） 2 + M 2 r 2 = （ R+r ） M 1 R 3 . 设 α= r R ， 由于 α 的值很小 ， 因此在近似计算中 3α 3 +3α 4 +α 5 （ 1+α ） 2 ≈3α 3 ， 则 r 的近似值为 （ ） A. M 2 M 1 姨 R B. M 2 2M 1 姨 R C. 3M 2 M 1 3 姨 R D. M 2 3M 1 3 姨 R 2. 某群体的人均通勤时间 ， 是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时 . 某 地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤 . 分析显示 ： 当 S 中 x% （ 0<x<100 ） 的成员自 驾时 ， 自驾群体的人均通勤时间为 f （ x ） = 30 ， 0<x≤30 ， 2x+ 1800 x -90 ， 30<x<10 0 & & & & % & & & & ' 0 （ 单位 ： 分钟 ）， 而公交 群体的人均通勤时间不受 x 影响 ， 恒为 40 分钟 ， 试根据上述分析结果回答下列问题 . （ 1 ） 当 x 在什么范围内时 ， 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 ？ （ 2 ） 求该地上班族 S 的人均通勤时间 g （ x ） 的表达式 ； 讨论 g （ x ） 的单调性 ， 并说明其实 际意义 . 3. 已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里 ， 一超级快艇在 AB 段航行 ， 经过多次试验 得到其每小时航行费用 Q （ 单位 ： 万元 ） 与速度 v （ 单位 ： 百公里 / 时 ） （ 0≤v≤3 ） 的以下 数据 ： 4.6 函数的应用 （ 二 ） 能力 · 提升 夯实 · 基础 40 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系 ， 现有以下三种函数模型供选择 ： Q＝av 3 ＋bv 2 ＋cv ， Q＝0.5 v ＋a ， Q＝klog a v＋b. （ 1 ） 试从中确定最符合实际的函数模型 ， 并求出相应的函数解析式 . （ 2 ） 该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少 ？ 请求出最少航行费用 . 4. 某地拟建造一座体育馆 ， 其设计方案侧面的外轮廓线如图所示 ， 曲线 AB 是以点 E 为 圆心的圆的一部分 ， 其中 E （ 0 ， t ） （ 0<t≤25 ）， GF 是圆的切线 ， 且 GF⊥AD ， 曲线 BC 是抛 物线 y=-ax 2 +50 （ a>0 ） 的一部分 ， CD⊥AD ， 且 CD 恰好等于圆 E 的半径 . （ 1 ） 若 CD=30 m ， AD=24 5 姨 m ， 求 t 与 a 的值 ； （ 2 ） 若体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 m ， 求 a 的取值范围 . 5. 某企业拟用 10 万元投资甲 、 乙两种商品 . 已知各投入 x 万元 ， 甲 、 乙两种商品分别可 获得 y 1 ， y 2 万元的利润 ， 利润曲线 P 1 ： y 1 =ax n ， P 2 ： y 2 =bx+c ， 如图所示 . （ 1 ） 求函数 y 1 ， y 2 的解析式 ； （ 2 ） 应怎样分配投资资金 ， 才能使投资获得的利润最大 ？ B y E OAF G C D x 1.25 2.5 1 O 1 4 P 1 ： y 1 =ax n P 2 ： y 2 =bx+c x y 第 4 题图 第 5 题图 v 0 1 2 3 Q 0 0.7 1.6 3.3 41 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 第 周 年 月 日 8. （ １ ） p=4log 3 2. （ 2 ） 设 3 x =4 y =6 z =k ， 则 1 z - 1 x = 1 log 6 k - 1 log 3 k =log k 6-log k 3=log k 2= 1 2 log k 4= 1 2y ， 所以 1 z - 1 x = 1 2y . 9. （ 1 ） P= 1 2 2 " t 5730 . （ 2 ） 约为 2193 年前 . 10. x=4 或 x=8. 4.2.3 对数函数的性质与图象 1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. A 7. （ 0 ， １ ］ 8. （ 0 ， ２ ） 9. （ 1 ） （ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） ［ 0 ， 1 ］ . 10. （ 1 ） f （ x ） 的定义域为 （ -3 ， 3 ）， f （ x ） 为偶函数 . （ 2 ） -1<m< 1 3 或 1<m<2. 4.3 指数函数与对数函数的关系 1. D 2. A 3. B 4. B 5. B 6. 3 7. （ 3 ， 1 ） 8. （ 1 ） y=10 x . （ 2 ） y= 1 3 2 " x . （ 3 ） y=log 2 姨 x （ x>0 ） . （ 4 ） y=log 2 3 x （ x>0 ） . 4.4 幂 函 数 1. A 2. B 3. （ 3 ， 5 ） 4. 16 5. －1 6. （ 1 ） m=0. （ 2 ） k∈ ［ 0 ， １ ］ . 4.5 增长速度的比较 1. A 2. B 3. B 4. 25+3Δt 5. （ Δx ） 2 +6Δx+12 6. 3 4 7. Δt∈ （ 0 ， 1 ］ . 4.6 函数的应用 （ 二 ） 1. D 2. （ 1 ） （ 45 ， 100 ） . （ 2 ） 略 . 3. （ 1 ） 选择函数模型 Q=av 3 +bv 2 +cv ， 函数解析式为 Q=0.1v 3 -0.2v 2 +0.8v （ 0≤v≤3 ） . （ 2 ） 以 1 百公里 / 时航行时可 使 AB 段的航行费用最少 ， 且最少航行费用为 2.1 万元 . 4. （ 1 ） t=20 ， a= 1 49 . （ 2 ） 1 100 ， + " ∞ & . 5. （ 1 ） y 1 = 5 4 x 姨 ， y 2 = 1 4 x. （2 ） 当投资甲商品 6.25 万元 ， 投资乙商品 3.75 万元时 ， 所获得的利润最大 . 第五章 统计与概率 5.1 统 计 5.1.1 数据的收集 1. B 2. A 3. D 4. D 5. C 6. C 7. 19 8. 02 73