作业7 幂函数与函数的应用(一)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

　　【例题】　已知函数f(x)=(a>0,a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)求f(x)的值域. 【思路点拨】　(1)根据函数的奇偶性定义进行判断;(2)分离常数,并根据单调性的定义进行证明;(3)通过分离常数对函数变形,从复合函数的角度分析求值域. 【解析】　(1)易知函数f(x)的定义域为R, 因为f(-x)====-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)因为函数f(x)==1-,设x1,x2∈R,x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-=. 当a>1时,y=ax在R上单调递增,由x1<x2,得<,所以-<0,又+1>0,+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即此时f(x)在R上单调递增; 同理,当0<a<1时f(x1)>f(x2),即此时f(x)在R上单调递减. 综上,当a>1时,函数f(x)在R上单调递增, 当0<a<1时,函数f(x)在R上单调递减. (3)令ax=t,则t>0, 结合(2)知原函数等价于y=1-, 易知y=1-在区间(0,+∞)上单调递增,所以-1<1-<1,故f(x)的值域为(-1,1). 【名师点睛】　(1)一般用f(x)=这个形式的解析式研究上述函数的奇偶性;(2)用f(x)=1-这个形式的解析式研究上述函数的单调性;(3)由于定义域为R,仅考虑函数单调性不能求出值域,因此通过换元,从复合函数的角度求解,当然同学们也可尝试结合内层与外层函数的图象性质求解. 一、选择题 1.下列函数为偶函数的是 (　　) A.f(x)=x-1 　　　 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x 2.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x·2x+a-1.若f(-1)=,则a= (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 3.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.= B.(-a2)3=a6 C.=a D.=-π 4.设x>0,且1<bx<ax,则 (　　) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 5.函数y=a|x|(a>1)的大致图象是 (　　) A B C D 6.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为 (　　) A.或 B. C. D.2或3 7.若不等式>对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C.∪ D.∪ 二、填空题 8.已知指数函数f(x)的图象经过点,则f=　　　　.  9.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,且a>b>0,则的值为　　　　.  三、解答题 10.求下列函数的定义域和值域: (1)y=; (2)y=; (3)y=; (4)y=. 11.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时f(x)=. (1)求f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并证明; (3)求f(x)的值域. 作业7　幂函数与函数的应用(一) 1.AB　利用幂函数的定义,形如y=xα. 2.B　作直线x=2,与四条曲线交点的纵坐标从上到下依次为24,,,2-4,且22>>>2-4,故C1,C2,C3,C4的α的值依次为4,,-,-4.故选B. 3.A　y=x-1=的定义域不是R,y=的定义域不是R,y=x与y=x3的定义域是R,且它们都是奇函数,故选A. 4.A　因为函数y=为(0,+∞)上的减函数,所以该函数在[4,64]上单调递减,当x=4时y取得最大值,最大值为=,故选A. 5.A　因为指数函数f(x)=在其定义域上是减函数,又->-,所以a<b.因为幂函数g(x)=在其定义域上是增函数,所以c==<1.又因为a==>1,所以a>c.因此c<a<b. 6.A　由题意可得,解得m=2. 7.B　因为第一次(即5月1日)把油加满,而第二次把油加满加了48升,35 600-35 000=600(千米),即汽车行驶600千米耗油48升,所以每100千米平均耗油量为8升. 8.B　设利润为L(x)万元,则利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.故选B. 9.y=x(x∈N+)　依题意,设新价为b,则有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%.化简,得b=a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N+). 10.250　300　L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取最大值250万元. 11.(3,5)　∵f(x)==(x>0),易知x∈(0,+∞)时为减函数,又f(a+1)<f(10-2a),∴解得∴3<a<5. 12.解析:(1)若f(x)是正比例函数,则 解之得m=1. (2)若f(x)是反比例函数,则 解之得m=0. (3)若f(x)是二次函数,则 解之得m=. (4)若f(x)是幂函数,则m2+m-1=1,解之得m=-2或m=1. 13.解析:(1)y= (2)当y=100时, 60x=100或150-50=100, 解得x=或x=. 即当x=或x=时,汽车距离A地100千米. 14.B　设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件. 15.③　设f(x)=xα,则f(m+n)=(m+n)α,f(m)+f(n)=mα+nα,f(m)·f(n)=mα·nα=(mn)α,f(mn)=(mn)α.所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立,其他三个不一定成立,故填③. 16.解析:(1)由题知a-1=1,()k=2,∴a=2,k=2. (2)f(x)=x2,h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1], ①b≥1时,hmax=h(1)=b=2; ②0<b<1时,hmax=h(b)=b2-b+1=2, ∴b=(舍). ③b≤0时,hmax(x)=h(0)=1-b=2,∴b=-1. 综上,b=2或b=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $