作业9 对数与对数函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（人教A版）

1.函数零点的概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数解. 3.函数的零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 4.函数零点的性质 对于任意函数y=f(x),只要它的图象是一条连续不断的曲线,则有: ①当函数的图象通过它的变号零点时,函数值变号; ②在相邻的两个零点之间,所有的函数值保持同号. 　　【例题】　定义运算M:x􀱋y=设函数f(x)=(x2-3)􀱋(x-1),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c的取值范围是 (　　) A.[-3,-2) B.[-3,-2]∪[3,+∞) C.[-2,2] D.(-3,-2)∪[2,+∞) 【解析】　由新定义可知, f(x)=(x2-3)􀱋(x-1)= 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由图象可知要使函数y=f(x)-c恰有两个零点,则函数y=f(x)和y=c的图象要有两个不同的交点, 由图象得c≥2或-3<c<-2. 故c的取值范围为(-3,-2)∪[2,+∞). 【答案】　D 【名师点睛】　根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法:先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合思想求解. 一、选择题 1.函数f(x)=x2-2x-8的零点是 (　　) A.2和-4　　　　　B.-2和4 C.(2,0)和(-4,0) D.(-2,0)和(4,0) 2.下列选项中的图象对应的函数没有零点的是 (　　) A B C D 3.“m<1”是“函数f(x)=x2+x+m有零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.用二分法研究函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点,选取初始区间(-2,4),则下一个有零点的区间为 (　　) A.(-2,1) B.(1,4) C.(1,2.5) D.(2.5,4) 5.(多选)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法中不正确的是 (　　) A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 B.若f(a)f(b)<0, 则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 6.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x一定是下列哪个函数的零点 (　　) A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1 C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1 7.已知函数f(x)=若方程f(x)-2x=0恰有三个不同的实根,则实数a的取值范围是 (　　) A.[-1,1) B.[-1,2) C.[-2,2) D.[0,2] 二、填空题 8.函数f(x)=-x2+x-lg x的零点个数为　　　　.  9.若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  三、解答题 10.当m为何值时,方程mx2+(m+1)x+m=0有两个不相等的实根? 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象. (2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有①一个零点;②两个零点;③三个零点? 作业9　对数与对数函数 1.B　要使log(3a-1)(4-a)有意义, ∴∴<a<4且a≠,故选B. 2.B　其中②⑤⑥⑦正确.①式中nlogax=logaxn;③式中loga=logax-logay;④式中logax=loga. 3.AC　当a>0时,由log2a=,得a==,故C正确;当a≤0时,由3a=,得a=-1,故A正确. 4.C　令x-1=1,即x=2.则f(x)=4.即函数图象恒过定点Q(2,4).故选C. 5.B　f(x)=1-2x在定义域上为减函数,由>=,得b<c,由log30.8<0<,得c<a.所以b<c<a. 6.C　因为f(x)==故选C. 7.C　∵由已知,得 lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg , 又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2), ∴lg(x1x2)=lg.∴x1x2=. 8.D　因为0<a<1,所以函数f(x)=|logax|在(0,1)内单调递减,所以f>f>f.又f==|-loga2|=|loga2|=f(2),从而有f>f>f(2).故选D. 9.　log312　∵a=log43=log2, ∴2a+2-a=+=+=. ∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312. 10.(0,+∞)　∵4x>0,∴4x+1>1,∴log4(4x+1)>0. 11.1　由题意得f(x)=xln(x+)=f(-x)=-xln(-x),所以+x=,解得a=1. 12.解析:(1)因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54. 所以log2512==(log53+log54)=. (2)原式=-1+(-1)+2=-1-1+2=. 13.解析:(1)因为y=log2x在[,8]上是增函数, 所以log2≤log2x≤log28,即log2x∈. 故log2x-2∈, 即函数y=f(x)的值域为. (2)G(x)=f(x)·g(x)=(log2x-2) =(log2x-2) =[(log2x)2-3log2x+2] 令t=log2x,x∈[,8],t∈, 则y=(t2-3t+2)=-,t∈, 故当t=时,y取最小值,最小值为-; 当t=3时,y取最大值,最大值为1. 所以函数G(x)=f(x)·g(x)的值域为. 14.C　因为y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上单调递减,u=2-ax在[0,1]上是减函数,所以y=logau是增函数,所以a>1.又2-a>0,所以1<a<2.故选C. 15.(-∞,-2]∪[2,+∞)　利用对数的运算性质转化为关于lg c的一元二次方程有解问题进行处理. ∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0, ∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg alg b+1=0. 设lg c=t,则t2+(lg a+lg b)t+lg alg b+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lg a+lg b)t+lg alg b+1=0有根, ∴Δ=(lg a+lg b)2-4(lg alg b+1)≥0. 整理,得(lg a-lg b)2≥4, ∴≥2.∴lg≥2或lg≤-2, 即lg的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 16.解析:令y=loga(ax-1),则ay=ax-1, ∴x=loga(ay+1). ∴f-1(x)=loga(ax+1). 由f(2x)=f-1(x),得loga(a2x-1)=loga(ax+1), ∴a2x-1=ax+1, 解得ax=2或ax=-1(舍去), ∴x=loga2. 学科网（北京）股份有限公司 $